1、第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数,三年3考 高考指数: 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.,1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题.,1.角的有关概念 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_从一个位 置_到另一个位置所成的图形. (2)分类：_、_、_. (3)终边相同的角： 与角终边相同的角可构成集合S=|=+_.,旋转,正角,负角,零角,k360,kZ,端点,【即时应用】 (1)思考：角为锐角是角为第一
2、象限角的什么条件？ 提示：充分不必要条件.因为锐角为大于0小于 的角，而第一 象限角为(2k，2k+ )(kZ).,(2)若是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填“”或“”) |=k360+45，kZ ( ) |90180 ( ) |k360+90k360+180，kZ ( ) |=k180+135,kZ ( ),【解析】=k360+45，kZ表示的是与45终边相同的角，是第一象限的角，故不正确. 90180,不能表示所有第二象限的角，故不正确. 正确. =k180+135表示的是当k为偶数时，与135终边相同的角；当k为奇数时，与315终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确.
3、 答案： ,2.弧度的定义和公式 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_的弧所对的圆心 角为1弧度的角,它的单位符号是_，读作_.,单位长度,rad,弧度,(2)公式,角 的弧度数公式,=_（弧长用l表示）,角度与弧度的换算,1=_rad,弧长公式,弧长l=_,扇形面积公式,S=_,=_,1rad=(_) ,【即时应用】 (1)33730的弧度数是_. (2) 的度数为_. (3)扇形半径为45，圆心角为120，则弧长为_. 【解析】(1)33730表示的弧度数为 (2) 的度数为 (3)圆心角120对应的弧度数为 故弧长l= 45=30. 答案：(1) (2)75 (3)30,3.任意角的三
4、角函数 (1)定义：设角终边与单位圆交于P(x, y)，则sin=_，cos=_，tan=_. (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点 都是(1,0). 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的_，角的 _和角的_.,y,x,正弦线,余弦线,正切线,x,x,A(1,0),(3)由三角函数的定义可得到以下关系: sin2+cos2=1(平方关系); (商数关系).,【即时应用】 (1)已知角终边上的一点A(2,2)，则tan=_. (2)满足sin 的角的取值集合为_. 【解析】(1),(2)作出正弦值等于 的角的
5、终边，正弦 值大于 的角的终边与单位圆的交点在劣弧 P1P2上，所以所求角的范围为图中的阴影部 分，的取值集合为 答案：(1)1 (2),终边相同的角的表示 【方法点睛】终边相同的角的表示及应用 (1)所有与的终边相同的角都可表示为=+k360,kZ. (2)根据与终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角,也可以根据的终边所在的象限,判断的倍数角所在的象限. (3)与终边相同的角的表达式中一定是k360或k2，这一点要注意.,【例1】已知角是第一象限角，确定2， 的终边所在的象 限位置. 【解题指南】本例可由所在的象限写出角的范围，从而得 2、 的范围，再确定终边所在的位置. 【规范解答】
6、是第一象限角， k2k2+ (kZ). (1)k42k4+(kZ), 即2k222k2+(kZ), 2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.,(2)k k+ (kZ), 当k=2n(nZ)时,2n 2n+ (nZ), 的终边在第一象限. 当k=2n+1(nZ)时, (2n+1) (2n+1)+ (nZ), 即2n+ 2n+ (nZ), 的终边在第三象限. 综上， 的终边在第一象限或第三象限.,【反思感悟】1.已知角所在的象限，应熟练地确定 所在 的象限：,第一或第三象限,第二或第四象限,2.若为第一象限角,则0 ,从而 是第一象限角,这种 说法是片面的,是错误的.必须用象限角的一般表示
7、法,再用不 等式的性质及对整数k的奇、偶讨论后确定 或2所在的象限.,【变式训练】若角与的终边在一条直线上，则与的关系是_. 【解析】当、的终边重合时， =+k2,kZ. 当、的终边互为反向延长线时， =+k2=+(2k+1),kZ. 答案：=+k2，kZ或=+(2k+1),kZ,弧度制的应用 【方法点睛】弧度制的应用 (1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r|，扇形面积公式： 计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便. (2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示. 【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.,【例2】已知扇形
8、的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若=60，R=10 cm,求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若 R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.,【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制. (2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角. (3)利用S弓=S扇-S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.,【规范解答】(1)l=10 = (cm). (2)由已知得：l+2R=20, 所以 =10R-R2=-(R-5)2+25， 所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，=
9、2 rad. (3)设弓形面积为S弓,由题知l= S弓=S扇-S=,【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10 cm改为扇形的 AB= cm,再求弧长l. 【解析】因为圆心角=60， 所以,【反思感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下 的弧长公式 扇形面积公式 有着必然的内在联系. 2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角 所在的三角形.,【变式备选】扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦AB的长 【解析】设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角的弧度数 为，则有 解得 由 得2，|AB|2sin1(cm). 弦长AB为2sin1
10、 cm.,三角函数的定义 【方法点睛】 1.三角函数定义的理解 在直角坐标系xOy中，设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO|r，则,2.定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解. (2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.,【例3】(2012西安模拟)已知角的终边经过点P(-4m,3m) (m0),则2sin+cos的值是( ) (A)1或-1 (B) 或- (C)1或- (D
11、)-1或 【解题指南】先求出r,再根据三角函数定义求出sin、cos,其中由于不知m的正负,因此需分类讨论.,【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,当m0时, 则 当m0时, 故2sin+cos的值为 或,【反思感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角的终边落到一条直线上，一般要分类讨论. 2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系. (1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r”同为正值.,(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定
12、义. (3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.,【变式训练】已知角的终边经过点P( ，m)(m0)，且sin= 试判断角所在的象限，并求cos和tan的值 【解析】由题意，得 m0, 故角是第二或第三象限角 当 时， 点P的坐标为( )，当 时， 点P的坐标为,【变式备选】已知角的终边过点(a,2a)(a0)，求的三角函数值. 【解析】因为角的终边过点(a，2a)(a0)，所以， x=a,y=2a, 当a0时, 当a0时，,【易错误区】忽略三角函数值的符号致误 【典例】(2011重庆高考)若 且(， )，则tan=_. 【解题指南】根据角所在的范
13、围，先求出sin的值，再根据商数关系求出正切值. 【规范解答】因为 所以 所以 答案：,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议:,1.(2011新课标全国卷)已知角的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=( )【解析】选B.由题意知，tan=2，即sin=2cos，将其代 入sin2+cos2=1中可得cos2= 故cos2=2cos2-1=,2.(2011上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别 为E，F,则( ) (A)E F (B)E F (C)E=F (D)EF= 【解析】选A.因为sinx=0，sin2x=0，所以角x和角2x的终边都 在x轴上，所以E=x|x=k,kZ，F=x| kZ，所以 E F.,3.（2012咸阳模拟） 的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【解析】选A.当= 时， 反之，当cos2= 时，有 或 故应选A.,4.(2011江西高考)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴 的正半轴，若P(4,y)是角终边上一点，且 则y=_. 【解析】由P(4，y)是角终边上一点，且 可知 y0， 根据任意角的三角函数的定义得化简得y2=64，解得y=-8. 答案：-8,
