1、1如何用好题目中的条件暗示有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。【例 1】直线 与 x 轴、y 轴分别交于 B、A 两点，如图 1。图 1（1 ）求 B、A 两点的坐标；（2 ）把AOB 以直线 AB 为轴翻折，点 O 落在平面上的点 C 处，以 BC 为一边作等边BCD。求 D 点的坐标。解析：（1）容易求得 ，A （0 ，1） 。（2 ）如图 2，图 2 ，A （0，1） ，OB= ，OA=1 。在 RtAOB 中，容易求得OBA=30把AOB 以直线 AB 为轴翻折，OBC
2、=2OBA=60，BO=BC。OBC 是等边三角形以 BC 为一边作等边BCD，则 D 的落点有两种情形，可分别求得 D 的坐标为（0，0） ，。反思：在求得第（1）小题中 B、A 两点的坐标分别为 B（ ，0） ，A（0，1） ，实质上暗示着 RtAOB 中，OA=1，OB= ，即暗示着OBA=30 ，为解第（ 2）小题做了很好的铺垫。2【例 2】直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 RtABC，BAC=90，且点 P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图 3。图 3（1 ）求三解形 ABC 的面积 。（2 ）证明不论 a 取任何实数，三角形 BO
3、P 的面积是一个常数；（3 ）要使得ABC 和ABP 的面积相等，求实数 a 的值。解析：（1）容易求得： A（ ，0 ） ，B（0，1 ） ， 。（2 ）如图 4，连接 OP、BP ，过点 P 作 PD 垂直于 y 轴，垂足为 D，则三角形 BOP 的面积为 ，故不论 a 取任何实数，三角形 BOP 的面积是一个常数。图 4（3 ）如图 4，当点 P 在第四象限时由第（2）小题中的结果： ，和第（3 ）小题的条件 可得： ， ，3 ， 。如图 5，当点 P 在第一象限时，用类似的方法可求得 a= 。图 5反思：由第（1）小题中求得的 和第（2）小题中证明所得的结论：三角形BOP 的面积是一个
4、常数 ，实质上暗示着第（3）小题的解题思路：利用来解。通过这两道题目的分析可以发现，在解题过程中，如果经常回头看一看、想一想，我们往往会发现，很多题目的解题思路原来就在题目之中。分式运算的几点技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一. 分段分步法例 1. 计算：解：原式说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用4分段分步法，则可使问题简单化。同类方法练习题：计算（答案： ）二. 分裂整数法例 2. 计算：解：原式说明：当算式
5、中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零） ，团团的卡片比这些多 6 张，圆圆的卡片比这些多 2 张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？（答案：团团 8 张，圆圆 4 张）三. 拆项法例 3. 计算：解：原式5说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式 ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。同类方法练习题：计算：（答案： ）四. 活用乘法公式例 4. 计算：解：当 且 时，原式说明：在本题中
6、，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。同类方法练习题：计算：（答案： ）五. 巧选运算顺序例 5. 计算：解：原式6说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。同类方法练习题：解方程（答案： ）六. 见繁化简例 6. 计算：解：原式说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。同类方法练习题：解方程（答案： ）在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。7多边
7、形内角和问题的求解技巧1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。例 1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 3 倍还多 20，求此正多边形的边数。分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。解：设每个外角的大小为 x，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。根据题意，得解得 ，即每个外角都等于 40。所以 ，即这个正多边形的边数为 9。2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为 n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。例 2
8、已知一个多边形的每个内角都等于 135，求这个多边形的边数。解法 1：设多边形的边数为 n，依题意，得解得 n=8，即这个多边形的边数为 8。解法 2：依题意知，这个多边形的每个外角是 180135=45。所以，多边形的边数 ，即这个多边形的边数为 8。3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法 2） 。解题时要注意这种逆向 思维的运用。例 3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是 2570，求这个多边形的边数。分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。由于除去一个内角后，其余内角之和为 2570，故该多
9、边形的内角和比 2570大。又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比 2570+180小。可列出关于边数 n 的不等式，先确定边数 n 的范围，再求边数。解：设这个多边形的边数为 n，则内角和为（n2）180。依题意，得解这个不等式，得 。所以 n=17，即这个多边形的边数为 17。说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件。4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。例 4 如图 1，求1+2+3+4+ 5+6+7 的大小。8图 1分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接 CF。解：连接 CF。COF=D
10、OE1+2=OCF+OFC1+2+3+4+ 5+6+7=OCF+ OFC+3+4+5+ 6+7=（52 ）180证明三角形全等的一般思路一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS） 。例 1. 如图 1，已知：ACBC，CDCE，ACBDCE60，且 B、C、D 在同一条直线上。求证：ADBE分析：要证 ADBE注意到 AD 是ABD 或ACD 的边，BE 是DEB 或BCE 的边，只需证明 ABDDEB 或ACD BCE，显然ABD 和DEB 不全等，而在ACD 和BCE 中，AC BC，CD CE ，故只需证它们的夹角ACDBCE 即可。而ACD AC
11、E60 ，BCEACE60故ACD BCE（SAS）二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例 2. 如图 2，已知点 A、B、C、D 在同一直线上，ACBD，AM CN，BMDN。求证：AMCN9分析：要证 AMCN只要证ABMCDN，在这两个三角形中，由于 AMCN，BMDN ，可得ANCD ， ABMD可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。又由于 ACBD，而故 AB CD故ABMCDN（ASA）三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例 3.
12、 如图 3，已知：CABDBA，AC BD ，AC 交 BD 于点 O。求证：CABDBA分析：要证CABDBA在这两个三角形中，有一角对应相等（CABDBA ）一边对应相等（AC BD）故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用 SAS） 。四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例 4. 如图 4，已知 ABAC ， ADAG，AEBG 交 BG 的延长线于 E，AFCD 交 CD 的延长线于 F。求证：AEAF10分析：要证 AEAF只需证 RtAEBRt AFC，在这两个直角三角形中，已有 ABAC故只需证BC 即可而要证BC需证ABGACD
13、 ，这显然易证（SAS） 。五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例 5. 如图 5，已知ABC 中，BAC90，ABAC，BD 是中线，AEBD 于 F，交 BC 于E。求证：ADBCDE分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AEBD，BAC90 ，有 12，又 ABAC。故可以2 为一内角，以 AC 为一直角边构造一个与ABD 全等的直角三角形，为此，过 C 作 CGAC 交 AE 的延长线于 G，则ABDCAG ，故ADB CGA。对照结论需证CGA CDE又要证CGE CDE，这可由CGADCD，ECGEBAECD，CE
14、CE 而获证。计算线段长度的方法技巧线段是基本的几何图形，是三角形、四边形的构成元素。初一同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。这是介绍几个计算方法，供同学们参考。1. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系11例 1. 如图 1 所示，点 C 分线段 AB 为 5：7，点 D 分线段 AB 为 5：11 ，若 CD10cm ，求AB。图 1分析：观察图形可知，DCACAD，根据已知的比例关系，AC 、AD 均可用所求量 AB 表示，这样通过已知量 DC，即可求出 AB。解：因为点 C 分线段 AB 为 5：7，点 D 分线段 AB 为 5：11所以又又因为 CD10cm，所以 AB96c
15、m2. 利用线段中点性质，进行线段长度变换例 2. 如图 2，已知线段 AB80cm，M 为 AB 的中点，P 在 MB 上，N 为 PB 的中点，且NB14cm，求 PA 的长。图 2分析：从图形可以看出，线段 AP 等于线段 AM 与 MP 的和，也等于线段 AB 与 PB 的差，所以，欲求线段 PA 的长，只要能求出线段 AM 与 MP 的长或者求出线段 PB 的长即可。解：因为 N 是 PB 的中点，NB14所以 PB2NB 21428又因为 APABPB ，AB80所以 AP8028 52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。3.
16、 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例 3. 如图 3，一条直线上顺次有 A、B、C、D 四点，且 C 为 AD 的中点，求 BC 是 AB 的多少倍？图 3分析：题中已给出线段 BC、AB、AD 的一个方程，又 C 为 AD 的中点，即 ，观察图形可知， ，可得到 BC、AB、AD 又一个方程，从而可用 AD 分别表示12AB、 BC。解：因为 C 为 AD 的中点，所以因为 ，即又由、 可得：即 BC 3AB例 4. 如图 4，C、D、E 将线段 AB 分成 2：3：4：5 四部分，M、P、Q、N 分别是AC、CD、DE、EB 的中点，且 MN21 ，求 PQ 的长。图 4分析：根据
17、比例关系及中点性质，若设 AC2x，则 AB 上每一条短线段都可以用 x 的代数式表示。观察图形，已知量 MNMC CDDEEN，可转化成 x 的方程，先求出 x，再求出 PQ。解：若设 AC 2x，则于是有那么即解得：所以4. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性例 5. 已知线段 AB8cm ，在直线 AB 上画线段 BC3cm，求 AC 的长。分析：线段 AB 是固定不变的，而直线上线段 BC 的位置与 C 点的位置有关，C 点可在线段AB 上，也可在线段 AB 的延长线上，如图 5。13图 5解：因为 AB8cm ，BC 3cm所以或综上所述，线段的计算，除选择适当的方法外，观察
18、图形是关键，同时还要注意规范书写格式，注意几何图形的多样性等。【练习】1. 已知如图 6，B 、C 两点把线段 AD 分成 2：3：4 三部分，M 是线段 AD 的中点，CD16cm。求：（1 ） MC 的长；（ 2）AB：BM 的值。图 62. 如图 7 所示，已知 AB40cm ，C 为 AB 的中点，D 为 CB 上一点，E 为 DB 的中点，EB 6cm，求 CD 的长。图 7【答案】1. （1）2cm；（2）4：52. 8 cm列方程解应用题的方法一. 直译法设元后，视元为已知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程。例 1. （2004 年山西省）甲、乙两个建筑队完成
19、某项工程，若两队同时开工，12 天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用 10 天。问单独完成此项工程，乙队需要多少天？解：设乙单独完成工程需 x 天，则甲单独完成工程需（x 10 ）天。根据题意，得去分母，得解得经检验， 都是原方程的根，但当 时， ，当 时，因时间不能为负数，所以只能取 。14答：乙队单独完成此项工程需要 30 天。点评：设乙单独完成工程需 x 天后，视 x 为已知，则根据题意，原原本本的把语言直译成代数式，则方程很快列出。二. 列表法设出未知数后，视元为已知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程（组） 。例
20、 2. （2004 年海淀区）在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。某班足球队参加了 12 场比赛，共得 22 分，已知这个队只输了 2 场，那么此队胜几场？平几场？解：设此队胜 x 场，平 y 场由列表与题中数量关系，得解这个方程组，得答：此队胜 6 场，平 4 场。点评：通过列表格，将题目中的数量关系显露出来，使人明白，从胜、平、负的场数之和等于 12，总得分 22 分是胜场、平场、负场得分之和。建立方程组，利用列表法求解使人易懂。三. 参数法对复杂的应用题，可设参数，则往往可起到桥梁的作用。例 3. 从 A、B 两汽车站相向各发一辆车，再隔相同
21、时间又同时发出一辆车，按此规律不断发车，且知所有汽车的速度相同，A、B 间有骑自行车者，发觉每 12 分钟，后面追来一辆汽车，每隔 4 分钟迎面开来一辆汽车，问 A、B 两站每隔几分钟发车一次？解：设汽车的速度为 x 米/分；自行车的速度为 y 米/分，同一车站发出的相邻两辆汽车相隔 m 米。A、B 两站每隔 n 分钟发一次车。则从 A 站发来的两辆汽车间的距离为 12（汽车行进速度）（自行车行进速度） ，从 B 站发来的两辆汽车间的距离为：4（汽车行进速度）（自行车行进速度） 。由题意，得得：所以由（3）得 ，又由（4）得15答：A、B 两站相隔 6 分钟发车一次。点评：本例不用直接设元，因
22、为无从着手，需要的已知量较多，但又是未知的，而选用x、y、m、n 的参数，从而很容易列出方程组，使复杂的问题迎刃而解。四. 线示法运用图线，把已知和未知条件间的数量关系，用线性图表示出来，则等量关系可一目了然。例 4. A、B 两地间的路程为 36 里，甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，二人相遇后，甲再走 2 小时 30 分钟到达 B 地，乙再行走 1 小时 36 分钟到达 A 地，求二人的速度？解：设甲的速度为 x 里/小时，乙的速度为 y 里/小时，2 小时 30 分 小时，1 小时 36 分小时。从出发到相遇时间 小时，甲从 A 到相遇点 C 要走 里，乙从 C地到 A 走了
23、里；乙从 B 到 C 要走 里，甲从 C 到 B 走 里，从图 1 可以看清。图 1于是解得答：甲、乙二人的速度分别是 8 里/小时，10 里/ 小时。点评：把速度、时间、距离三者关系用线性图表示，再把数量关系写在直线图上，则等量关系一目了然。圆与圆位置关系中常见辅助线的作法1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。例 1. 如图 1，O 1 和O 2 相交于 A、B 两点，过 A、B 分别作直线 CD、EF，且 CD/EF，与16两圆相交于 C、D、E、F 。求证： CEDF 。图 1分析：CE 和 DF 分别是O 1 和 O 2 的两条弦，难以直接证明
24、它们相等，但通过连结 AB，则可得圆内接四边形 ABEC 和 ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。证明：连结 AB因为又所以即 CE/DF又 CD/EF所以四边形 CEFD 为平行四边形即 CE DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。例 2. O1 和 O2 相交于 A、B 两点，两圆的半径分别为 和 ，公共弦长为 12。求的度数。图 2分析：公共弦 AB 可位于圆心 O1、O 2 同侧或异侧，要求 的度数，可利用角的和或差来求解。解：当 AB 位于 O1、O 2 异侧时，如图 2。连结 O1、O 2，交 AB 于 C，则 。分
25、别在 和 中，利用锐角三角函数可求得故17当 AB 位于 O1、O 2 同侧时，如图 3图 3则综上可知 或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例 3. 如图 4，O 1 和O 2 外切于点 P，A 是O 1 上的一点，直线 AC 切O 2 于 C，交O 1于 B，直线 AP 交O 2 于 D。求证 PC 平分 。图 4分析：要证 PC 平分 ，即证而 的边分布在两个圆中，难以直接证明。若过 P 作两圆的公切线 PT，与 AC 交于 T易知由弦切角定理，得又 是 的一个外角所以又从而有即 PC 平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。
26、例 4. 如图 5，O 1 与半径为 4 的O 2 内切于点 A，O 1 经过圆心 O2，作O 2 的直径 BC，交O 1 于点 D，EF 为过点 A 的公切线，若 ，求 的度数。18图 5分析： 是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O1O2、O 1A，则 O1O2 必过点 A，且 O2A 为O 1 的直径，易知 。连结 DA，则于是又 为锐角所以从而有5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例 5. 如图 6，O 1 与 O 2 外切于点 O，两外公切线 PCD 和 PBA 切O 1、O 2 于点C、 D、B 、A，
27、且其夹角为 ， ，求两圆的半径。图 6分析：如图 6，连结 O1O2、O 1A、O 2B，过点 O2 作 ，构造 ，下面很容易求出结果。请同学们自己给出解答。（答案：两圆的半径分别为 3 和 1）几何证明的几种特殊方法一、分解法即把一个图形分解成几个简单的图形或分成具有某种特殊关系的图形，然后借助于分解后的图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。例 1. 如图 1，ABCD 是任意四边形，E、F 将 AB 分成三等分，G、H 将 CD 分成三等分。求证：四边形 EFGH 的面积等于四边形 ABCD 面积的三分之一。19分析：四边形问题我们常分割成三角形问题来解决。于是考虑连结 AC、AH
28、、HF 、FC ，由题意和“等底等高的三角形面积相等”知：所以所以又所以故二、特殊化法即先考察命题的某些特殊情形，从特例中探索一般规律，或从特例中得到启发，从而解决一般问题的一种方法。例 2. 如图 2，设 P 为AOB 的平分线上一定点，以 OP 为弦作一圆，分别交 OA、OB 于C、 D。求证：OC 与 OD 的和为定值。分析：学生往往找不到定值是什么，若将“弦 OP”特殊化为“直径 OP”，则OPC 和OPD 是全等直角三角形，因而，OCOD ，于是判断 OC 与 OD 的和为定值20。故过 P 作 PEOA，PFOB，连 PC、PD，可证PCE PDF ，所以CEDF ，OE OF。所
29、以即 OC OD 为定值。三、扩充法即把图形扩充为另一个图形，借助于扩充后图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。例 3. 如图 3，已知 AD 为ABC 的边 BC 上的中线，O 为 AD 一点，BO、CO 与 AC、AB 分别交于 E、F。求证：EFBC分析：要证两线平行，考虑到平行线的判定，而这里只有 BDDC ，故考虑延长 OD 至 G，使 DGOD，扩充得到平行四边形 BGCO，则 ，OFBG，所以 ，故 EFBC。四、类比转换法即将所要论证的问题进行转换并与其类似的问题对比，从而得到启发，使问题得以解决的一种方法。例 4. 如图 4，在 ABC 中，已知 ABAC，BAC108
30、 ，AHBC 于 H，DAC。求证：21分析：这类问题常转换为： ，而在直角三角形 ADH 和 AEH 中，和 分别为DAH 的余弦和AEH 的正弦，由题意可计算知 DAHAEH18，联想到 ，该问题得证。五、面积法即利用面积定理，结合图形中的面积关系，找到与问题相关的数量关系，使问题得到解决的一种方法。例 5. 如图 5，平行四边形 ABCD 中，E 在 AD 上，F 在 AB 上，且 DFBE，DF 与 BE 交于G。求证：CG 平分BGD。分析：证明角平分线有两种常用方法：这条射线分得的两个角相等或这条射线上一点到角两边的距离相等。连 CE、 CF，作高 CH、CP，此题图中有 ，而 DFBE，故高CP CH，于是 CG 平分BGD。六、代数法即根据图形的有关性质布列方程、不等式或函数式等，再利用相关代数知识来解题的一种方法。例 6. 如图 6，在凸四边形 ABCD 中， AB2，P 是 AB 边的中点，如果DABABCPDC 90，求证：四边形 ABCD 的面积的最小可能值是 4。22分析：显然，四边形 ABCD 的面积的大小与 AD、BC 的大小有关。故令 ADx，BCa，四边形 ABCD 的面积y，DFCB 于 F，由题意：APPB 1，BFADx ，DF AB2，。所以所以因 x、y 均为正实数，故由一元二次方程的根的判别式得
