1、第三章,半导体载流子的统计分布,3.1 费米统计分布和状态密度,半导体热敏性电子服从泡利不相容原理；遵循费米统计分布，即能量为 E 的量 子态被电子占据的几率为 ：； Ef ：费米能级 （31） 热平衡时，电子在不同量子态的分布几率与其具体激发过程无关动态平衡：产生 复合Ef 可由 确定晶体中电子总数 能带所有量子态中被电子占据能态数的总和,一, 费米分布函数1. 费米分布函数成立的条件：1半导体中电子近似独立；除可能量交换达到平衡外，其他相互作用很弱2电子服从量子力学规律：电子能量量子化：运动状态由量子态描述每个能带包含不同量子态；不同量子态相互独立一个电子对某量子态的占据不影响其他电子对其
2、他量子态的占据每个能级双重简并自旋3电子是全同的：任意两个电子的交换，不会造成新的量子态4受泡利不相容原理的限制，每个量子态只能容纳一个电子。在量子统计中，费米分布 费米狄拉克分布，能带电子必须服从2. 费米能级的确定 ：1状态密度法： 态密度 g（E）：EEE 间的量子态数目N：晶体中电子总数； f (E) ：电子能量为E的几率,2 化学势法：将半导体中大量电子看成一个热力学系统，热平衡时有：通常 此处N为载流子数； F: 自由能（即在体积和温度不变的条件下，系统增加一个电子所需的能量） 热平衡体系 统一的化学势 统一的费米能级3, 费米分布的性质由f（E）可得量子态是空的几率：f（E）的性
3、质：1能量 f（E），而1f（E）时，f（E）1f（E）1/22 时 1f（E） f（E）； 时 f（E） 1f（E）3T=0K时， f（E）0； f（E）14 （电子高能态）,即在高能电子态，费米分布 经典波尔兹曼分布，多因子 原因：对高能态，电子占据几率极小，泡利不相容原理的限制可自然满足特点： 时，用波尔兹曼分布 FB 代替费米分布 Ff 的误差55 - E kT 空穴高能态（电子低能态）：能级被空穴占据的几率为： 特点：与经典电子分布 比，指数差一个负号；E 表示电子能级且在电子能级图：电子高能级 空穴低能级； 电子低能级 空穴高能级 意义：a. 电子低能态 空穴高能态，空穴占据几率小
4、 b. 电子高能态 空穴低能态，占据几率大,6 Ef 靠近导带 电子浓度高 N型; 靠近价带 价带空穴浓度高 P型若 Ef 在禁带中央附近 本征半导体掺杂时若使 Ef 偏向导带 N型; 若使 Ef 偏向价带 P型,二.状态密度1 空间状态密度：准连续能级（带）：布洛赫波 波矢 （电子状态）可证： 在 空间只能取分立值，且在 空间均匀分布，密度 对一维晶体 LNa， 值为 密度 g (k) = L / 2 对三维晶体 (37)任务：根据 关系，由 空间状态密度 以能量为变量的态密度g(E)2以能量为变量的（状）态密度：1 导带底: 电子集中在导带底，只求导带底附近的 g(E)；设带底不在点，且有
5、S个对称能谷,即： 空间等能面为椭球，沿三个主轴的有效质量分别为对应于 内的电子态，波矢 均在此椭球内；电子态数目等于椭球体积与 K 空间状态密度（37）式的积，即可由 空间 对应E空间（椭球，能谷） 每个能谷电子数相等，总电子数为：（ 39）,单位能量间隔中电子状态数，即状态密度为：其中 导带底电子状态密度有效质量a, 对旋转椭球（P52）： （且在布区中心， ） 令 即可得书上P. 52,（36）b, 对立方对称： 等能面为球面,2 价带顶的能量态密度：对Ge、Si、GaAs，价带顶在布区中心，k0，且是简并的 轻、重空穴带，所以价带顶附近，两能带的等能面近似用两个球面表示：重、轻空穴带顶
6、态密度是轻重空穴态密度之和，类似推导可得： ：价带顶空穴状态密度有效质量注意： 与 及回旋质量的区别与联系,3.2 载流子浓度,求n，p，必须先解决：1. 能带中的态密度g（E）2. 载流子占据这些状态的几率f（E）条件：1. n，p浓度不太高 Ef 在禁带中，与 Ec , Ev 距离 遵守波尔兹曼分布，非简并2. 若 n，p 较大，或 mdn , mdp 较小, 在T低时，窄带简并一.导带中电子浓度：导带中电子数为： 在非简并即 Ef 不进导带也不接近时，导带有效状态密度的意义是，在热平衡温度T下，单位体积半导体中的导带电子数n，等效于将导带视为单一能级 Ec ，且Ec 中有 Nc 个状态，
7、电子按 f B 分布占有 Ec 时的数值 n,积分上限，可用导带顶 代替 能量有限宽；引入变量 得：令: (312) ：导带底有效状态密度特点：1. 2. 与温度关系3. 几个kT时，导带电子浓度等于导带中有电子占据的量子态数目 二.价带中空穴浓度：价带中空穴数：,此处时以电子能量为尺度来计算的，积分区间：应为价带下限 ， 价带底部；仿前可得： ：价带顶有效状态密度成立条件：非简并，且 （实际数个 kT 即可）若重穴带和轻穴带在价带顶简并，则空穴总浓度应等于两个空穴带中空穴的总和而 且对Si： 重空穴带中的空穴占价带空穴总数的80以上,三. 载流子浓度乘积：由（312）（313）可见： EF
8、决定n，p；但对同一半导体，给定T，杂质含量、种类不同 EF 位置会变化 n，p 位置随之改变但载流子浓度的积与n，p， EF ，无关，即： (3-14, EF应为Ev)即非简并情况下，对给定半导体，在T一定时，载流子浓度乘积为常数成立条件：在热平衡条件下，对非简并的本征、杂质半导体都成立特点与 EF 无关*但对简并的本征半导体，有非平衡载流子，（314）不再成立,3.3本征半导体载流子浓度,1本征半导体：无杂质、低缺陷EF, no, np 均由材料自身性质决定；本征激发： (热激发) 2本征费米能级 Ei ：本征半导体的 EF 由电中性条件可得由 得：第二项 第一项， 故 Ei 在禁带中央附
9、近,对Si：偏向Ge： 价带GaAs： 偏向导带3. 本征载流子浓度：将 Ei 代入 n，p 表达式得 ：ni, pi 特点：1）与T和Eg（能带结构）有关； 2） Eg 均 3）T 均（本征激发）4）作图ln(niT-3/2)1/T，由斜率可得Eg,T300K时：实际：由于杂质、杂质电离 本征激发掺杂得载流子浓度 例：对Si含 杂质，RT300K几乎全部电离 所以，若要 ，要求杂质 不可能！ 4电子或空穴的另一种表达方式：前节用 Nc , Nv, EF 表示 n，p，也可用ni, pi, Ei 来表示：,意义：1掺杂 EF 偏离 Ei ；N型掺杂 EF 偏向导带P型掺杂 EF 偏向价带2掺杂
10、 EF 偏离 Ei ； 3给定T：热平衡载流子浓度积 等于本征载流子浓度 ni 的平方，且与所含杂质无关对本征和非简并半导体都成立4T很高时，本征载流子浓度 杂质载流子浓度性能随T变，不稳定 器件极限工作温度,3.4 （非本征）杂质半导体的载流子浓度：,一.杂质能级占据几率：1杂质能级上电子占据情况：1晶体能带：a，电子在整个晶体中做共有化运动b，每个电子运动能级有两个反自旋量子态c，电子间相互作应很弱，两个态相互独立即一个态被占据，不影响另一态被反自旋电子占据d，服从费米运动2杂质能级：a，电子被杂质束缚, 局域态b，未被占据的态可能被两种不同自旋的电子占据c，两自旋态是相关的；即当一个电子
11、以任一自旋方式占据某杂质能级后，即不可能有第二个电子占据该能级的另一自旋态以类氢施主为例：施主俘获一个电子后，静电斥力将使另一自旋态能量显著提高， 引起简并,*注意：此简并与半导体简并不同半导体简并使费米能级接近带边（甚至进入带边）产生简并d，不能用费米分布确定电子占据杂质能级的几率例一，施主能级：a，可接受具有任意自旋的电子b，不接受任何电子IV本征V族 掺杂 引入施主能级：a，有一个任意自旋电子（中性态）b，没有电子（电离态）例二，受主能级：a，接受任意自旋的电子b，有两个成对的电子成共价键族本征族掺杂受主能级：a，未接受任意自旋的电子（中性态）b，接受一个任意自旋电子（电离态）或用空穴表
12、述为：受主能级：a，有一个任意自旋的空穴（中性态）b，没有空穴（电离态）2电子和空穴占据杂质能级的几率：用化学势法可标出,1电子占据施主能级 ED 的几率： 施主能级被空穴占据的几率： 2空穴占据受主能级EA 的几率： 受主能级被电子占据的几率：,二，杂质能级上的电子和空穴浓度：ND 施主浓度， NA 受主浓度 杂质量子态密度1，施主能级：1电子占据施主能级 未电离(电中性) 不提供电子载流子 施主能级上的电子浓度： 2电离施主浓度 nD+ 施主能级空 提供载流子的数目2，受主能级：1空穴占据受主能级 未电离(电中性) 不提供空穴载流子,2电离受主浓度PA-： 3，重要公式（321）（322）
13、（323）（324）的意义：1 ，ED 1 远在 EF 之上，是电子高能态2 , ED 2 远在 EF 之下，电子杂质能级是低能态，则 3当 , EA 1 远在 EF 上 受主未电离，因杂质能级上空穴能量低，所以4反之当 ，即 EA 2 远在 EF 之下 受主全电离，因杂质能级上空穴能量高，所以,三，杂质半导体的载流子浓度：电中性条件：热平衡下，半导体处于不带电状态1，一般情况：电中性条件：单位体积内：n个导带电子，ne电荷； P 个空穴，+ P e电荷nD+ 个电离施主（给出电子带正电）： 电荷PA- 个电离受主（接受电子带负电）：所以空间电荷密度：如杂质分布均匀 空间电荷处处为 0 （32
14、5）即导带电子数n 受主浓度 NA施主能级电子浓度 nD =价带空穴 P 施主浓度 ND 受主空穴浓度 PA 2，仅一种杂质时，以 N 型半导体为例：（325） 或 n = P + (ND nD ) （326）ND nD ：电离施主，提供导带电子数,1弱电离区（低温）：多数施主未电离，仍被电子占据 相当于EF ED 本征电离 n0 = p0 更少，忽略不计 故空穴浓度： （327）此时，因 可用类似波尔兹曼分布，将 n, fD 代入可得：（328）EF 代入（312）可得 n0 ：（329）a，对（329）取对数可得 ，由斜率可求得 ED b，对（328）有 T时，EF 先；到 时，达到极大,
15、随后； ，如P63 Fig39仿此对P型半导体得受主能级杂质有： 时（330） （331）2中等电离区： ， 1/3施主电离，由电中性条件：可解得： （332） （333）（334）,解法： ，代入上式得：解此二次方程得(EF-Ec均应为Ec-ED)： 令 （施主电离能）； 即得（333）,3强电离区： ， （饱和电离，杂质全部电离）由（333）和 1， EF 远在 ED 之下 ,b, 接近 Ei， 在一般掺杂浓度下 ND NC （336）在第二项 0， 另由（336），已知 ND 可求得饱和区 EFc, 弱电离区， ， 代入（334）即可得（3 28）式d，同样 T 下， 越远离 Ei ，偏
16、向导带底同样 ND 时， 越远离 Ec ，而趋向 Ei 例： 300K时全部电离 多子；而 少子仿此对P型半导体受主能级有：强电离时 P = NA （337）（338）,4过渡区：饱和电离 本征激发，从饱和区 n = ND 到本征激发间的区域T低时，在上述三区中，忽略了P；当T足够大时，P ND 不能忽略所以电中性条件（325）中 ，且仍有 两式联立解得： （339）（340）（341）讨论 a. ND ni 时，则 （342）接近饱和电离,b. 时，则 （343）接近本征c. 若 ，则仿此对P型半导体在过渡区有： （344）（345）（346）5高温本征区： （347）对Si：若 ，本征占优
17、；若进本征区，即 进入本征区的温度也 ；转变温度由 ND = ni 决定通常将n（或P） ni 的情况称为非本征情况,3.多数载流子小结：以N型为例说明P.63,F.3-9, P.65,F.3-10, 和P.67,F.3-11也影响即载流子浓度n(或P) 和费米能级 EF 由杂质浓度和 T 共同决定按T分为：低温区 ( 500K ) ;本征区电中性条件： ； 或 ； ；杂质能级: 低能态 所以可由电中性条件，利用 fD 与 n 的关系 求 EF 再求n（或P）,意义：T变 EF 变 反映电子填充情况a. 低温：EF 在 ED 之上 此时 先随T 后随Tb. 中温： 变到 ED 之下 n是高能态
18、 空的几率大 电离c. 高温：杂质全部电离本征跃迁，且本征为主d. EF 的意义：1位置反映了半导体导电类型 ； 2程度反映掺杂水平e. 杂质浓度与本征 ni 关系：如P.70, F.314，当杂质浓度 时：1多数载流子随掺杂浓度的增加而 ,2少数载流子则随掺杂而3两者的积仍保持 的关系。 4. 少数载流子浓度：少子包括 n 型中的空穴，P型中的电子，强电离时：1N型中有：多子浓度 ，所以由 即为少子浓度 （349） 2P型：多子浓度 少子浓度 （350） 讨论：1少子浓度与本征浓度 ni2 成正比，而和多子浓度成反比2在饱和区内，多子浓度不变，而 T 少子,3.5 补偿杂质半导体,一电中性条
19、件：由 可得 ：已电离受主； ：已电离施主 二电子填充情况（以N型为例）：N型 既有ND，也有NA有 ND NA ， 电离施主提供的电子先填充受主能级后提供导带电子，只要满足 ，则 一定在 附近1对电子而言， 相对 为低能态， 被空穴占据的几率2价带中电子能级更低 ， 即电子占据，无空穴,电中性条件变为：1杂质电离： 可改写为： 将 代入得：(3-51),1低温弱电离区：设a. 在满足 的较低温度下，忽略左侧分子的 NA 和分母中的 n 和 NA即当 ： NA n 时，少量受主不影响施主向导带提供电子a此时的 n 和 与只有一种杂质的情况相同b若 ， 在 之上，趋于 b. 极低T时：施主除提供
20、电子填 NA 外，激发到导带的极少，即有n NA,电中性条件变为： ，（351）变为（354） （355） 施主电子仅在施主能级和受主能级上分配，n 可忽略 与 无关；且固定T和 上电子 对比（352）和（354），极低温少一个 1/2 的指数因子，即 曲线斜率是高温的两倍；可由斜率确定施主电离能 ：,2杂质强电离：T 使 ， 施主全电离电中性条件为 ，且由 得以上三式与只有一种杂质的公式类似，但是用 代替了 可测出饱和电离区的 （在T1温度时），以及低温T2时的载流子浓度 n 利用（351）得两个方程联立求解，算出补偿杂质浓度 和2饱和电离 本征激发情况与一种杂质的N型半导体类似，（341）
21、的 公式中用代替,三P型半导体 （ ）：空穴浓度方程： （356） 低温电离区：极低T： 时， （357） （358）极高T： 时， (359 )（360）饱和电离与本征区：与 N 型半导体类似， 中以 代替,3.6 简并半导体简并条件：EF 进入导带底或价带顶，甚至进入带内1. 弱简并：EF 未进入带内，导带底或价带顶附近的能级部分被占据2强简并：EF 进入带内，EF 以下能级大部分被电子占据（对N型）3载流子简并：EF 进入导带，使带底电子数很多，f（E）1不成立或 EF 进入价带，使价带顶空穴很多 1f（E） 1不再成立此时必须考虑泡利不相容 用费米分布简并半导体：发生载流子简并化的半导
22、体。二弱简并情况：,引入无量纲变量： ，简并费米能级 上式变为 ：（361） 其中： 称为费米积分 （362） 费米积分可查表或查图 P.76, Fig.316，例如当（即 KT）有 （363）,同样方法可得空穴价带浓度为 ：（364） 非简并时，有 （即 ）或 （ ）则（361）（363）可化简为 ：,三强简并情况：导带中电子分布与金属相同： 1EF 全空，E EF 全满载流子浓度： （365）相当于将 用第一项近似代替 （361）变为,由上图可见 计算费米积分，当 时，误差 5%，强简并时，若已知 n，则 EF为 （366） *注意：以上对强简并的讨论仅适用于抛物线形能带；对非抛物线形能带
23、半导体不适用，因为窄带非抛物线半导体没有恒定的mdn值。四形成简并的条件：由P.76, Fig.316可见， 时，载流子浓度与波氏分布开始不同，区别显著 非简并， 弱简并， 强简并简并条件为：（ 简并； 非简并）,特点：1同样 n，P 时，有效质量小易简并 小， 小易简并2窄带易简并： 窄带 小，且 Eg 小有高的载流子浓度3高掺杂易简并，即使在较低T下4简并半导体的杂质是部分电离： 或电子占据 ED 和空穴占据 EA 的几率 仅部分电离5杂质电离能ED 和 EA 越小 低时也会发生简并五杂质能带：形成：重掺杂 杂质波函数交叠 孤立杂质能级形成扩展能带 共有化运动导电作用：1局域 扩展，参与导电； 2杂质浓度 和3杂质能带与带边重叠 如P.78, Fig.319对Ge：P型 ，N型 ； Si：P型,
