1、 2014 年 温 州 市 小 学 数 学 小 论 文 （ 小 课 题 ）评 比学 校 ： 苍 南 县 龙 港 潜 龙 学 校 成 员 姓 名 ： 章 一 行 小 课 题 题 目 ： 香烟盒中的数学问题一道数学题引发的思考 指 导 教 师 ： 胡 晓 春 联 系 电 话 ： 13088682617 香烟盒中的数学问题一道数学题引发的思考一、研究背景在奥数学习中，我在举一反三上看到这样一道题：一包香烟的形状是长方体，它的长是 9 cm ，宽是 5cm, 高是 2cm。把 10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸？（包装纸的重叠部分忽略不计） 。你认为哪一
2、种包装比较合理？乍一看，这道题很简单。他跟表面积的知识有关。包装合理，只要表面积最小就行了。根据已有知识，我认为 10个香烟盒沿着一个最大的面排成一排，表面积是最小的。于是，我胸有成竹地写出了答案。可是，老师马上否定了我的答案，说这不是最小的表面积。我很纳闷，怎样拼表面积才是最小的呢？带着这个疑惑，我重新审题，并通过实物摆放对这道题进行再次研究。二、研究过程（一）拼摆计算为了更好研究，我向奶奶借了一条香烟，决定亲自动手摆一摆。通过摆放同时画了简易图。长方体有六个面，相对面的面积相等。所以可以沿着正面，侧面，底面三个不同大小的面进行拼接。10个相同的小长方体拼成一个大长方体到底有几种摆法？我决定
3、从最简单的开始研究。拼法一（如图）：分析：10 个相同的长方体沿着一个面拼，拼成一个大长方体，从图上可以看出，图 3是沿着最大面进行拼接，所以他的表面积减少的是最多的。拼成的大长方体的表面积就是最少的。计算如下：（205+209+59）2=650（平方厘米）拼法二（如图）：这样拼成的图形比较复杂，不能一眼看出表面积的大小。需要计算每一个图形的表面积。计算结果如下：图 4：（455+454+54）2=850（平方厘米）图 5：（25 2+2518+218）2=1072（平方厘米）图 6：（109+910+1010）2=560（平方厘米）图 7：（185+1810+510）2=640（平方厘米）图
4、 8：（ 102+1045+245）2=1120（平方厘米）图 9：（49+925+425）2=922（平方厘米）分析：通过计算可以看出，图 6的表面积最小，书上的谜题也解开了。把10个小长方体拼成一个大长方体，共有 9种包装方法。其中 1011的有 3种，251 的有 6种。像图 6这样的包装是将最大的面进行拼接，那么表面积减少得最多。因此，最为合理。（二）提出猜想尽管问题已经解决，但是我还是心存疑问：对于这样一道题，尽管我知道要沿着最大面进行拼接，表面积是最小的。但是也不能马上很准确地进行计算。还是得进行画图比较，计算量也太大。如果对于基数大，拼摆方法多题目就很难用这种方法加以解决。是不是
5、有更好的方法呢？难道以后碰到类似的题，还要这样拼摆计算吗？记得在课堂中老师讲过的一个知识，当长方形的周长一定时，长宽越接近，面积越大。反之，面积一定时，长宽越接近，周长越小。老师的话启发了我，我想当长方体的体积一定，长、宽、高的变化会给表面积带来什么变化呢？于是，我决定深入研究。为了更好地对数据进行观察分析，我将上面的图形变化和计算结果记录在一张表格中。图表如下：（表一）图形 长（cm） 宽（cm）高（cm） 表面积 cm图 1 90 5 2 1280图 2 50 2 9 1136图 3 20 5 9 650图 4 45 5 4 850图 5 25 2 18 1072图 6 10 9 10 5
6、60图 7 18 5 10 640图 8 10 2 45 1120图 9 4 9 25 922分析：我仔细观察了表格中的数据，图 3、图 5、图 9这三个图形的表面积是相对较小的。我仔细观察，发现他们的长、宽、高的长度都比较接近，而且越接近的拼成的长方体的表面积就越小。像图 6，它的长、宽、高分别是10cm、9cm、10cm 是最接近的，它的表面积也是最小的。是不是多个小长方体拼成大长方体只要拼成的长宽高最接近，它的表面积就最小呢？（三）举例验证我对我的这一发现，感到很欣喜。并迫不及待地想知道我的想法是否合理，于是决定再列举两组数据来证明我的发现。1、用 12个 长 5厘米、宽 4厘米、高 3
7、厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，拼成后得到的这个长方体木块的表面积最小是多少平方厘米？我通过拼摆，也分别计算出了各种摆法的表面积。图表如下：（表二）长 cm 宽 cm 高 cm 表面积 cm60 4 3 86448 5 3 79836 4 5 68830 4 6 64824 5 6 58818 5 8 55410 4 18 5848 5 18 54818 4 10 54415 4 12 57612 5 12 5289 4 20 59210 8 9 48416 5 9 53812 4 15 5766 15 8 51612 10 6 5042、把 35个长宽高分别是 13厘米、2 厘米 、
8、3 厘米的长方体，拼成一个大长方体，它的表面积最小是多少平方厘米？（表三）长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积 cm455 2 3 456270 13 3 2318105 2 13 320291 2 15 315414 3 65 229421 2 65 307465 3 14 229410 13 21 122615 14 13 1174分析：从表（二）可以看出，表面积最小的是长 10、宽 8、高 9的长方体。它的长、宽、高是最接近的。表（三）中拼成的长、宽、高分别是 15厘米、14 厘米、13 厘米的长方体的表面积最小。欣喜之余，我又怀疑我的发现只是巧合，不具普遍性，又迫不及待地向数学老
9、师求证，不久老师就肯定了我的发现。当拼成的长方体的长、宽、高越接近，那么他的表面积就越小的。当我想用数学知识加以证明时，老师告诉我这个问题很难，还不能用现有的知识来解决。但你可以在今后的学习中继续研究。（四）方法探究怎样才能使拼成的长方体长、宽、高最接近呢？这是解决问题的关键。把若干个小长方体拼成一个大长方体，它的体积不变。并且大长方体的长、宽、高一定是小长方体的倍数。所以只要算出体积，把得数分解质因数，找到最接近的三个数，同时这三个数又是小长方体长、宽、高的倍数。这样拼成的大长方体的长、宽、高就最接近，那么它的表面积也最小。如果设原来小长方体的长、宽、高分别为 a、b、c（a、b、c 均为正
10、整数） ，那么 n个小长方体的体积为 V=abcn。把 V分解质因数，最终写成 V=a1b1c1 。同时，a 1=k1 a b1 = k2 b c1 = k3 c（k 1 、k 2 、k 3均为正整数） ，并且 a1、b 1、c 1是最接近的。如表二：拼成的长方体的体积是 54312=720（立方厘米） ，720=2222335=8910，而 8、9、10 分别是 4、3、5 的倍数。因此，拼成的长方体的长、宽、高分别是 8、9、10，与表中计算结果一致，其它两题也通过这种方法加以验证，和答案一致。有了这种方法，以后碰到类似的题目，我就能做到游刃有余了。（五）实际应用还记得经常遇到这样的题目，
11、当周长一定时，长方形、正方形、 、圆形中，哪个面积最大，答案是圆形，我铭记于心。当时心中就有疑问，为什么是圆呢？按照上面的结论，周长一定，边长越接近，面积越大。也就是周长一定时，边的数量越多，就越接近圆形，面积也就越大。当边数无限多时，也就成了一个圆。因此，圆的面积是最大的。这种方法，还可以用来解决，当（两）三个数的和一定时，两（三）个数越接近，它们的乘积就越大，最大值是这个数的平方或立方。如要组成一个表面积为 52的长方体，则最少需要棱长为 1的小正方体（ ）个，就可以用上述方法来解决。表面积一定，要求体积最小，只需长宽高相差最大。利用表面积公式 S=2(ab+ah+bh), 则 ab+ah
12、+bh=26，得出 1、2、8 是符合条件的 3个数。再根据体积的计算方法，求得最少需要棱长为 1的小正方体共有 16个。三、我的收获通过对这道题的研究，我不仅知道了解决类似问题的方法，还懂得了遇到问题要有耐心，多观察、多思考，从另一角度寻求新的解题方法，办法肯定比问题多。数学题目千千万，题海战术肯定不如提高战术。这道题的研究，使我更加坚信一题多解，多题归一定能帮助我加深对知识的巩固与深化；提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力；增强思维的灵活性、变通性和创新性。同时，还可以运用相关的数学知识为商家的产品包装提供合理建议哦！如香烟盒的包装，就可以考虑像刚才 10109这样的包装。如 555香烟就采用类似的包装。“知识就是力量” ，这是英国哲学家培根的名言，我更想说的是这不仅是一种力量，而且这种力量是无穷的。在日常的生产和生活中，数学都起着非常重要的作用，加强数学的学习与研究，努力提高自己数学素质，才能更好地迎接未来的挑战。
