1、介绍点位位差、误差曲线、误差椭圆和相对误差椭圆的概念，误差曲线与误差椭圆的关系，误差椭圆三要素和点位在任意方向上位差的计算方法。,第十章 误差椭圆,10-1 点位误差概述 10-2 误差曲线 10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,本章主要内容,10-1 点位误差概述,一、点位误差概念及点位误差的计算,二、P点在任意方向上的位差,三、位差极值方向的确定,四、位差的极大值和极小值的计算,五、用E、F表示的任意方向上的位差,六、应用实例,P ： P点真点位置, 其坐标值为 P：P点平差点位, 其坐标值为 P： P点的点位真误差, x、y：坐标真位差 s ：P点真位差在AP方向的投影，称为纵向误差。 u
2、：P点真位差在垂直于AP方向上的投影，称为横向误差。,10-1 点位误差概述,1. 点位真误差,一、点位误差概念及点位误差的计算,如图可得：,1. 点位真误差,一、点位误差概念及点位误差的计算,10-1 点位误差概述,由方差的定义式可得：,故有,2. 点位方差及其计算,10-1 点位误差概述,同理有：,一、点位误差概念及点位误差的计算,用点位方差衡量P 点精度的缺陷： 不能完善说明P 点在任一个方向上的精度情况，不能确定P 点在哪一个方向上的精度最好（最差）。,2. 点位方差及其计算,10-1 点位误差概述,上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关, 即与坐标系的选择无关。,一、点位误差概念及
3、点位误差的计算,由图可得下列关系式:,二、P 点在任意方向上的位差,10-1 点位误差概述,由协方差传播律得:,或,上式即为求任意方位角 方向上点位方差的计算公式。,二、P 点在任意方向上的位差,10-1 点位误差概述,由位差计算式可以看出, 随着 值的变化而改变，具有最大值和最小值。,10-1 点位误差概述,三、位差极值方向的确定,为此，令一阶导数等于零，即,10-1 点位误差概述,三、位差极值方向的确定,设位差的极值方向为 , 则有,即,将 代入位差计算式得:,有几个极值方向？,0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限；0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限。,10-1 点位误差概述
4、,三、位差极值方向的确定,极值方向的判别方法: 与 同号为极大值，记为E；异号为极小值记为F，即：,用 表示极大值方向、 表示极小值方向；用E、F 分别表示位差的极大值和极小值。则有,10-1 点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,把 代入位差计算式得,10-1 点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,10-1 点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,令,代入上式, 得,与 、 有下面关系:,10-1 点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,由图可知，任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系:,代入位差计算式得:,五、用E、F表示的任意方向上的位差,10-1 点位误差
5、概述,五、用E、F表示的任意方向上的位差,10-1 点位误差概述,整理得:,五、用E、F表示的任意方向上的位差,10-1 点位误差概述,例题1 如图，在固定三角形内插入一点P，经过平差后求得P点坐标的协因数阵为:,单位权方差估值为,试求 (1) 位差的极值方向 和 , (2) 位差的极大值 E 与极小值 F , (3) P点在PM方向上的点位误差（已知 ）, (4) P点的点位方差。,10-1 点位误差概述,六、应用实例,解: (1) 计算极值方向,10-1 点位误差概述,六、应用实例,因为 ，故,(2) 求位差的极值,10-1 点位误差概述,六、应用实例,(3) 求P 点在PM方向上的位差,
6、10-1 点位误差概述,六、应用实例,也可以利用E、F计算PM方向上的位差。 此时，以极大值方向为坐标纵轴， PM的方向角为：,则,10-1 点位误差概述,六、应用实例,(4) 点位方差,也可用下式计算 , 即,10-1 点位误差概述,六、应用实例,解: PA边长的中误差, 便是PA方向上的位差, 则有:,10-1 点位误差概述,边长相对中误差为:,10-1 点位误差概述,要计算PA边的方位误差, 首先要计算PA边的横向误差, 即垂直于PA边方向上的P点位差, 垂直方向的方位角为,PA边的横向误差为:,由,得,10-1 点位误差概述,此外，亦可验证：,例题3 如图, 已知,为确定P 点的位置，
7、作如下观测:,试确定P点位差的极大值及其方向。,10-1 点位误差概述,六、应用实例,解法一: 由P点的坐标差计算 及E,由图，可列函数式:,10-1 点位误差概述,六、应用实例,求全微分，dx、dy、 dS 以mm为单位，得,由上式按协方差传播律得:,10-1 点位误差概述,六、应用实例,由,解得,或,10-1 点位误差概述,六、应用实例,因为 ，故极值方向为:,10-1 点位误差概述,解法二: 以AP方向为纵轴x建坐标系 ,所建坐标系相当于xoy坐标系顺时针旋转方位角 而得到。,10-1 点位误差概述,由,P 点横坐标的方差 ，就是P 点横向方差 , 即,解得：,因为 , 故在 坐标系中,
8、 P 点位差极大值方向：,把 化为xoy 坐标系中的方位角，得,位差极大值为:,10-1 点位误差概述,10-2 误差曲线,一、有关公式复习,二、误差曲线的定义,三、误差曲线的作图方法与步骤,四、误差曲线的用途,一、有关公式复习,10-2 误差曲线,一、有关公式复习,10-2 误差曲线,以 和 为极坐标的点的轨迹所构成的封闭曲线称为误差曲线, 或称为精度曲线。,二、误差曲线的定义,10-2 误差曲线,三、误差曲线的作图方法与步骤,1、方法,以O为圆心, E、F为半径画圆弧,以xe 为起始方向, 过原点O作一系列角的直线。,直线与圆弧的交点分别投影到 xe 、ye轴上, 得到交点 和 。,在方向
9、的直线上，自O点量取线段 , 得a 点,便是误差曲线上的点。,10-2 误差曲线,10-2 误差曲线,2、步骤,用小比例尺绘出三角点点位图；,以待定点为原点, 建立x、y 坐标轴；,根据E值, 确定E(xe)、F(ye) 方向；,以xe轴为起始方向, 将不同的值及其相应的向径, 按同一比较尺逐一展绘上去；,平滑地依次将各点联结起来就得到了待定点的误差曲线图。,以大比例尺在 xe、ye轴上取,(1) 待定点任一方向的位差。例如:,(2) 点位中误差 按任意两个互相垂直方向上的位差求其值。例如,四、误差曲线的用途,10-2 误差曲线,四、误差曲线的用途,10-2 误差曲线,(3) 待定点P至任一三
10、角点边长的中误差(即该边的纵向误差)。 例如:PA边边长 SPA中误差为:,(4) 待定点P至任一三角点之方位角的中误差。,例如：PA边的方位角TPA的中误差为:,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,一、误差椭圆方程,二、误差椭圆与误差曲线的关系,三、相对误差椭圆,四、相对误差椭圆,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,一、误差椭圆方程,误差曲线作图不易，而且作出来的曲线也不是一种典型曲线，因此，给使用者带来很大不便，降低了它的实用价值。 然而，它的形状很近于以E、F为长短半轴的椭圆。在以xe、ye为坐标轴的坐标系中，该椭圆的方程为:,误差椭圆的三个参数E、E、F称为误差椭圆三要素。,10-3 误差
11、椭圆和相对误差椭圆,二、误差椭圆与误差曲线的关系,如图，由椭圆圆心向 方向引一射线，垂直于 方向上作椭圆的切线, 则垂足与原点的连线长度就是 方向上的位差 。,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,故，P是误差椭圆上的一点,以O为圆心，E、F为半径，画两圆弧,过O作一射线，交 于 点，交 于 点。,分别过 、 作ye轴及xe轴的平行线，两线相交得P点。则P点坐标为：,由于,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,自O 作任意方向 射线，垂直于该射线作误差椭圆的切线，切椭圆于P1，垂足为D； 过P1点作y 轴平行线，交 圆弧于 ，交x 轴于a； 过a 作 向射线的垂线，垂足为C；,10-3 误差椭圆和相对
12、误差椭圆,下面证明：,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,由图，P1 点处的斜率为：,由,复合求导，得,展开即得：,从而：,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,三、相对误差椭圆,设有两个待定点 ，坐标平差值的协因数阵为:,两待定点平差后的相对位置可通过坐标差来表示，即,或表示为:,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,三、相对误差椭圆,据上式，按协因数传播定律得:,计算 点间相对误差椭圆三个参数的公式为:,可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心。 根据相对误差椭圆，便可图解出所需要的任意方向上的位差大小。,10-3 误差椭圆和
13、相对误差椭圆,三、相对误差椭圆,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,试作出P1、P2点误差椭圆及P1、P2点间的相对误差椭圆。,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,解: (1) 计算P1点的误差椭圆元素,由,得,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,(2) 计算P2 点的误差椭圆元素,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,由,得,(3) 计算P1与P2点间的相对误差椭圆元素,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,10-3 误差椭圆和相对误差椭圆,(4) 绘制误差椭圆和相对误差椭圆,以1: 2万比例尺 ，将已知点和待定点展绘在图纸上。,以1: 10比例尺，在待定点上绘误差椭圆。,在待定点连线的中点绘相对误差椭圆,作 业:,第十章习题18，20，21，23，24，26，27，30。,A(4899.84, 130.81)m； B(12939.70, 2136.89)； C(4172.82, 15542.85),P1(6467.745, 4986.847),P2(-3873.003, 5957.482),
