1、第 十 章 波 动,MECHANICAL WAVES,机 械 波,第 八 章,两类波的不同之处,机械波的传播需有传播振动的介质;,电磁波的传播可不需介质.,能量传播 反射 折射 干涉 衍射,两类波的共同特征,8-1弹性体的应变和应力,如果外力撤消后，物体在外力作用下发生的形变也完全消失，则这种形变称为弹性形变，只发生弹性形变的物体称为弹性体。,一、 弹性体的拉伸与压缩,应力：单位面积所受内力为应力，应力沿外法线方向的投影为 正应力。,1 外力、内力和正应力,张应力：若内力与外法线同向，称为张应力。,压应力：若内力与外法线反向，称为压应力。,2 线应变,应变：单位长度上的形变。,线应变：一直线段
2、沿自身方向的形变称为线应变。,张应变：伸长时线应变为正，称为张应变。,压应变：压缩时线应变为负，称为压应变。,3 胡克定律：线应变与正应力成正比。,其中E为杨式模量。,二、 弹性体的剪切形变,剪切形变：当物体受到一对大小相等、方向相反、不在同一直线上的力作用，使物体的某一截面和与它平行的另一截面，产生平行于截面的相对运动时，弹性体的形变成为剪切形变。,一 机械波的形成,产生条件：1）波源；2）弹性介质.,波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.,机械波：机械振动在弹性介质中的传播.,8-2 波的基本概念,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,二 横波与纵波（按质点的振动方向和波的传
3、播方向的关系）,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,特征：具有交替出现的密部和疏部.,注：,（1）波的介质要求：横波仅在固体中传播；纵波可在固体、液体和气体中传播。,（2）任何形式的波都可以看成是横波与纵波的叠加。,（3）两种波中各质点都只在各自平衡位置附近振动。,三 平面波和球面波,四 波的周期、频率、波长、波速,周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间.,频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,1、周期、频率和圆频率,圆频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,2、波长,波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、
4、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.,O,y,A,波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.,3、波速,例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 m/s，水中的声速 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？,在水中的波长,各质点相对平衡位置的位移,各质点的平衡位置,简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，介质中各质元均按余弦（或正弦）规律运动.,平面简谐波：波面为平面的简谐波.,介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数
5、.,8-3 平面简谐波方程,一 平面简谐波的波函数,点O 的振动状态,点 P,t 时刻点 P 的运动,t-x/u时刻点O 的运动,以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 其振动方程,点P 振动方程,时间推迟方法,沿 轴负向,注（1）坐标系的选择,（2）波动方程的不同形式,（3）质点的振动速度，加速度,二 波函数的物理意义,1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程.（ 振动曲线）,2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.（波形图）,a. 对于横波， 时刻曲线上各点位置就是质元真实位置，所见曲线既是真实的波形。,b. 对于纵波， 时刻质元真实位
6、置并不能连接为曲线，我们可以将位置旋转 ，既是真实的波形。,3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.,例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.,解：方法一（比较系数法）.,把题中波动方程改写成,比较得,例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.,解：方法二（由各物理量的定义解之）.,周期为相位传播一个波长所需的时间,波长是指同一时刻 ，波线上相位差为 的两点间的距离.,1）波动方程,例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求,解 写出波动方程的标准式,2）求 波形图.,3） 处
7、质点的振动规律并做图 .,2）求 波形图.,3）求 处质点的振动规律并做图 .,处质点的振动方程,例 8-3-1 频率 的平面余弦纵波沿细长金属杆无吸收地传播，波速为 已知波源的振幅 时波源质元位于平衡位置且沿位移负方向运动，波源位于金属杆的一段。试求（1）波源振动方程；（2）此平面简谐波的波方程；（3）离波源0.2m处质元的振动方程；（4）t=0.0001s时离波源0.2m处质元振动的速度；（5）离波源0.1m和0.2m处两质元振动的相位差；（6）t=0.00005s时该波的波形图。,例 8-3-2 已知一平面余弦横波以波速 沿x轴负向传播，y轴为质元振动方向，t=0.0025s时其波形图如
8、图所示。求该平面简谐波的波方程。,例 8-3-3 已知平面简谐波的振幅为0.1cm，波长为1m，频率为100Hz。写出波方程（最简形式）。,一 波的能量,当机械波在介质中传播时，介质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.,同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.,以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.,8-5 波的能量,振动动能,弹性势能,小质元的线应变为,体积元的总机械能,再以横波为例,o,2,1,u,质元1在最大位移处，动能最小，形变最小，势能也取最小值.,质元2在平衡位置处，动能最大，形变最大，势能也取最大值.,2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能
9、量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .,体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.,体积元的位移最大时，三者均为零.,1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是同相位的.,能量密度：单位体积介质中所具有的能量.,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.,二 能量密度（描述能量在介质中的分布）,能量密度是位置x和时间t的二元函数。,三 平均能流密度,四 平面简谐波的振幅,例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.,证： 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,即,式中 为离开波源的距离
10、， 为 处的振幅.,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.,一 惠更斯原理,8-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波,波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.,波的衍射,波的叠加原理,几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,二 波的干涉,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地
11、方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,波的干涉,波的相干条件,点P 的两个分振动,常量,1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,波程差,若 则,三 驻波,振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在 同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.,驻波方程,正向,负向,驻波方程,相邻波腹（节）间距,相邻波腹和波节间距,1）振幅 随 x 而异， 与时间无关.,2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反.,驻波的能量,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.,四 半波损失,当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,例 8-6-1 已知沿x轴正向传播的平面简谐波方程为波在x=1.5m处的A点发生固定端全反射。求反射波方程及原点与A点间波节、波腹的位置。,
