1、1.3 共轭元与类,共轭元 若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足 B = XAX -1 （ 1 . 3 - 1 ）那么，群元 B 与群元 A 共轭若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1 （ 1 . 3 - 2 ）其中Y X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是 互为共轭的.,共轭具有传递性若 A 与 B 共轭，B与C共轭，则A与 C共轭. 因为如果存在群元 X 及 Y 满足 B = XAX-1 及 C = YBY-1 （1 . 3 - 3 ） 则 C = YBY-1= Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1 （
2、1 . 3 - 4 ） YX 是群中的一个元，所以， A 与 C 共轭对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.,2. 类 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类 即，群G中的任何一个类 C 都满足（ 1 . 3 - 5 ）例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.,D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D ADA-1 = BA= F BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D A、B、C属一类. C3V群
3、分成几类？,类的简单性质 ( l ) 单位元自成一类 ( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的， 即不同的类中没有共同的元 ( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元 ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切 XG 都有XAX-1 = XX-1A = A , A G,( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹 ( 6 ) 同类的元素有相同的阶即：如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。证明:
4、(XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) (XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E所以，A与XAX-1有相同的阶,( 7 ) 对于含转动操作的群, 转角相同而转轴可由群中 的元转成一致的，属同一类例如在D3 群中， A、B、C 同属一类，因为DCD-1 = A FBF-1 = A,也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致,(
5、8 ) 若 C 是群 G 的一个类，且 C = C1, C2， Cm，C是 C 中所有元的逆的集合，即C = C1-1, C2-1，Cm-1那么， C也是群 G 的一个类，称 作 C 的逆类证明：己知 XCX-1 = C 对任一X G 成立，那么XCX-1 =(XCX-1)-1= C-1 = C 对任一 XG 成立. 所以， C 是群 G 的类. ( 9 ) 互逆类乘积的集合中一定有单位元出现，且出现 的次数等于类的群元数 h c（有时称 h c为类的阶）,有关类的定理 定理一 若为由群中若干完整的类构成的集合，即X是群G中的任意元，则 XX-1 =成立.证明：已知XCkX-1=Ck ; 所以
6、,逆定理：任何一个服从关系 成 立的集合，必由若干完整的类构成证明：首先将中的完整的类抽出，余下的 元的集合是. 于是 XX-1. 考虑中的某个 元R，则上式左边是 R 类的所有元，因此右边的 就是一个完整的类即必由一些完整的类构 成,定理二 两个类的类乘有 （ 1 . 3 -6 ）式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次,证明：由式XCX-1 = C 得 XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj 所以， Ci Cj = XCiX
7、-1 XCjX-1 = XCiCjX-1 对所有 X G 成立根据刚刚证明过的逆定理，集合Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 6 ）的形式.,例：D3群中，六个元共分三类，可表为 C1 = E；C2 = A, B, C; C3 =D，F 于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3;,定理三 有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整 数成立，即 hC 是 g 的整数因子证明：分三步来证明这个定理第一步：取群 G 中某一个确定的元 XG，取 SG，满足S
8、XS-1 =X 的所有元的集合 S =SX，证明 SX是群 G 的 一个子群设 Si , Sj SX 则有 SiXSi-1 =X, SjXSj-1 =X (1.3-7),于是 (Si Sj)X(SiSj)-1 = Si ( SjXSj)-1Si-1 = Si XSi-1 =X (1.3-8) 上式表明， Si Sj SX . 由于SX是群G的具有封闭性的 子集，故SX是群 G 的子群. 第二步：将群 G 按子群 SX的陪集来分解，得 G = R1SX +R2 SX +Ri SX (1.3-9) 其中，R1=E，R2，Ri是陪集代表元. 作R1XR1-1， R2XR2-1，RiXRi-1 下面将
9、证明，全部与 X共轭的元共有i个，即hc= i (1.3-10),为此只要证明： ( l ) 用属于同一个陪集内的元 Rm及Rn作 X 的共轭 元，必有RmX Rm-1= RnX Rn-1 (1.3-11) 因为，若Rm， Rn同属于左陪集 RmSX ，必有一Sg存 在，使Rn= Rm Sg ，其中Sg SX 于是 RnX Rn-1= (Rm Sg) X( Rm Sg) -1 = Rm (Sg X Sg -1 ) Rm-1(1.3-12) 根据式(1.3-7) , Sg X Sg-1 = X ，所以，上式变成RnX Rn-1 = RmX Rm-1 这就是式（ 1.3-11 ) .,( 2 )
10、若Rm， Rn满足式（1.3-11 ) ，则Rm， Rn属同 一 个陪集以Rm-1左乘式（1.3-11 ）后，再以Rm右乘之，得 X= Rm-1 RnX Rn-1Rm =(Rm-1Rn) X (Rm-1Rn)-1 (1.3-13) 可见Rm-1Rn SX ，所以Rn RmSX (1.3-14) 上式说明， Rm， Rn属同一个左陪集RmSX.第三步：根据式（1.3-10）及式（1.2-3 ) g=si ，得i=hC=g/s 或 g/hC=s (1.3-15) 其中，s是一个整数，是子群 SX的阶,正规子群 共轭子群 若 S 是群 G 的一个s阶子群，即S = E= S1, S2，Ss ， （
11、1. 4 -1） X是群G中某个确定的元，则集合 XS1X-1, XS2X-1 ， XSsX-1= XSX-1 （1. 4-2） 构成群，称为群G的共轭子群 .,1.4 正规子群与商群,证明： （1）若XSmX-1及XSnX-1是集合XSX-1中的任意两元， 那么，由于Sm及Sn是群S中的元，(XSmX-1)(XSnX-1)=X(SmSn) X-1也是XSX-1中的一个元，满足封闭性条件. （2）若XSmX-1 ， XSnX-1及XSpX-1是XSX-1中的三个 元，那么它们之间的乘积满足结合律. （3） 由于S 中有单位元， XSX-1中肯定有单位元. （4） 同样，由于S中每个元都有逆元，
12、所以XSX-1的 每个元都有逆元.,正规子群对于群G中的每一个元 X，当G的子群S满足XSX-1 = S （1. 4-3） 时，称子群S为群G的正规子群， 亦称为不变子群. 正规子群的性质 ( l ) 群 G 的正规子群 S 是由群 G 的一个或几个完整的 类构成的反之，凡是包含群 G 中的一个或几个完整 类的子群，都是 G 的正规子群,证明：令Sm是S 中的任一元，当 S是 G 的正规子 群时，对于每一个XG ，群元XSmX-1必然也是 S 的 一个元，所以 S 包含了Sm的整个类. 反之，若子群包 含了群 G 中的一个或几个完整类，例如：S = C1 + C2 （1. 4-4）根据式（1.
13、3-5 ) ，对一切 X G 存在 XC1X-1 = C1 及 XC2X-1 = C2 因此有 XSX-1 = XC1X-1 + XC2X-1 = C1 + C2 =S 所以，S 是 G 的正规子群,( 2 ) 对于一切A G ，正规子群 S 对于A 的左倍集 AS及右陪集 SA 是一样的，即有 AS = SA (1.4-5 ) 证明：只要证明 SA 中的一个元也是 AS 中的一个元 即可当 S 是正规子群时，设B是SA中的元，那么，必 存在一个元SmS，使B=SmA ，于是 A-1BA-1SmA ， 这是 A-1SA中的一个元所以也是S中的一个元，即 A-1B S，令A-1BSk，则A(A-
14、1B) B=ASk是AS中的 一个元，得证,这个性质表明，S 作为一个整体，可以与 群 G 中的任意元对易. ( 3 ) 正规子群的一个陪集与另一个陪集的乘积（包 括陪集自身相乘）必为一个陪集或者正规子群.证明：设正规子群 S 的两个陪集是 SA 及 SB， 其中A、B是群G 的两个元，二者可以相同这两个 陪集的乘积： SASB= SASA-1AB= S(ASA-1)AB= SSAB= SAB （1. 4-6） 群元 A 、BG，如果 A 、B 不在子群 S中，那么， 乘积 SAB就是一个陪集如果(AB)S ，那么，乘 积就是正规子群本身,商群 1 定义 群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶
15、是s于是存在 i = gs个陪集（包括正规子群）：SA1（= S），SA2 ， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合 作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成的 群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S. 有G / S = S , SA2 ， ， SAi ( 1.4-7 ),证明： （1）满足封闭性由群乘定义及式（ l . 4-6 ) ，应有 SAmSAn = S(AmAn ) ( 1.4-8 ) 可见商群任两个元的乘积仍为 S 的一个陪集（在此不 必区分左陪集与右陪集，因为对于正规子群，左陪集 与右陪集是相同的） . ( 2 ) 满足结合律根据式( 1.4-8 )(
16、SAm SAn) SAp =S (AmAnAp)= SAm(SAnSAp) ( 1.4-9 ) ( 3 ) 单位元就是正规子群 S, S = SA1 =SE.SESAm = S(EAm) SAm ( 1.4-10 ),( 4 ) 存在逆元 SAm的逆是SAm-1，这个元也是商群 G/ S 中的一个元SAm SAm-1= S(Am SAm-1) =S (1.4-11) 2 商群的例子 群G是点群C3V ，正规子群 S = E , c3z ， c3z-1 ，于 是，商群 G / S 由两个群元组成：,S 及 S ( Ic2y ) ，其中S ( Ic2y ) = S ( Ic2C ) = S ( I
17、c2D ) = Ic2y , Ic2C , Ic2D 这个商群的群表是,同构和同态 1 同构有两个群 G = A , B ，C,及 G = A , B ，C, ，如果它们的群元之间存在一对一的对应 关系，在各自群乘的定义之下，若 AB = C 时，有 AB=C对一切群元成立，则这两个群是同构群互相同构的两个有限群，它们的阶必然相同，且 具有相同的群表,2 同态两个群 G = A1 , A2 ， B1， B2， ， C1 ， C2 ，和G= A, B，C, ，若群元之间存在着 多对一的单方面对应关系，在各自群乘的定义下，若 AiBj=Ck，均对应于AB=C，则这两个群同态，或称 准同构 3 同态
18、核若群 G与 G 同态，则阶较大的群 G 中与阶较小 的群 G的单位元 E对应的那些元，称为这一同态关 系的同态核，记作P关于同态核的定理：群 G 和同态群 G的同态核P 是群 G 的正规子群,1、定义 有两个群 Ga和 Gb，它们的阶分别为 ga 和 gb其中 Ga = E, A2 ，Aga ， Gb = E , B2， ，Bgb 如果满足下列要求： (l) Ga 、Gb只有单位元 E 是共同的；,1.5 直积群,(2) 群 Ga中的所有元均与群Gb 中的所有元对易于是(1.5-1) 形成一个 gagb阶的群，其群元可写成Ai Bk的形式， 这个群就称作Ga与Gb的直积群G记作G = GaG
19、b， Ga、Gb称作 G 的直积因子只要证明集合 G 具有封 闭性，G 就是群,证明：设 Ak，AkGa，Bl，BlGb取 G 中的 两个元AkBl 及Ak Bl作乘积，有(1.5-2) 因此， GaGb形成群,定理 如果 G = GaGb，那么Ga及Gb必为G的正规子 群显然， Ga 及Gb是G的子群，因为Ga及Gb的元组 成了群 G 中的子集，这个子集成为群所以，是G的 子群.进一步证明是G的正规子群,已知 AiGa， BjGb， Ai Bj G且Ai Bj = Bj Ai，对任 意的BlGb，取其共轭元 (Ai Bj )Bl (Ai Bj )-1= Ai (BjBlBj-1 ) Ai -
20、1 = Ai Bk Ai -1 = Ai Ai-1 Bk = Bk (1.5-3 ) 取AiBj=X， 则上式可写成XGbX-1= Gb (1.5-4 ) 所以Gb是G的正规子群同理可证明， Ga也是G的正 规子群.,直积群的类 若群 G 是由群Ga及Gb直积而成，那么群G的类便由所 有满足下式的元形成(Ak Bl)AkBl(AkBl)-1= Am Bn (1.5-5 ) 上式可改写成 (AkAkAk -1) (BlBlBl-1) = Am Bn (1.5-6 ) 于是 AkAk Ak -1= Am , BlBlBl-1 = Bn (1.5-7 ),可见直积群 G 的类是由群Ga的类与群Gb的
21、类的乘积形 成的因此，直积群G中类的个数是群Ga中类的个数 与群Gb中类的个数的乘积；直积群 G 中每一类中的群 元数hG则是群Ga的ha与群Gb的hb的乘积，即hG = ha hb (1.5-8 ),半直积群的定义有两个群Ga及Gb ，且Ga是在Gb下不变的，即 BiGa Bi-1 = Ga ，则集合 E , A2 ， ， Aga， B2, ， Aga Bgb就构成一个群，称为Ga与Gb的半 直积群，记作Ga Gb 其中Ga与Gb的次序是不可 以颠倒的,设ga及gb分别是群Ga及Gb群 的阶， Ga及Gb 的 半直积群是ga gb 阶的，只要证明集合 E , A2 ， ，Aga Bgb具有封闭性，就证明了Ga Gb 是一个群；若Gb在Ga下不变，则半直积群记作Gb Ga 当 Ga在Gb下不变，同时Gb在Ga下亦不变，则半直积群 就同直积群GaGb一样了.,1. 验证矩阵集合：,其中,在矩阵乘法下构成群，并且与D3群同构。,练习：,
