1、1函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 ax+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函数中 a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax+bx+ca0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在
2、联系：二、 抛物线上动点5、 （湖北十堰市）如图， 已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0) 和点 B (3，0) ，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标-C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，
3、与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与2对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ； 方法二，先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。共同点：探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）1.如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， 1C(40)A(2)B(08)E（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；C07 08 09动点个数 两个 一个 两个
4、问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含 60的特殊菱形；AOB 是底角为 30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用 a、t 范围，运用不等式求出 a、t 的值。观察图形构造特征适当割补表示面积
5、动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是 45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点 D、E 是定点；动线段PF 长度是定值，PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ；求直线、抛物线解析式；3（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左1CM2CxCD，侧） ，顶点为 ，四边形 的面积为 若点 ，点 同时以每秒 1 个单位的速度NDASA沿水平方向分别向右、向左运动
6、；与此同时，点 ，点 同时以每秒 2 个单位的速度沿N坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止求出四边形 的面积MNA与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；St t（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；N（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请t说明理由解 （1）点 ，点 ，点(40)A，(2)B，关于原点的对称点分别为 ，(08)E， D， 2C()F设抛物线 的解析式是，2(0)yaxbc则 解得1648c，168abc，所以所求抛物线的解析式是 2yx（2）由（1）可计算得点 (31)(MN，过点 作 ，垂
7、足为 NHAD当运动到时刻 时， ， t28Ot12Ht根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形， MDNA所以 2ADNS所以，四边形 的面积 M2(82)1418Stt因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 0所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 24ttt（3） ， （ ） 所以 时， 有最大值 7814St0t 74tS814提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形 能形成矩形 MDNA由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边ADMN，AN4形 是矩形MDNA所以 所以 O22ONH所以 解之得 （舍） 240t1266tt，所以在运动过程中四边形
8、 可以形成矩形，此时 DA2t点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2. （06 福建龙岩卷）如图，已知抛物线 与坐标轴交于 三点，234yxbcABC， ，点 的横坐标为 ，过点 的直线 与 轴交于点 ，点 是线段A1(03)C， tQP上的一个动点， 于点 若 ，且 BCPHOB5P01t（1）确定 的值： ；bc， _c，（2）写出点 的坐标（其中 用含 的式子表示）：Q， ， Q， t；(_)()()BP， ， ， ， ，（3）依点 的变化，是否存在 的值，使 为等腰三角形？若存在，求出所有 的PtB t值；若不存在，说明理由
9、解 （1） 94b3c（2） (0)B， (0)Qt， (43)Pt，（3）存在 的值，有以下三种情况t当 时P，则HOGHB4tt13当 时，得 BQ45t49t当 时，如图解法一：过 作 ，又PQDBPQ则 又 52DtBOC 542tt3257解法二：作 斜边中线Rt E则 ，此时2OE， BPQ yCAOQHBPxCOPQDBCOPQEB5BEOQP542t3257t解法三：在 中有RH 22QP2(84)(34)ttt30t（舍去）057，又 当 或 或 时， 为等腰三角形1t3t9257PQB解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论
10、：计算出PQB 三边长度，均用 t 表示，再讨论分析 RtPHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而 PB、BQ 长度都可以直接直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。点评此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2 小题不难，第 3 小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的 t 值与题目中的 矛盾，应舍去01t3.如图 1，已知直线 与抛物线 交于 两点12yx264yxAB，（1）求 两点的坐标；AB，（2）求线段 的垂直平分线的解析式；（3）如图 2，取与线段 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 两处用铅笔拉着AB，这
11、根橡皮筋使笔尖 在直线 上方的抛物线上移动，动点 将与 构成无数个三角PABP形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由COPQHByxOyxOPA图 2图 1BBA6解 （1）解：依题意得 解之得2164yx12643xxyy (63)(2)AB，（2）作 的垂直平分线交 轴， 轴于 两点，交 于 （如图 1）xyCD，ABM由（1）可知： 3525OB 5AB22M过 作 轴， 为垂足Ex由 ，得： ，BOC 54OMCBE，同理： 50242DD，设 的解析式为 ()ykxb520452kb 的垂直平分线的解析式
12、为： AB52yx（3）若存在点 使 的面积最大，则点 在与直线 平行且和抛物线只有一个交PB PAB点的直线 上，并设该直线与 轴， 轴交于 两点（如图 2） 12yxmGH，2164yx21604x抛物线与直线只有一个交点，2()0m yxOPA图 2HGByxO图 1DM ACB第 26 题7在直线 中，25314mP， 1254GHyx，0GH， 254设 到 的距离为 ，Od125125442dABGHA，到 的距离等于 到 的距离 POd另解：过 P 做 PCy 轴，PC 交 AB 于 C，当 PC 最大时PBA 在 AB 边上的高 h 最大（h与 PC 夹角固定） ，则 SPBA
13、 最大 问题转化为求 PC 最大值，设 P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示 PC 长度，进行极值求取。最后，以 PC 为底边，分别计算 SPBC 和 SPAC 即可。点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第 3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图，正方形 的顶点 的坐标分别为 ，顶点 在第一象ABCD， 0184， ， ， CD，限点 从点 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 从点 出发，P Q40E，沿 轴正方向以相同速度运动当点 到达点 时， 两点同时停止运动，设运动的xPC，时间为 秒t（1）求正方形 的
14、边长 ABCD（2）当点 在 边上运动时， 的面积 （平方单位）与时间 （秒）之间的函POQ St数图象为抛物线的一部分（如图所示） ，求 两点的运动速度 P，（3）求（2）中面积 （平方单位）与时间 （秒）的函数关系式及面积 取最大值时点St S的坐标 （4）若点 保持（2）中的速度不变，则点 沿着 边运动时， 的大小随PQ， ABOPQ着时间 的增大而增大；沿着 边运动时， 的大小随着时间 的增大而减小当tBCOPQ t8点 沿着这两边运动时，使 的点 有 个 P90OPQ（抛物线 的顶点坐标是 2yaxbc24bac，解 （1）作 轴于 BFy，084A， ， ，6，1（2）由图可知，点
15、 从点 运动到点 用了 10 秒PAB又 01B，两点的运动速度均为每秒 1 个单位PQ，（3）方法一：作 轴于 ，则 GyGF，即 AFB610t5t310OG，4Qt 1340225Stt即 39105t图yDACPOEQx图O10t28s9，且 ，195320ba1903 当 时， 有最大值19tS此时 ，4763155GPtOt，点 的坐标为 （8 分）1，方法二：当 时， 5t163792QSOGQA， ，设所求函数关系式为 20Satb抛物线过点 ，631085， ， ，26350.ab，19.5ab， 2301St，且 ，915320ba9103 当 时， 有最大值19tS此时
16、，76315GPO，点 的坐标为 ，（4） 2点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的10关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。5. 如图 ， 中， ， 它的顶点 的坐标为 ，顶RtABC 9030CABA(10)，点 的坐标为 ， ，点 从点 出发，沿 的方向匀速运动，B(53)， 1PC同时点 从点 出发，沿 轴正方向以相同速度运动，当点 到达点 时，两点同Q02D， yP时停止运动，设运动的时间为 秒t（1）求 的度数AO（2）当点 在 上运动时， 的面积 （平方单位）与时间 （秒）之间的函数PBOPQ St图象为抛物线的一部分，
17、 （如图） ，求点 的运动速度（3）求（2）中面积 与时间 之间的函数关系式及面积 取最大值时点 的坐标St P（4）如果点 保持（2）中的速度不变，那么点 沿 边运动时， 的大小Q， PABOQ随着时间 的增大而增大；沿着 边运动时， 的大小随着时间 的增大而减小，tBCOQt当点 沿这两边运动时，使 的点 有几个？请说明理由P90P（第 29 题图）ACBQDOPxy3010O 5 tS（第 29 题图）解: （1） 60B（2）点 的运动速度为 2 个单位 /秒P（3） （ ）(3)t， 5t 10S294t当 时， 有最大值为 ，tS124此时 1932P，11（4）当点 沿这两边运动
18、时， 的点 有 2 个P90OPQ当点 与点 重合时， ，A当点 运动到与点 重合时， 的长是 12 单位长度，B作 交 轴于点 ，作 轴于点 ，90OPM yPHy由 得： ，H 2031.5O所以 ，从而 Q9Q所以当点 在 边上运动时， 的点 有 1 个PAB0P同理当点 在 边上运动时，可算得 C327.8O而构成直角时交 轴于 ， ，y350， 30.1所以 ，从而 的点 也有 1 个9OQ 9PQ所以当点 沿这两边运动时， 的点 有 2 个P0O P6. （本题满分 14 分）如图 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已1243xyAyC知二次函数的图象经过点 、 和点 .AC
19、0,1B（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 ，求四边形 的面积；MOC（3）有两动点 、 同时从点 出发，其中点 以每秒 个单位长度的速度沿折线DEOD23按 的路线运动，点 以每秒 个单位长度的速度沿折线 按OACACE4OCA 的路线运动，当 、 两点相遇时，它们都停止运动.设 、 同时从DE点 出发 秒时， 的面积为 S .t请问 、 两点在运动过程中，是否存在 ，若存在，请求出此时 的值；OCt若不存在，请说明理由；请求出 S 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；t t设 是中函数 S 的最大值，那么 = .0 0S第 29 题图yQMHDOAxCB
20、()P12ECAyOB F xMD解：（1）令 ，则 ；0x4y令 则 y3A， 0C，二次函数的图象过点 ，可设二次函数的关系式为 42bxay又该函数图象过点 30A， 1B， 094ab，解之，得 ， 38所求二次函数的关系式为 4382xy（2） 42xy= 3164x顶点 M 的坐标为 ，过点 M 作 MF 轴于 Fx AAOCOCMSS四 边 形 梯 形= 10364213621四边形 AOCM 的面积为 10 13ECAyOBxMD（3）不存在 DEOC 若 DEOC，则点 D，E 应分别在线段 OA，CA 上，此时 ，在 中，12tRtAOC5AC设点 E 的坐标为 ， ，1x
21、y， 5431t521txDE tt23518 2，不满足 8t1不存在 DEOC根据题意得 D，E 两点相遇的时间为（秒）12435现分情况讨论如下：）当 时， ；0t 2342StA）当 时，设点 E 的坐标为1 2xy， ，5442ty51632ty ttttS7163）当 2 0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得 217R 6 分当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0） ，则 N（r+1，r） ，代入抛物线的表达式，解得 217r 7 分圆的半径为 217或 7 分（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 A
22、G 为 1xy8 分设 P（ x， ） ，则 Q（ x， x1） ，PQ 2x3)2(SSGPAQG9 分当 21x时，APG 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,， 87的 最 大 值 为APGS 10 分11 （本小题 12 分）解：（1）解方程 x210x160 得 x12，x 28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 yax 2bx c 的对称轴是直线 x2由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）A、B、C 三点的坐标分别是 A（6，0） 、B（2，0） 、C （0，8）（2
23、）点 C（0，8）在抛物线 yax 2bxc 的图象上c8，将 A（ 6，0） 、B（2，0）代入表达式 yax 2 bx8，得Error! 解得Error!所求抛物线的表达式为 y x2 x8 23 83（3）AB8，OC8S ABC 88=3212（4）依题意，AEm，则 BE8m ，OA6，OC8， AC10RRrr11NNMMA BDO xy22EFAC BEFBAC 即 EF EFAC BEAB EF10 8 m8 40 5m4过点 F 作 FG AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB45 FG 8mFGEF 45 45 40 5m4SS BCE S BFE （8 m）8 （
24、8m） （8m）12 12 （8m） （88m） （8m）m m24m 12 12 12自变量 m 的取值范围是 0m8 （5）存在 理由：S m24m （m4） 28 且 0，12 12 12当 m4 时，S 有最大值， S 最大值 8m4，点 E 的坐标为（ 2，0）BCE 为等腰三角形12.（12 分）已知：如图 14，抛物线 234yx与 轴交于点 A，点 B，与直线34yxb相交于点 B，点 C，直线 b与 y轴交于点 E（1）写出直线 的解析式（2）求 A 的面积（3）若点 M在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A向 B运动（不与 AB， 重合） ，同时，点 N在射线 上以每
25、秒 2 个单位长度的速度从 向 C运动设运动时间为t秒，请写出 B 的面积 S与 t的函数关系式，并求出点 M运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？23解：（1）在 234yx中，令 0y2304x1， 2()A， ()B， 1 分又 点 在 34yxb上023bBC的解析式为 342yx2 分（2）由234yx，得194y20x4 分91C， (20)B，4A， D5 分92BCS6 分（3）过点 N作 PMB于点EO 7 分B8 分由直线 342yx可得： 302E，在 BEO 中， ， ，则 52B253tNP， 65t9 分1(4)StAxyA BCEMD PNO24231(04)5Stt10 分)11 分此抛物线开口向下， 当 2t时， 125S最 大当点 M运动 2 秒时， NB 的面积达到最大，最大为 12 分
