1、淮 北 师 范 大 学 2011届学士学位论文 线性规划灵敏度分析学 院、专 业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 运筹学 学 生 姓 名 陈 红 学 号 20071101008 指导教师姓名 张发明 指导教师职称 副教授 2011 年 4 月 10 日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数 的变化，技术系数 的变化，右端常数 的变化以jcijaib及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后
2、简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient , the variety of jctechnology c
3、oefficient , the variety of the resources condition and increase the ija ibnew restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the
4、 variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources condition in the economic management shadow price ibproblem. Keywords simplex method, sensitivity
5、 analysis, optimum solution， resources condition，cost coefficient 目 录引言 1一、价值系数的变化分析 2二、技术系数的变化分析 5三、右端常数的变化分析 6四、增加新约束条件的灵敏度分析 8五、增加一个新变量的灵敏度分析 9六、线性规划灵敏度分析的应用 9七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用14八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征16结论17参考文献18致谢191引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已
6、有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义：定义 线性规划的标准形：（ ） LPmax.0ZCXAbst (1.)2.3其中 为行向量， ， 均为列向12,nCc 12,Tnx 12,Tmbb量， 为 矩阵； ，并假设 的秩为 ，在问题（ ）中，ijmAa LP约束方程（1.2）的系数矩阵 的任意一个 阶满秩子矩阵 （ ）称AmB0为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵 是由矩阵 中 个线形无A关的列向量组成的，不失一般性，可假设 1112,mmaBp 并称 为基向量，与基向量相对应的变量 称为基变1,2
7、ipm ,iX量不在 中的列向量 称为非基向量，与非基变量相对应B1,2jpn的变量 称为非基变量，并记,jXn，1,1,12, ,mmmnnaNpp 则系数矩阵 可以写成分块形式，不失一般性A， （1.4）(,)B将基变量和非基变量组成的向量分别记为 ，12,TBmXx，则向量 X 相应的写成分块形式12,TNmnXxx（1.5）BN再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得 ，由矩阵的乘法可得,BNXb，又因为 是非奇异方阵，所以 存在，将上式两边乘以 ，BNXb1 1B2移项后，得 1BNXbX现在可以把 看作一组自由变量（又称独立变量） ，给他们任意一组值 ，NX NX则相应的 的一
8、组值 ，于是 便是约束方程组（1.2）的一个解.BBN特别令 时，则 ，现把约束方程组的这种特殊形式的解0N1Nb，称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可1bX行解.现在来研究线性规划的灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：（ ） LPmax.0ZCXAbst当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这
9、样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵 有关，B表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.可按下表中的几种情况进行处理：原问题 对偶问题 结论或继续计算的步骤可行解 可行解 表中的解仍是最优解可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解 非可行解 引
10、进人工变量，编制新的单纯形表求最优解下面就各个参数改变后的情况进行讨论：3一、 价值系数 的变化分析jc（一）非基变量 的价值系数 的变化jxjc若非基变量 的价值系数 的改变为 ，则变化后的检验数为j jjjjc，0 要保持原最优基不变，即当 变化为 后，最终单1jjjBjcCp jjc纯形表中这个检验数小于或等于零，即 ，因此 10jjjBjCp ，这就确定里在保持最优解不变时非基变量 的目标函数 ，的变jj jxj化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例 1 已知线性规划问题 1234max5Zx1
11、2348041.30,jstx的最优单纯形表如下所示：（表 1.1）jc 1 5 3 4 0 0 0Bxbx2x5x67x0 5100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -14 4200 2 0 -2 1 0 1 -15 2x100 -3/4 1 11/4 0 0 3/4 1jjZcz1300 -13/4 0 -11/4 0 0 -1/4 -1（）为保持原最优解不变，分别求非基变量 的系数 的变化范围13,x13,c（）当 变为 5 时，求新的最优解.1解 （i）由图表可知： ， ，于是由公式1/43/4知，保持原最优解不变，则有 ，当jjc 13,/c， 时，原最优解不变.113/47
12、/33/2/c（ii）当 时，已经超出了 的变化范围，最优解发生了变化，下51面来求新的最优解.首先求出的检验数： 11 /450,23/0/BcCp故 为换入基，用新的检验数 代替原来的检验数 ，其余数1x1/ 1/4据不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：4jc5 5 3 4 0 0 0序号 BXb 1x2x5x67x0 5x100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -14 4200 2 0 -2 1 0 1 -15 2100 -1/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 jjZcz133/4 0 -11/4 0 0 -1/4 -10 5x75 0 0 -3 1/8 1 1/8 -7
13、/85 1100 1 0 -1 2 0 1/2 -1/25 2175 0 1 2 3/8 0 -3/8 5/8jjZcz370 0 -2 -3/8 0 -5/8 -5/8表（1.2）由表中可看出已得到新的最优解 *1,75,Tx及新的目标函数最优值 .*3Z（二）基变量 的价值系数 的变化jxjc若 是基变量 的价值系数，因为 ，当 变为 时，就引起rcr rBCrcrc的变化，则BC1111120, ,Br rrrnACcAa 其中 是矩阵 的第 行.于是，变化后的检验数为2,rrna 1（j = 1，2， ，n）1jjBjrjjrjcpaa若要求最优解不变，则必须满足 （j = 1，2，
14、，n）0jjjc由此可以导出当 时，有 ；0rja/rjra当 时，有 .jjc因此， 的允许范围是rcmax/|0min/|0jrjrjrjjj a 使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量 所在行中的元素rx，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素1,2rjan放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出 的上下界.rc例 2 为保持现有最优解不变，分别求出例 1 中基变量 的变化范围.若24,x5当 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，BC该怎么办？解 根据上述公式，利用表（1.1） ，为使最优基变量 不变，245,x的变化范围是4c
15、413/413/max,min,2c即 4故当 时，原最优解不变， 现在 变为 6，已超出了 的允许变化范415cc4c围.同样的， 的允许范围是 ，即221/ 13/max,min,423c故当 时，原最优解不变，现在 变为 2，也不在 的允许变化范围21643c 2c内，当 由（0，4，5）变为（0，6，2）即 变为 6， 变为 2，都超过了它B 4c们的允许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的 代替 ，将表B（1.2）改成表 1.3（I） ，在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解 及目标函数最优值 .*,3,10Tx *180Zjc1 2 3 6 0 0 0序号 Bx
16、bxx45x67x0 5100 1/4 0 -13/4 0 1 -1/2 06 4200 2 0 -2 1 0 1/4 02 2x100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 jjZcz-1400 -19/2 0 19/2 0 0 -3/2 00 5200 -1/2 1 -1/2 0 1 -1/2 06 4x300 5/4 1 3/4 1 0 1/4 00 7100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 jjZcz-1800 -13/2 -4 -3/2 0 0 -3/2 0从价值系数 的变化的分析中，现可以得到一个特征：j最优解对目标函数中的价值系数 的改变不十分灵敏，而对价值
17、系数 的jc jc灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数 的值，来积极应对市场挑战.jc6二、 技术系数 的变化分析ija由于对价值系数 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也jc可以按这种方法把对技术系数 的分析分为两类：ij（一） 、非基向量列 改变为 jPj12jjnjaP这种情况指初始表中的 到数据改变为 ，而第 个列向量在原最终表上j j是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第 列数据与第 个检验数.最j终单纯形表上的第 j 列数据变为 ，而新的检验数 ，若1jBP 1jjBjcP，则原最优解仍是新问题的最优解.若 ，则
18、最优基在非退化情况下0j 0j不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第 j 列数据 和 ，把 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.1jBPjjx（二） 、基向量列 改变为jPj这种情况指初始表中的 列数据改变为 ，而第 个列向量在原最终表上j jPj是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、 右端常数 的变化分析ib右端常数 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.i当第 个约束方程的右端常数由原来的 变为 ，其它系数都不变，r rbrrb即初始表上新的限定向量，其中1200rrmbb 120,0rrnb 设原最优解为 ，则新的最优解
19、为121mBBBxXbx711100B rXbBbb若原最优基 仍是最优的，则新的最优解 ，即BX11000rBrirBrmrdXbbbDd 其中 是 的第 列，即rD1r12rrmrdD故 01,2iBrixbd因此， 的允许变化范围是：rbma| in|0i iBrrri xd 如果 超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于 的变化不影响检验数，r rb故仍保持检验数 ，即 满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用0对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当 变为 时，也可以直接计算 ，若有 ，则原最优基 仍是最优基，但最优解和最优值1Bb1B要重新计算.若 不恒大于零，则原
20、最优基 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数 ，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终0表的右端列改为 ，就可用对偶单纯形法求解新问题.1BCb例 3 线性规划问题81211223max46.5,0Zxbstx分别分析 在什么范围内变化，问题的最优基不变.123,b解 先分析 的变化，由公式 知，使问题最优基不变1 10BXb的条件是 1103253244005由此推得 162同理由 得，2340，2433154015从而.3四、 增加新约束条件的灵敏度分析若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即有，1,1nmjjaxb即（4.1）11AX其中 ， ，,21,mmnaa 1
21、2,TnXx由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原9问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为 ，各基向量集中于 的前 列，最优解为BAm10BNxbX对新增加的约束（4.1） ，引进松弛变量 ，又因为 ，1n111,mmBNA则（4.1）式变成 （4.2）111mBmNnAXb显然， 是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基 、 及右端向量1nx 1如下：b， ， ，10mBA110mBA1mb对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量 ，的检验数jx是： 11 11,0,
22、0jjjjjBjjB jBjjmmBPczCPcCcCPAa 它与不增加约束时相同.又因为 是基变量，故 .因此，现行的基本解1nx1n是对偶可行的，现行基本解是：，11 111 10Bn mmn mB BbXbAAb 若 ，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，10mBbA即最优解.若 ，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的1b数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列 化为1nP单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、 增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量 ，其相应的系数列向量为 ，价值系数1nx 1nP为 .又知原问题的最优解是 ，显然，增加这
23、个新变量，对原最优解的可行1nC B性没有影响.现计算新的检验数 11nBnC若 ，则原最优解是新问题的最优解；若 则原最优解不再是10n 0最优解.这时，把 加入到原最终表内，并以新变量 作为换入变量，按1nP 1nx单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.10六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件 的分b析的一个重要应用是：“影子价格问题”定义 设线性规划对偶问题1maxnjZcCXminWY（ ） （ ） P1,2.0,2ijijAbstxn D.0ACst右端常数 表示第 种资源的现有量1ib i下面讨论 增加 个单位时所引起的目标函数最优
24、值的变化.i设 是问题（ ）的最优基，则BP，*1*12B mZCbYyby当 变为 时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基 ）ibi B目标函数最优值变为，*12()i myyy 于是目标函数最优值的改变量为，*iZy由上式可以看出 的意义，它表示当右端常数 增加 个单位时所引起的目*iyib1标函数最优值的改变量，也可以写成 ，即 表示 对*iiy,2m *iy*Z的变化率.在一对对偶问题（ ）和（ ）中，若（ ）的某个约束条件的右ibPDP端常数 增加 个单位时所引起的目标函数最优值 的改变量 称为第 个约束i1 *Z*ii条件的影子价格，又称边际价格.由定义可知，影子价格 的
25、经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资*iy源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量 就是第 个约束条件的影iyi子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对11偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的
26、应用很多，下面就下面这个问题进行分析：影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（ ）：LP11max,2.0njnijiiZcbmstxn存在最优解.对（ ）标准化后，得：LP.0ZCXAbst其中 ，0 是 m 维行向量， 为 单位阵.,c,Im因为设（ ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基 ，LP *x最优解为： ，并可设*11nnjjZcx1*,0BBNNxbxc111* *11,0nn mjjBNBBiibcx cb 所以可令，*iiZyb即 1*,2,iBicm因此，有（6.1）*11nmjiZxyb再令 ，由单纯形法最优原则可知：*12,mByyc（6.2）*
27、0AAc即 *(,),yI因此，有（6.3）*0而由（6.2） ， （6.3）及线性规划的对偶结构可知： 是对偶问题的可行解.*y再由（6.1）及对偶定理可知： 是对偶问题的最优解.*y12可见，最优解 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*x，则对应的是 的起作用约束.因此，影子价格 表示第 种资源 未*0y *0iyiib得到充分利用；而 则表示第 种资源 已得到充分利用.0iyiib影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源
28、的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题 ”：影子价格 设线性规划模型（ ） LPMaxnjjc1.st(1,2)0ijijbmxn有最优解 ，最优解为*x*jzc则可令 iib*则必有和miinjjxcz1*1* 0*iMajj.st1(,2)0nijijxbn存在最优解.对（ ）标准化后，得 LPminxc.ts0Ab13其中 （ 为松弛变量，是 维列变量）， ,这里 是 维3(,)Tx5xm(0)
29、cm行向量，而 为 单位阵.因为设（ ）有最优解，故由线性规划,AI*LP单纯形法求解，可得最优基可行解 ，最优解为： *xnjnjjxcz11*并可设 ，NBxbx*1*0)( ),(NBc imiBBnj NBjnjj bbccxz 11*1 1*1* )()()(,(所以可令 ，即 ，iibz*iBic1*)(),2(m因此有 （6.4）njmiijbxcz11*再令 1*21* )(),( Bcm由单纯形法最优准则可知 （6.5）0)(1* cAcAB即 )0,(,(),*cI因此有(6.6)0*14而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知： 是对偶规划的可*行解，再由
30、(6.4)，以及对偶定理可知： 是对偶规划的最优解.）称 为第*种资源的影子价格， 为影子价格向量. 表示，第 种资i *12(,)n i源 对最优值的边际贡献. b从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解 的不起作用约束而言，若此约束的资*x源条件 在灵敏度范围内变动时，则最优值 不变，所以bi z0*iib可见，最优解 的不起作用约束的影子价格为零。反之而言就是，若影子*x价格 ，则对应的是 的起作用约束。*0因此，影子价格 表示第 种资源 未得到充分利用；而 则表示0iib*0第 种资源 已得到完全利用iib影子价格直接应用到企
31、业资源的最有效利用中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当影子价格小于市场价格时，出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源单位必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.七、线性规划灵敏度分析在经济与管理问题上的典型应用一般应用问题的线性规划模型为： Maxc.st0Ab其中 ,12(,)ncc 12(,)0nb线性规划的灵敏度分析有两个主要方面： 第一、对价值系数的灵敏度分析
32、15在资源条件 不变的前提下，问最优解保持不变时，每个价值系数 可以变动b 5c的范围.第二、对资源条件的灵敏度分析 在价值系数 不变的前提下，问最优解保持不变时，每个资源条件 可以变动c bi的范围.线性规划的灵敏度分析有重要的经济与管理的应用背景，现通过一个例子来了解有关的概念.现来考虑 公司的例子.AB公司在一周内只生产两种产品：产品 和 .产品 和产品 由多种材ABABB料混合生成，这些材料都从仓库中提取.可供一周使用的三种原料数量如下： 原料 1 原料 2 原料 3 kg20kg40kg60产品 由 的原料 1 和 的原料 2 制成,产品 由 的原料 1， 的A6%B5%0原料 2
33、和 的原料 3 制成. 产品 的边际贡献率为每公斤 25 元，产品 的4AB边际贡献率为每公斤 10 元.管理部门必须决定每种产品各生产多少公斤，使得在原料供应计划下产品的总贡献最大.这个决策问题的线性规划模型为：贡献=25 +10maxAB.st0.6.51204.其中 ，0AB16应用图解法解此线性规划问题，可见下图 ：(图 1.0)本例的最优解为： ，6250A10B八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征特征 1 最优解对目标函数中的价值系数（ ）的改变不是十分灵敏jC以上例来说，对于 公司，在保持（ ， ）仍为最优解AB6250A10B的前提下，如果现增加产品 的贡献，目标函
34、数的斜率会变得越来越小（目标函数线变得更加垂直）.（图 1.0）表明，最终目标函数将会达到一个与约束条件 2 平行的斜率.那时，最优解即是包括从当前顶点到顶点（ ， ）A0B的线段上的所有点.运用下面的代数方法，现能计算出这时 的单位贡献为每公斤 40 元 625010PAP(625)A(元)150/3740现可得到结论：若 的单位贡献为 美元到 美元之间（B 的单位贡献保A25持 10 美元不变） ，产生最大贡献的最优解始终是生产 的产品 和kg6250A产品 .注意如果产品 的单位贡献恰好增加至 美元，不仅顶点（kg150B4， ）和（ ， ）为最优解，在约束条件 2 上连接62A1501
35、017这两点的线段上的所有点也都为最优解，即：有无穷多最优解.(图 1.0)说明系数 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源C优化分配的前提下，在一定的幅度内改变价值系数 的值，来积极对市场挑战.C特征 2 对于一个线性规划问题，最优解有两种类型的约束条件：起作用约束和不起作用约束最优解的起作用的约束是指线性规划的约束方程中，使最优解以等式方式满足的约束方程，也称为最优解的紧约束.在图形上，最优解是它的所有起作用约束的交点.最优解的不起作用的约束是指线性规划的约束方程中，使最优解以不等式方式满足的约束方程，也称为最优解的松约束.在图形上，最优解与不起作用约束间有距离.进而，关于资源条件
36、的灵敏度分析，有以下两个重要结论：第一，对起约束作用的资源条件的任何改变都将影响最优解，因为最优解的起作用约束表示了资源的最优分配要求这一个约束的资源条件 被完全利x jb用.换言之，改变 值，使 不能完全利用此资源条件，也就是 不再构成资源jbx x的最优解分配，即不再是最优解，这时 或者仍是可行解，或者已成为非可行x解第二、对不起约束作用的资源条件的少量改变通常不会改变问题的最优解 因为不起作用约束表明一些资源是多余的或缺少的.对不起作用的约束，现可定义松弛变量和剩余变量， 约束 njijibXa1可被写为 nj iijiS1这里的 为资源 i 的松弛变量 . 约束iS(0)njijibX
37、a1可被写为nj kjiS1这里的 为资源 的剩余变量.kS(0)K可见，对于最优解的不起作用约束，其松驰变量 或剩余变量 的值不为i kS， 或 的值就是对应的不起作用约束的资源条件 或者 的灵敏度的范围.0ik bk显然，对于最优解起作用约束的松弛变量和剩余变量的值都为 .0结 论18由上面的叙述现很容易看出线性规划的灵敏度分析可以从多个方面着手，这就要求现在分析线性规划问题的可行性时从这几个方面来考虑其灵敏度，从而做出最优的可行性分析.参考文献：1 胡运权. 运筹学基础及应用M. 高等教育出版社， 1984.2 张莹. 运筹学基础M. 清华大学出版社， 1976.3 邓成梁主编. 运筹学
38、的原理和方法M. 华中理工大学出版社， 1984.4 钱颂迪主编. 运筹学M（修订版） .清华大学出版社， 1976.5 李影. 关于新增加约束条件的灵敏度分析J. 大庆师范学院学报 , 2005，25（4）.6 李小军. 线性规划中的灵敏度分析J. 广州师范学院学报 , 21（3）.7 程承运,王仁明. 价值系数依赖于资源时线性规划的灵敏度分析 J. 三峡大学学报, 2001 .8 杨桂元. 影子价格和影子成本J. 运筹与管理.2005， 14（5）,10.19致 谢本文的完成离不开数学科学学院张发明老师的热心指导，同时数学科学学院的机房的硬件设施和图书馆电子资源，为课题的研究工作提供了良好的条件，另外，本课题的部分工作还得益于同窗好友的共同探讨，在此，对他们一并表示感谢.
