第八章 无穷级数,8.1 常数项级数的概念与性质,可知：一个数可以由无穷个数相加而得到；,反之，无穷个数相加却不一定能等于一个确定的数.,例如：,一、引言,人们自然要问：,在什么条件下无限个数相加一定是一个确定的数？,在什么条件下无限个数相加不能得一确定的数？,这就构成了研究常数项级数最基本的问题。,二、常数项级数的概念,级数的定义: 给定数列,则由这个数列构成的表达式,称为无穷级数，简称级数，,记为,每一项 都是常数的级数,称为常数项级数。,每一项 都是函数的级数,称为函数项级数。,定义2:,余项,显然,解,例1 讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,收敛,发散,发散,发散,综上,解,例2 判别无穷级数,的收敛性.,三、基本性质,注: 级数的每一项同乘一个不为零的常数k ,注：收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,敛散性不变.,证明,证明,性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然,收敛于原来的和.,注：,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来,级数也发散.,四、收敛的必要条件,证明,
