1、第三讲 图像变换,3.1 引言3.2 空域变换3.2.1 代数运算3.2.2 几何运算3.3 傅立叶变换3.3.1 傅立叶变换基本概念3.3.2 傅立叶变换基本性质,3.4 小波变换3.4.1 连续小波变换3.4.2 离散小波变换3.4.3二维离散小波变换3.4.4 小波变换的应用,3.1 引言,数字图像变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。在这些变换中，一种是在空域上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像。另一种则是将原图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性
2、质有效而快速地对图像进行处理和分析。最典型的变换有离散傅立叶变换，它把空间域中的图像信号看作二维序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。除了傅立叶变换外，还有其他变换，这里介绍近年来迅速发展的小波变换。,3.2 空域变换,3.2.1 代数运算 图像的代数运算是指对两幅图像进行点对点的四则运算而得到一幅新的输出图像。图像的代数运算在图像处理中有着广泛的应用，它除了可以实现自身所需要的算术操作，还能为许多复杂的图像处理提供准备。 1. 加法运算 2. 减法运算（差分）,+,=,=,3.2.2 几何运算几何运算可以改变图像中物体之间的空间关系。这种运算可以看成是图像内的各物体在图像内移动的过程。
3、例如，物体的转动、扭曲、倾斜、拉伸等等，都是几何运算的结果。,平移,放缩,旋转,放缩,0,0,x,y,平移,0,0,x,y,旋转,复杂变换 右图显示了在失真和相应的校正图像中的四边形区域，四边的顶点是相应的“控制点”。假设四边形区域中的几何形变过程用双线性方程对来建模，即：,F,D,C,B,A,F,D,C,A,B,几何变换的应用 图像在生成过程中，由于系统本身具有非线性或拍摄角度不同，会使生成的图像产生几何失真。几何失真一般分为系统失真和非系统失真。系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随机的。但对图像作定量分析时，就要对失真的图像进行几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失真的图
4、像），以免影响分析精度。基本方法是先建立几何校正的数学模型；其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。通常分为两步：(1)选择要校正图像的控制点；(2)选择模型参数执行重采样校正。,应用举例遥感图像的几何校正,ERDAS IMAGINE 是美国ERDAS公司开发的专业遥感数字图像处理系统，它以模块化的方式提供给用户，可为不同的用户根据不同的需求，完成对遥感数字图像的几何校正、分割、合并、缩放、分类和信息提取等处理。,请同学们了解其大致过程,3.3 离散傅立叶变换,3.3.1 为什么要学习傅立叶变换,法国数学家傅立叶指出（1807）：无论函数多么复杂，任何周期函数，且满足一定
5、数学条件，都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和的形式，每个正弦或余弦乘以不同的系数（傅立叶级数）。甚至非周期性的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦或余弦乘以加权函数的积分表示（傅立叶变换）。这个革命性的概念被当时数学家们质疑了几乎一个世纪。,20世纪50年代以后，傅立叶的思想使工业和学术界都空前繁荣。因为随数字计算发展和傅立叶变换方法可以使人类对数字信号进行实际有效的处理和有意义的解释。因此，傅立叶变换成为数字信号（图像）处理领域的重要理论和方法基础。,3.3.2 傅立叶变换,令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换以Ff(x)表示，则表达式为：,这两个等式称为“一维傅立叶变换对”
6、。如果扩展到两个变量即二维？,式中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1；x, y为空（时）域变量，u, v为频域变量。,表明一个重要事实：一个函数可以从它的反变换中重新获得。若令f(x,y)为原图像，则F(u,v)则为新图像。,如果f(x,y)是连续和可积分的，且F(u,v)可积，则存在”二维傅立叶变换对”：,对数字图像而言，我们感兴趣的是离散函数。先讨论一维函数的情况：,式中：u=0,1,2, ,M-1。,式中：x=0,1,2, ,M-1。,关于计算量问题？关于频率域的含义？,频率域的概念,由欧拉公式可得：,将其代入一维离散傅立叶正变换公式，可得：
7、,式中：u=0,1,2, ,M-1。,对于每个u值，都由f(x)函数所有值的和组成，F(u)的M项中的每一项称为频率分量, F(u)取值范围称为频率域。（三棱镜-线性滤波）,上述是一维情况，那么二维呢？,上式表明了对MN像素尺寸的数字图像f(x,y)的二维离散傅立叶变换。,式中：x,y为空间域变量，u,v为频率域变量。,傅立叶变换公式看起来很复杂，为了分析方便，可将其简化写成复数形式：,实部和虚部的公式请参见P44.,实部,虚部,频率谱（幅度）,相角（相位谱）,功密度（谱密度）,1. 可分离性由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,
8、y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的。,用两次一维DFT计算二维DFT,离散傅立叶变换的性质：,2. 平移性质平移性质表明，只要将f(x, y)乘以因子(1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M2, N2）处。图中是简单方块图像平移的结果。,傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱,3. 旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转0角
9、度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性。,离散傅立叶变换的旋转不变性 （a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱,3.3小波变换简介,信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。（乐谱到有
10、时间的乐谱）,1. 连续小波变换（CWT）像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。下面举例说明小波特点,（a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线,正弦波和小波的区别：正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的， 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0， 小波趋于不规则、不对称。,从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的
11、局部特征。连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用下式表示：,表明：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移因子（positon）的函数。,基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下： (1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄。,小波的缩放操作,(2) 平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上， 函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)。,小波的平移操作 (a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k),2. 离散小波变换（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。,
