1、1,高等计算固体力学,中国科技大学近代力学系 黄颖青,2,Chap. 0 绪论,使用教材： 1. 有限单元法, 王勖成, 清华大学出版社，2003。 2. 有限单元法基本原理和数值方法（第2版）, 王勖成, 邵敏, 清华大学出版社，1997。,参考书：,Vol1: The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu, sixth edition, published by Elsevier Butterworth-Heinemann 2005. Vol2:
2、The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics, Sixth Edition Vol3: The Finite Element Method for Fluid Dynamics, Sixth Edition,3,有限元法, 中译本, 清华大学出版社, 2008. (fifth edition) Finite element procedures in engineering analysis, K.J. Bathe, 1982. 工程分析中的有限元法, 中译本, K.J. Bathe, 机械工业出版社, 1991. C
3、omputational Methods for Plasticity, Theory and Applications, Souza Neto,DRJ Owen 2008. 塑性力学有限元理论与应用, 中译本, 兵器工业出版社, 1989. 非协调数值分析与杂交元方法, 吴长春, 卞学鐄, 科学出版社, 1997.,4,有限元的应用范围,结构力学（航空、航天、建筑、机械、大应变） 动力学分析（桥梁、固有频率、机械振动、大位移） 温度场（温度分布、传导、辐射、耦合） 流场（流体、空气） 医学工程（骨生物力学、血液血管、牙齿）,5,汽车碰撞实验,6,轴承强度分析,7,加工模拟技术是应用有限元技术
4、对加工过程中工件的变形，材料的流向，成形后的形状尺寸进行模拟仿真。用途：预测加工缺陷;预测回弹;辅助模具和零件设计;优化加工工艺参数;参数变化研究等。板料深拉及弯曲；管材及异型截面型材的弯曲和回弹；,板材的深拉,管材的弯曲和回弹,8,钢板精轧机热轧制分析,9,三维椭圆封头开孔补强,10,水轮机叶轮的受力分析模拟,11,半导体芯片温度场的数值仿真,12,人体股骨端受力分析,13,弹丸超高速碰撞薄板,14,有限元发展历史,1943, Courant, 数学家，变分法求解St. Venant 扭转问题。 1941, Hrenikoff; 1943, Mchery, 结构近似替换法 1954, Arg
5、yris；1956，Turner & Clough, 直接刚度法 1960, Clough, 有限元一词出现 1964, Pian, 杂交元 1973, Wilson, 非协调元 近代，新的分支：混合元, 边界元, 有限体法, 样条元等以及无单元法,15,近四十多年来，有限元的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间、板壳问题。对拱坝、涡轮叶片、飞机与船体等复杂结构进行应力分析。由静力平衡问题扩展到稳定、动力和波动问题。 分析对象也由弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，可应用于土力学与岩石力学、疲劳与脆性断裂问题。 由结构计算问题扩展到结构优化设计问题。 由固体力学扩展到流体力学、渗流与
6、固结理论、热传导与热应力(例如焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力)、磁场(例如感应电动机的磁场分析)以及建筑声学与噪音等领域。 由工程力学扩展到力学的其它领城(例如冰川与地质力学，血管与眼球力学等)。,16,有限元的历史可以从工程和数学两条线看:,Engineering,结构近似替换法 Hrenikoff, Mchery,直接刚度法, Argyris 1954, Turner & Clough 1956,Mathematics,变分法, Rayleigh 1870, Ritz 1909,加权余量法, Gauss 1795, Galerkin 1915,整体连续的试函数 Hrenikoff,
7、Mchery,分段连续的试函数, Courant 1943 Hrenikoff, Mchery,现代有限元,有限差分,变分有限差分,17,数值计算方法概述,工程问题 （力学、物理等）,建立一组 基本方程,控制微分方程,边值条件,常微分方程,偏微分方程,位移边界条件,力的边界条件,初始条件,求解,精确解,近似解 （数值解）,（均质、边界条件简单）,（1）有限差分法,（2）等效积分法（包括变分法）,（3）有限单元法,（4）边界单元法,（1）有限差分法,要点：,差分,微分；,差分方程,微分方程。,（代数方程）,18,优点：,收敛性好、程序设计简单、,非线性适应好。,代表性软件：FLAC,缺点：,当边
8、界几何形状复杂时，解的精度受到限制。,（2）等效积分法,控制微分方程,边值条件,建立等效的 积分方程,近似求解,（a）加权余量法（加权残值法）,（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法等）,（b）变分法,当原问题存在某个泛函时，则原问题等价于求该泛函的驻值。如：Ritz 法等。,特点：,在整个区域内，假设未知函数。,适用于边界几何形状简单的情形。,19,（3）有限单元法, 加权余量法、变分法的推广。,基本思想：,整个区域,分成若干个单元,区域离散,假设未知函数,在单元上,由变分原理等求出单元结点上值,（近似解）,20,数值计算方法比较,21,有限元法特点和求解过程,特点: 1.
9、 离散单元, 有限自由度，局部近似, 单元插值函数标准化.用有限自由度模拟无限自由度.用分段/分片连续函数模拟场函数. 2. 适合计算机求解。 3. 应用领域广泛。,22,步骤: 对物理问题进行简化假设, 建立数学和几何模型(控制方程, 本构关系, 单元模型等). 对求解域进行有限元离散(网格,单元等), 前处理. 形成单元刚度矩阵(单刚)并组装为总体刚度矩阵(总刚). 处理边界条件(约束)和外载荷. 计算机求解. 分析结果, 后处理. 如果必要, 修改模型, 返回第一或第二步.,23,Chap. 1加权余量法和变分原理(weighted residual methods and variat
10、ional principles),1.1 微分方程的等效积分形式,工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数 u 应满足微分方程组,(在内),24,同时未知函数 u 还应满足边界条件,(在上),是域的边界。,25,域可以是体积域、面积域等，如图,域和边界,26,要求解的未知函数u可以是标量场(如温度)，也可以是几个变量组成的向量场(如位移、应变、应力等)。A，B是表示对于独立变量(如空间坐标、时间坐标等)的微分算子。微分方程数应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以域内微分方程和
11、边界条件采用了矩阵形式。,27,由于微分方程组在域中每一点都必须为零，因此就有,其中,是函数向量，它是一组和微分方程个数相 等的任意函数。,28,上式是与原微分方程组完全等效的积分形式。可以断言，若积分方程对于任意的v都能成立，则原微分方程必然在域内任一点都得到满足。,同理，假如边界条件亦同时在边界上每一点都得到满足，则对于一组任意函数 下式应当成立。,29,因此，积分形式,对于所有的v和 都成立是等效于满足原问题的微分方程和边界条件。上式称为微分方程的等效积分形式。,30,C0连续(continuity),31,C0连续 : 一个函数在域内其本身连续，它的一阶导数具有有限个不连续点但在域内可
12、积，这样的函数称之为具有C0连续性的函数。 Cn-1连续: 如果在微分算子A中出现的最高阶导数是n阶，则要求函数u必须具有连续的n-1阶导数，即函数应具有Cn-1连续性。一个函数在域内函数本身（即它的零阶导数）直至它的n-1阶导数连续，它的第n阶导数具有有限个不连续点但在域内可积，这样的函数称之为具有Cn-1连续性的函数。具有Cn-1连续性的函数将使包含函数直至它的n阶导数的积分成为可积。,C0和Cn-1 连续,32,二维热传导（稳态）问题示例,这里f表示温度；k是热传导系数； 和 分别是边界 和 上温度和热流的给定值；Q是热源密度；n是边界的外法线方向。,33,二维稳态热传导问题示例（三个场
13、变量形式）,这里 是边界法线方向的热流。,在W内,34,1.2等效积分的弱形式 (weak statements equivalent to the differential equations),格林公式:,35,稳态热传导问题的等效积分弱形式示例,假定给定温度的边界条件已经满足:,通常称为强迫边界条件 forced boundary conditions,36,稳态热传导问题的等效积分弱形式示例,并且对于任意函数v和 ，不失一般性，可假定：,其中,37,给定温度的边界条件称为强迫边界条件 forced boundary conditions。进一步可以假设在 上， , 从而去掉最后一项。,
14、f不出现在边界 上，意味着 上的边界条件自动满足。这样的边界条件称为自然边界条件。Natural boundary condition,现在的弱形式允许k,的一阶导数不连续，更符合物理实际。,38,1.3 加权余量法the weighted residual method,例如二维弹性力学问题：,其中ai是待定参数，Ni是试探函数或基函数或形函数,39,将假设场函数和任意函数代入积分形式：,其中daj是任意参数，wj和 是给定函数,例如二维弹性力学问题：,为什么称为加权余量法？,采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法,40,根据权函数选择的不同，可分为：,配点法Poi
15、nt collocation,子域法subdomain collocation,伽辽金法Galerkin method,如果算子A是偶数阶且线性自伴随的，会得到对称的系数矩阵,力矩法,41,最小二乘法 least square,求I的最小值，本质是余量平方在域内积分平均意义下最小,42,例：用加权余量法求解以下二阶常微分方程, 边界条件,解：（1）选取适当的近似解，并计算域内和边界上的余量；,（1）,（2）,（3）,注意：尽量使近似解满足边界条件。,取一项近似解（n = 1）：,（5）,代入方程（1），其余量：,（6）,取两项近似解（n = 2）：,代入方程（1），其余量：,（7）,（8）,加
16、权余量法等效积分形式：,（4）,43,（2）选取适当的加权余量法，求解；,(a) 配点法,一项近似解：,取一个配点：x =1/2 ;,所求一项近似解为：,两项近似解：,取两个配点：,求解得：,所求两项近似解为：,近似解的项数越多，解的精度越高。,解得：,即取：,代入：,44,(b) 子域法,一项近似解：,取，子域 = 全域,取权函数：,代入：,积分得：,一项近似解为：,两项近似解：,取权函数：,代入：,45,求解得：,两项近似解为：,（c）最小二乘法,将余量的二次方 R2 在域 内的积分：,通过适当选取待定系数 ai ，使 I 达到极小。,即：,（9）,将式（9）代入，有,（10）,由此得到
17、n 个方程，可求解 n 个待定系数 ai 。,将式（10）与式（4）比较：,（4）,显然有最小二乘法的权函数：,46,一项近似解：,代入式（10）：,(10),积分后，解得：,一项近似解为：,两项近似解：,代入式（10）积分，有：,积分后，解得：,两项近似解为：,47,(d) 力矩法,一项近似解：,代入式（4）：,（4）,求得：,一项近似解为：,与子域法一项近似解相同。,两项近似解：,权函数：,代入式（4）：,求得：,两项近似解为：,48,(e) 伽辽金(Galerkin)法,一项近似解：,权函数：,代入：,（4）,解得：,一项近似解为：,两项近似解：,权函数：,代入：,（4）,积分后解得：,
18、两项近似解为：,49,讨论：, 边界条件,精确解：,各种方法的近似解与精确解的比较见表1.1：,（1）两项近似解均得到了很好的精度，误差 3%;,（2）Galerkin 法的结果精度较高;,（3）可以推断，随着选取近似解项数的增加，精度会更高;,50,1.4 泛函functional和变分variation,泛函：变量和函数的关系，广义的函数，或者说函数的函数,变分法：求解泛函的极值问题，也称为变分问题,51,著名的变分问题,一、最速降线问题：约翰.伯努利 1696 公开信;历经莱比尼兹、牛顿(Newton) 和约可毕伯努利等的多方努力，才得到较完善的解答.,52,二、短程线问题 1697约翰
19、.伯努利,其中,要求,53,三、两点间直线最短,其中,要求,54,四、等周问题 古希腊就知道答案,1744 欧拉解决,其中,55,五、悬索线问题,要求,56,泛函的一般形式,57,函数和泛函的定义：一一对应关系 自变量的微分和自变函数的变分：,微分:dx=x (很小时) 变分：y(x)=y(x)-y1(x) 差别很小时,注意: y(x)仍然是关于x的函数，不过是微量,如何判断差别很小？,58,零阶接近度，但不 具一阶接近度的接近曲线,既有零阶接近度，又有一阶接近度的接近曲线,59,函数和泛函的连续,如果对于一个任给的正数e ，可以找到一个d，当|x-x1|d时，能使|y(x)y(x1)| e，
20、就说y(x)在x=x1 处连续。或者说对x的微小改变，有y的微小改变。,如果对于一个任给的正数e ，可以找到一个d，当|y(x)y1(x)| d， 时，能使|P(y(x)P(y1(x)| e，就说P(y(x)在y=y1 处k接近地连续。或者说对y的微小改变，有P的微小改变。,线性函数和线性泛函,a为常数,60,函数的微分和泛函的变分,函数的微分定义1：增量的线性主部。,函数的微分定义2：Lagrange定义 。,泛函的变分定义1：增量的线性主部。,线性泛函项,非线性泛函项,61,非线性泛函项趋于0， 得到,泛函的变分定义2： Lagrange定义 。,函数和泛函的极值和驻值,函数y(x)可微分
21、且在x=x0处有极值，则在该处必然有,反之，如果函数y(x) 在x=x0处dy=0，则在该处有驻值. 如果在该处附近的函数值都不大(小)于y(x0) ，则y(x0)为极大(小)值。,62,泛函P(y(x)可变分且在y(x)=y0(x)处有极值，则在该处必然有,反之，如果泛函P(y(x)在y(x)=y0(x)处dP=0，则在该处有驻值. 如果在y(x)=y0(x)附近(可能为0阶接近度也可能是1阶接近度)的泛函值都不大(小)于P(y0(x)，则称P(y0(x)为极大(小)值。对0阶接近度称为强极值，1阶称为弱极值。,y(x)=y0(x)为极值函数或极值曲线,63,变分的运算规则和微分类似，且变分
22、和微分顺序可以互换,y(x)+dy(x),y(x),B: y,C: y+dy=y+ydx,计算B,C,F,G的纵坐标：,F: y+dy,G: (y+dy)+d(y+dy),或,G: (y+dy)+d(y+dy),64,的极值问题和欧拉-拉格朗日方程,其中运用了分部积分公式：,65,注意到域内dy的任意性，可以得到域内的欧拉方程：,或简单为,注意欧拉方程内的d/dx为全导数：,注意到边界上dy的任意性，可以得到相应的自然边界条件,66,几个特例：,不是微分方程，一般来说，变分问题不存在,不是微分方程，一般来说，变分问题不存在。如果此式满足，则,说明泛函和y无关,67,欧拉方程的推广,68,最速降
23、线问题,假设,则,积分得：,由y(0)=0,得c1=0; 由y(xB)=yB,可确定C,圆滚线方程，R是圆半径,69,如果右端纵坐标不固定？,欧拉方程和原来的问题相同，且左端边界条件不变，因此最后得到的解也一样，只不过圆滚线的半径还没有确定。,70,进一步假设有初始速度？,假设h=y+y0, 则泛函形式和原来完全一样。,再由y(0)=0可确定c1和R,71,圆柱面上的短程线问题,圆柱面方程为：,设A,B两点的坐标为(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), 并设x=x(s), y=y(s), z=z(s), 则,问题的泛函可表示为：,问题转化为求泛函L(x,z)在满足端点条件下的最小值问题
24、。由dL=0可以得到下面的欧拉方程：,72,进一步利用,注意到dx/ds不等于0， 否则A,B两点必在同一条母线上，问题的解是显然的。于是有：,73,利用,可得,剩下的待定参数由A,B两点的位置确定,圆柱面上的螺旋线方程,74,Lagrange乘子法,引入Lagrange乘子，问题的泛函可以表示为：,=1,75,积分得：,进一步得：,76,悬索线问题,其中,引入Lagrange乘子，新的泛函可以表示为：,假设,77,等周问题,其中,注意,同理,积分一次得：,显然：,78,1.5.1 线性、自伴随微分方程变分原理的建立,1. 线性、自伴随微分算子,(1) 线性微分方程概念,若有微分方程：,（在域
25、 内）,（1）,式中：L 为微分算子 。,如果算子 L 具有 如下性质：,（2）,其中，、 为两常数。,则称 L为线性微分算子 ，,方程(1)为线性微分方程。,直观上看： 线性微分方程仅为,的线性函数。,（2）L(u) 与任意函数 v 的内积 ：,定义：,（3）,为L(u) 与v 的内积，也常表示为,1.5 变分原理和里兹(Ritz)法,79,(3) 自伴随微分算子,将,分部积分，直至对 u 的导数消失，可得到：,（4）,式中：,为转化后的内积，,为伴随的边界项。,称：L* 为 L 的伴随算子，,若：L* = L ，,则称 L 是自伴随算子。,为线性、自伴随微分方程。,（在域 内）,（5）,同
26、时，称线性微分方程：,80,例题 证明算子：,是自伴随的。,构造内积，并分步积分：,比较等式左右的两内积表达式，显然有,故算子L 是自伴随的。,81,将式(6)代入,2. 泛函 (u) 的构造,设：,（在域 内）,（在边界 上）, 线性、自伴随的,由加权余量法的Galerkin变分形式：,（7）,（6）,（8）,利用原方程的线性、自伴随性质，有,分步积分：,代入上式，有,82,代入式(8),（9）,83,其中：,（10）,结论：,（1）对于线性自伴随微分方程，一般都存在一标量泛函（u）,原微分方程的边值问题等价于该泛函（u）取驻值，即：,（2）对于线性、自伴随微分方程，其等效积分的Galerk
27、in 形式等价于该泛函（u）的变分等于零，即：（u）取驻值。,84,3. 泛函 (u) 的极值性,等价于泛函（u）取驻值：,极大值,极小值,不定, 取决于泛函（u）的特性,强制边界条件与自然边界条件：,若算子 L 为偶数（2m）阶的，即对于 2m 阶的微分方程：,含 0 m-1 阶导数的边界条件,称为强制边界条件,含 m2m-1 阶导数的边界条件,称为自然边界条件,近似解应事先满足,（u）极值性：,85,例：二维热传导问题：,试：（1）建立它的泛函； （2）研究其极值性。,解: (1)原问题的Galerkin等效积分形式可表示为：, 强制边界条件, 自然边界条件,分步积分：,86,同理，得：,
28、代入：,87,对照变分原理：,得到：,（2）,对上式求二阶变分：,88,89,1.5.2 里兹(Ritz)法,1. 基本思想,从满足强制边界条件的假定解,中，寻求使得泛函变分取极值的“最好”解。,2. 里兹法的求解步骤,（1）由原问题建立变分原理，求得泛函 (u) ；,（2）选取适当的试探函数；,（3）由,得到一组代数方程，并求解。,90,其中：,得到与待定参数 a 的个数相等的方程组，由此可求得待定参数a 。,里兹（Ritz）法,特殊情形：,上式为一线性方程组。,式中，K 为一对称的常系数矩阵。,91,解：（1）建立变分原理，求原问题的泛函 (u) ；,（3）,（4）,代入式(4), 有,9
29、2,得到：,（5）,93,（1）,选取一项多项式近似解,满足强制边界条件,代入式（5），得,（5）,由（a）= 0，得,所求近似解为：,此解同Galerkin 法的一项近似解。,说明：当存在变分原理时，变分法(Ritz法)与Galerkin法结果相同。,（2）选取试探函数，建立里兹法方程求解,94,(2) 选取近似解为：,（5）,为使其满足强制边界条件u(1)=0, 可得：,显然，满足u(0)=0,由此求得：,代入式（5）：,所求解为：, 与精确解相同,95,3. 里兹（Ritz）法的收敛性要求,设原问题存在一标量泛函：,满足强制边界条件的近似解为：,当 n 时，近似解收敛于精确解的条件：,（
30、1）,为一完备的函数序列；,（2）,应满足 Cm-1 类函数的连续性要求。,其中： m 为泛函 （）中最高的微分阶数。,96,1.6 弹性力学的基本方程和变分原理,1.6.1 弹性力学基本方程的矩阵形式,1. 基本量,应力：,位移：,应变：,体力：,面力：,或：,或：,或：,97,2. 基本方程,（1）平衡微分方程：,其中：,（2）几何方程：,98,（3）物理方程：, 弹性矩阵,若令：, 拉梅（Lame）系数,99,其中：, 柔度矩阵,（4）应力边界（ S ）条件：,边界外法线方向余弦矩阵,100,（5）位移边界（ Su ）条件：,（6）弹性体的应变能与余能,单位体积的应变能（应变能密度）：,
31、 正定函数,单位体积的余能（余能密度）：, 正定函数,在线性弹性力学中，有,101,1.6.2 弹性力学基本方程的张量形式,1. 基本量的张量表示,应力：,应变：, 二阶对称张量,位移：,体积力：,面力：, 一阶张量, 二阶对称张量,102,2. 基本方程的张量表示,平衡微分方程：,在域V内, 表示对坐标 xj 的导数,上述方程展开，有,几何方程：,（在域V内）,103,物理方程：,（在域V内）, 四阶张量,（共有34=81个分量，即有81个弹性常数）,由于,的对称性，,因而有,对于等温、绝热的变形过程，有,此时独立的弹性常,数为21个。,进一步对各向同性的线弹性材料，独立的弹性常数只有,2个
32、。,如拉梅常数 G、 或弹性模量E、泊松比 ，,此时弹性张量为：, 线弹性材料的物理方程,其中：,104,将上式展开，有,物理方程的另一种形式：, 柔度张量,应力边界条件：,（在边界 S 上）, 边界外法线的方向余弦,105,位移边界条件：,（在边界 Su 上）,应变能密度和余能密度：,应变（比）能：,余（比）能：,106,1.6.3 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式 虚功原理,变形体的虚功原理：,即：体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。,变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功之和等于零。,虚功原理：,虚位移原理：,虚应力原理：,以平衡方程和力的边界条件得到的等效
33、积分“弱”形式，反映体系内外力在虚位移上作功的关系。,以几何方程和位移的边界条件得到的等效积分“弱”形式，反映虚应力在实际位移上作功的关系。,107,（1）虚位移原理：,（在域V内）,（在边界 S 上）,（在域V内）,（在边界 S 上）,取权函数：,（在域V内）,（在边界 S 上）,其等效积分形式：,即：取真实位移函数 u 的变分为权函数，有,（在 Su 上）,（在域V内）,对第一项分部积分：,108,代入等效积分形式,有,109,（外力在虚位移上作的虚功）, 平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式,矩阵形式：,虚位移原理的表述：,若力系,是平衡的，即：,（在域V内）,（在 S 上）,则它
34、们在虚位移和虚应变上所作的功之和等于零。,说明：,（1）ui 须满足边界条件：,ij 须满足变形协调条件：,（2） 未涉及物理方程的具体形式， 虚位移原理也可用于非线性问题。, 力系平衡的充分和必要条件,110,（2）虚应力原理：,取权函数：,（在域V内）,（在边界 S 上）,即：取真实的应力与外力 的变分为权函数,（在 S 上）,（在域V内）,（满足平衡微分方程）,等效积分形式：,111,分步积分：,代入等效积分式：,112,矩阵形式：,虚应力原理的表述：, 几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式,若位移是协调的,（内部满足几何方程，边界上满足位移边界条件）,则虚应力（内部满足平衡方程，
35、边界上满足应力边界条件）和虚边界面力在实位移上所作的功之和等于零。, 位移和变形协调的充分和必要条件,113,说明：,（1）,（2） 未涉及物理方程， 虚位移原理也可用于非线性问题。,（在 S 上）,（在域V内）,（满足平衡微分方程）,114,1.6.4 线弹性力学的变分原理,弹性力学的变分原理：,自然变分原理：,约束变分原理：,最小位能（势能）原理,胡海昌-鹫津久广义变分原理,（第8章）, 虚位移原理, 虚应力原理,平衡微分方程,力的边界条件,几何方程,位移边界条件,建立变分原理,寻求相应的泛函，,使得：,最小余能原理,Hellinger-Reissner混合变分原理,115,1. 最小位能
36、（势能）原理：, 虚位移原理,由物理方程：,代入上式，有,为对称张量，有,变形位能的变分,（ 为体力势能）,（ 为面力势能）,外力势能的变分,将其代入式(1),(1),116,将变分与积分交换，有,系统的总位（势）能，等于弹性体变形位能与外力位能的和,最小位（势）能原理：,在所有满足几何方程、位移边界条件的可能位移中，真实位移使系统的总位（势）能取驻值。且可证明，此驻值为最小值。,117,设可能位移为：,计算其位能泛函P：,上述表明：,真实位移使系统的总位能泛函 P 取最小值,118,2. 最小余能原理：,由虚应力原理：,由物理方程：,代入上式, 有,（1）,由于 的对称性, 应变余能的变分,
37、代入式（1）：,其中：, 外力余势能的变分,119, 系统的总余能,（变形余能与外力余能的和）,最小余能原理：,在所有满足平衡方程、力和边界条件的可能应力中，真实应力使系统的总余能取驻值。且可证明，此驻值为最小值。,取最小值的证明：,取可能应力为：,120,于是，有：,真实应力使系统的总余能泛函 c 取最小值,121,3. 最小位能原理与最小余能原理所求解的性质,系统的总位能,系统的总余能,将两者相加：,（外力功的两倍）,对于固定的位移边界，有,此时系统的总位能与总余能分别为：,122,（外力功的两倍）,设系统取近似解时，其总位能为,其总余能为,讨论：,（1）由最小位能原理，有,表明：所求近似
38、位移解，比真实的位移偏小。结构的计算模型比实际结构偏刚硬。,123,（2）由最小余能原理，有,表明：所求近似应力解，比真实的应力偏大。,随之，所求近似位移解，也比真实的位移偏大。,综合以上两种方法的解，可得精度更高的解。,结构的计算模型比实际结构偏柔软。,124,1.7 小 结,等效积分形式,一、微分方程的等效积分形式：,125,二、微分方程的等效积分形式的求解方法,加权余量法,加权余量法的各种形式,126,三、变分原理及其求解方法,变分原理：,若一连续介质问题存在一标量泛函 ：,则连续介质问题的解 u 一定使泛函 对微小变分u 取驻值，即使泛函 的“变分”等于零：,泛函的构造方法：,由加权余
39、量法的Galerkin变分形式构造：,127,里兹（Ritz）法：,（1）,（2）,注意：满足强制边界条件,四、弹性力学的变分原理,最小位（势）能原理：,注意：,（1）,平衡方程和力的边界条件,（2）,求得的位移解偏小,128,最小余能原理,129,五、加权余量法、变分法与有限单元法的关系,加权余量法,变分法或里兹（Ritz）法,伽辽金(Galerkin)加权余量法,130,与有限单元法的关系,加权余量法：,定义在整个物理域 上,变分法：,定义在整个物理域 上,有限单元法：,定义在 单元域 i 上,（近似场函数）,131,第 8 章 有限单元法的进一步基础 广义变分原理,132,约束变分原理将
40、场函数应事先满足的附加约束条件引入泛函的两种方法(Lagrange 乘子法和罚函数法)，及它们的实质和各自特点。,本章要点,应用约束变分原理从弹性力学最小位能原理或最小余能原理出发导出各类广义变分原理的方法。,应用约束变分原理将场函数应事先满足的单元交界面上的连续条件引入泛函建立不同形态修正变分原理的方法。,第 8 章 有限单元法的进一步基础 广义变分原理,133,约束变分原理,Lagrange乘子法,泛函P 取驻值，并且未知函数 u 还需服从附加的约束, 是未知函数 u 必须服从附加约束时的泛函, 是 域中一组独立坐标的函数向量，称为Lagrange乘子,泛函 无附加约束,驻值问题,修正泛函
41、,134,的驻值条件,试函数构造它们的近似解,Lagrange乘子法构造的修正泛函包括未知量 u 和 ,由方程可解得二组参数 a 和 b,其中,由 得到,135,假设泛函 的欧拉方程为,假设附加约束是线性微分方程组：,将假设试解代入下面泛函的一阶变分：,可得：,136,因为变分 a 和 b 的任意性,其中,对称，但主对角线存在零元素。,进一步得：,137,罚函数法,利用罚函数将约束附加条件以乘积的形式引入泛函, 称为罚数。在实际计算中，取较大的有限值。, 值的选择不易掌握。,138,场函数不要求事先满足几何方程和位移边界条件,胡海昌-鹫津久变分原理（H-W变分原理）,通过Lagrange乘子法
42、引入势能泛函的附加条件：,分别是 W 域内和 Su 边界上的Lagrange乘子，它们是独立坐标 xi 的任意函数。,得到：,139,新的无约束泛函的变分为：,其中,140,相互独立,在 W 内,在 S 上,在 Su 上,在 W 内,在 W 内,在 Su 上,的驻值条件,141,和 的力学意义分别是应力 和边界力 （取负值）,是相互独立的场函数,代入修正泛函,142,Hellinger-Reissner 变分原理（H-R 变分原理）,是相互独立的场函数,143,最小余能原理,144,最小余能原理,H-W变分原理,H-R变分原理,广义变分原理,最小势能原理,自然变分原理,注：自然变分原理为极值原
43、理，而广义变分原理为驻值原理.,变分原理间的相互关系：,几何方程，位移边界条件,引入,事先满足,平衡方程和力边界条件,引入,事先满足,本构方程,事先满足,用,表示,145,弹性力学修正变分原理,修正的位能原理,最小位能原理中位移函数的导数的最高次数等于 1,交界面不满足位移连续,任意二个单元,交界面,交界面,应力，应变，位移,交界面,应力，应变，位移,单元交界面上的位移连续要求,146,将交界面上的位移连续条件通过Lagrange乘子法引入，得到修正泛函,是拉格朗日乘子，它是在 上定义的独立场变量。,修正泛函的变分,147,其中 是单元 的边界，包括交界面上的边界,148,由变分的任意性，可以
44、得到单元内的平衡方程和给定力边界条件，以及单元交界面的位移连续条件。除此之外，交界面还必须满足：,代入修正泛函得到：,其中 是单元交界面上力。,149,如果进一步放松给定位移的边界条件，则：,另外一种方式，引入交界面的位移 ，约束条件为：,修正泛函为：,150,由变分的任意性，交界面必须满足：,将识别后的Lagrange乘子代入修正泛函得到：,151,修正的余能原理,有限元分析时，单元交界面上应力必须满足平衡的要求：,其中,且有,通过Lagrange乘子将此附加条件引入，构造修正泛函：,是拉格朗日乘子，在交界面上定义的独立场变量，可通过泛函变分为0来识别它的物理意义。,152,其中 是单元 的边界，包括交界面上的边界,其中,注意,153,由变分的任意性，可以得到单元内的几何方程和给定位移边界条件，以及单元交界面的力平衡条件。除此之外，交界面还必须满足：,可见 的物理意义是交界面上的位移。代入修正泛函得,154,其中,如果进一步放松给定面力的边界条件，也即将下面的约束条件通过Lagrange乘子引入：,或者,同样可以识别Lagrange乘子的物理意义是边界上的位移。这样修正泛函为：,155,如果进一步假定给定位移的边界条件已经满足：,这个就是早期杂交元采用的修正余能变分原理。,
