稳定裕度.ppt

1、1,稳定裕度,用频率响应方法来研究系统的相对稳定性(稳定裕量)是利用开环频率特性的极坐标图与(1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定或不稳定的程度。,当K=K3时，极坐标图顺时针包围了(1，j0)点，因此，闭环系统不稳定。,当K减小到K2时，极坐标图将通过(1，j0)点，闭环系统处于临界稳定，此时闭环系统在虚轴上有极点。,当K小于临界值后，系统变成稳定系统，而且，随着K的进一步减小，系统的相对稳定性将越来越高。,定义极坐标图穿过负实轴（ 此时 j (w) =180）对应的频率为相角穿越频率 , 用wg表示；,最小相位系统的极坐标图与(1，j0)点的接近程度可以分别用极坐标图穿过负实轴的幅值和

2、极坐标图幅值为1时的相角来表示。,定义幅值A(w)=1对应的频率为幅值穿越频率，用wc表示。,当频率特性曲线穿过(1，j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： A(wg)=1, j(wc)= 180, wg=wc 。,最小相位系统稳定的条件为：当A(wc)=1时，j(wc)180当j(wg)= 180时A(wg)1,稳定裕量可以用A(wg)和j(wc)来表示频率特性曲线接近(1，j0)点的程度。稳定裕量越大，相对稳定性越好。,定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕量，即,定义：幅值穿越频率时的相频特性与 180之差为相角稳定裕量。即,Lg称为对数幅值稳定裕量或增益稳定裕量，由于Lg应

3、用较多，通常直接被称为幅值稳定裕量。,在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值，即,显然，当Lg0时，即A(wg)1和g 0时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg0和g 0是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳定裕量。常用相角裕量。,幅值稳定裕量物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳定裕量是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。,相角稳定裕量的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率wc处将相角减小g 度，则系统变为临

4、界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位稳定裕量是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在wc点所允许增加的最大相位滞后。,增益稳定裕量反映开环增益对闭环系统稳定性的影响，而相角稳定裕量则不一样，它仅仅反映理论上只改变Gk(jw)的相位的哪些系统参量的变化对稳定性的影响。,当Gk(jw)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(1，j0)点，则增益稳定裕量为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开环增益可达无穷大。,当Gk(s)在s右半平面有极点时，为了使闭环系统稳定，Gk(jw) 图必须逆时针包围(1，j0)点，在这种条件下稳定系统产生负的增益稳定裕量

5、和负的相角稳定裕量。在这种情况下，首先必须确定系统的稳定性(即系统稳定还是不稳定)，然后再计算稳定裕量的数值。一但稳定性被确定，稳定裕量的数值便直接表明稳定或不稳定的程度，稳定裕量的符号就没有意义了。,除了相位稳定裕量和幅值稳定裕量之外，另一种相对稳定性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。,g 越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系统而言不可能选得非常大。一般可取 g 在3060，Lg 6dB相对稳定性较好。,例单位反馈系统的开环传递函数为,试分别确定Kg=3、Kg=30和Kg=300时的相角裕量。,解：本题传递函数以零极点的形式给出，故应先将其化成以时间常数形式的传递函数,式中，

6、 K= Kg /10，为系统的开环增益。按题意是要求K=0.3、K=3和K=30时的g 值。,可分别画出他们的对数幅相频率特性曲线。,6/21/2019,10,K=0.3,K=3,K=30,wc0.288 g1=72.3,wc1.583 g2=23.3,wc5.12 g1=-16,20dB/dec,40dB/dec,60dB/dec,令,下面计算相位穿越频率。,6/21/2019,12,K=0.3,K=3,K=30,wc0.288 g1=72.3,wc1.583 g2=23.3,wc5.12 g1=-16,20dB/dec,40dB/dec,60dB/dec,wg3.16,Lg31.3dB,L

7、g11.3dB,Lg-8.7dB,一般而言， 当L(w)在wc处的斜率处于20dB/dec段时，系统是稳定的； 当L(w)在wc处的斜率处于40dB/dec段时，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量g 也是较小的； 当L(w)在wc处的斜率处于 60dB/dec段时，系统一般是不稳定的，除非 60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率大于 40dB/dec，此时即使稳定，相位裕量g 也是非常小的。,例 系统的开环传递函数为,由图可见wc约为0.3，对应 g =18,谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。,系统带宽和带宽频率：设M(jw)为系统的闭环频率特性，当幅频特性 |

8、M(jw)|下降到 时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围称为系统带宽。,六、闭环频率特性性能指标,常用的有下列三项：,谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。,零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值,5.8 闭环系统性能分析,16,一、稳态性能指标分析：,如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数）和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析）,由 ,可求得 值； 也可由 , 求 。,在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下：, 时域性能指标,在时域分析中，性能指标一般是最大超调量d%、调节时间ts、峰值时间tp等。,1.

9、 对一阶系统而言，性能指标只有ts。,2.对二阶系统而言，系统可根据阻尼系数z 的不同分为： 无阻尼系统; 欠阻尼系统; 临界阻尼系统; 过阻尼系统,二、动态性能指标, 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率wn。, 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。,3. 对高阶系统，如果有主导极点存在，也可利用上述公式进行计算。,开环频率特性性能指标, 相角稳定裕度 g系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180之和定义为相角稳定裕度，所对应的频率wc称为系统截止频率或幅值穿越频率。即g = 180+

10、 j(wc)，wc满足A(wc)=1, 幅值稳定裕度 Kg(Lg)系统开环相频特性为180时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为幅值稳定裕度。所对应的频率wg称为相角穿越频率。即Kg=1/A(wg) ， wg满足j(wg)=180。实际中常用对数幅值稳定裕度Lg=20lgA(wg)。,（二） 频域性能指标,(2)闭环频率特性性能指标,设单位反馈系统的开环传递函数和开环频率特性为,闭环传递函数和频率特性可表示为：, 零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值,在单位阶跃输入信号时，根据终值定理，可得系统时域的响应终值,系统的稳态误差为,当n =0时,K越大稳态误差越小，M(0)越接近于1,当n 0时,

11、所以对单位反馈系统而言，可根据闭环频率特性的零频值M(0)来确定系统的稳态误差。, 谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。, 谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。, 系统带宽和带宽频率：设M(jw)为系统的闭环频率特性，当幅频特性 |M(jw)|下降到 时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围称为系统带宽。,24,24,1. 频率尺度与时间尺度的反比关系,若有两个系统的频率特性F1(jw)和F2(jw)有如下关系,则两个系统的阶跃响应有如下关系,这个性质说明频率特性展宽多少倍，输出响应将加快多少倍。,（三） 频率特性的重要性质,25,2. 频率特性与系统性能的关系, 频率

12、响应的低频区(远低于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的稳态特性； 频率响应的高频区(远高于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统输出响应的起始部分； 频率响应的中频区(靠近幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的稳定性和瞬态性能。,闭环频率特性的Mp、wp和wb 开环频率特性的wc、g、wg和Kg(Lg),开环频率特性为：,典型二阶系统开环传递函数为：,开环幅频特性为：,开环相频特性为：,令A(w)=1，可求得幅值穿越频率,代入j (w)，得,系统的相角裕量,（四）典型二阶系统的频域指标与瞬态性能指标的关系,幅频特性为：,令 时，可得带宽频率,闭环传递函数为：,闭环频率特性为：,令 ，可得当 时,2019年6月21日,29,欠阻尼二阶系统的%与的关系,2019年6月21日,30,二阶系统 %与Mp的关系曲线,31,wc0.63wb,如果两个系统具有相同的相角裕量，则它们的相对稳定性(或超调量)大致相同，此时响应的快速性与幅值穿越频率wc成正比(或调节时间与幅值穿越频率wc成反比) ，wc越高，ts越短。,可见wc与wb成正比。wb越高， wc也越高，ts越短。,2019年6月21日,33,欠阻尼二阶系统的tsc与的关系曲线,2019年6月21日,34,二阶系统wbts与Mp的关系曲线,