1、1,第2章 线性系统理论,2,主要内容,2.1 基本概念 2.2 状态空间表达式的建立 2.3 线性变换 2.4 运动分析 2.5 综合问题 2.6 状态重构与状态观测器 2.7 最优控制,3,2.4 运动分析,4,2.4 运动分析,2.4.1 定量分析 2.4.2 定性分析,二、李雅普诺夫第一法,一、李雅普诺夫关于稳定性的定义,三、李雅普诺夫第二法,2.4.2 定性分析系统运动的稳定性,2.4 运动分析,5,一、李雅普诺夫关于稳定性的定义,1、系统状态的运动及平衡状态,设所研究系统的齐次状态方程为,（1）,式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是x的各元素 和时间 的函数。一般地
2、，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。,设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解：,（2）,式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从,2.4 运动分析,6,开始观察的时间变量。,式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。,若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：,成立，则称 为系统的平衡状态。,（3）,对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：,当A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平
3、衡状态。,（4）,2.4 运动分析,7,对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所 确定的常值解例加系系统：,就有三个平衡状态：,2.4 运动分析,8,若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示 以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示：,（5）,式中， 为欧几里德范数。,在n维状态空间中，有：,（6）,当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ， 则意味着 同理，若方程式(1)的解 位于球 域 内，便有：,2.4 运动分析,9,（7）,式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界 的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定
4、义以下几种情况。,2.4 运动分析,10,如果对于所有t，满足 的状态 称为平衡状态（平衡点）。,1) 平衡状态:,平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令 所求得的解 x ,便是平衡状态。,（1）只有状态稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。,2) 李雅普诺夫稳定性定义：,如果对于任意小的 0，均存在一个 ，当初始状态满足 时，系统运动轨迹满足lim ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：,3) 一致稳定性：,通常与、t0 都有关。如果与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0 无关
5、，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。,2.4 运动分析,11,2、稳定性的几个定义,12,4）渐近稳定性：,系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：,称此平衡状态是渐近稳定的。,5）大范围稳定性：,当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时 。,6）不稳定性 ：,不论取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的轨迹跨出 ，则称此平衡状态是不稳定的。,注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。,2
6、.4 运动分析,13,稳定性定义的平面几何表示,设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe 为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以 xe 为球心，半径为的闭球域内。,（a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c）不稳定性,2.4 运动分析,二、李雅普诺夫第一法,1、线性系统的稳定判据,平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负 实部。,以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。,如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出 稳定。,线性定常系统 输出稳定的充要条件是其
7、传递函数：,2.4 运动分析,14,的极点全部位于s的左半平面。,（2）,例：设系统的状态空间表达式为：,试分析系统的状态稳定和输出稳定性。,2.4 运动分析,15,设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，且在 处恒有 。,三、李雅普诺夫第二法,李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动 方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出 判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。,1、预备知识,（1）标量函数的符号性质,所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：,2.4 运动分析,16,（2）二次型标量函数,二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要
8、的作 用。,设 为n个变量，定义二次型标量函数为：,（8）,2.4 运动分析,17,矩阵 P 的符号性质定义如下：,设P 为 实对称方阵， 为由P 所决定的二次型函数。,（3）希尔维斯特判据,设实对阵矩阵：,由此可见，矩阵P 的符号性质与由其所决定的二次型函数 的符号性质完全一致。因此，要判别 的符号只要判别P 的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。,2.4 运动分析,18,（9）,为其各阶顺序主子行列式：,（10）,矩阵 定号性的充要条件是：,2.4 运动分析,19,2、几个稳定性判据,用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。,如果存在一
9、个标量函数 ，它满足：,2.4 运动分析,20,2) 是正定的，即当 。,3) 沿状态轨迹方向计算的时间导数 分别满 足下列条件：,若 为半负定，那么平衡状态 为在李雅普诺夫意义下稳定。此 称稳定判据。,若 为负定；或者虽然 为半负定但对任意初始状态 来说，除去 外，对 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳 定的。如果进一步还 ，则系统是大范围渐近稳定 的。此称渐近稳定判据。,1) 对所有z都具有连续的一阶偏导数。,2.4 运动分析,21,3、对李雅普诺夫函数的讨论,1) 是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具 有连续的一阶偏导数。,2)对于一个给定系统，如果 是可找到的，那么通常
10、是非唯一的， 但这并不影响结论的一致性。,3) 的最简单形式是二次型函数：,4)如果 为二次型，且可表示为：,若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。,2.4 运动分析,22,6)由于构造 函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。,5) 函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。,（12）,2.4 运动分析,23,2.4 运动分析,例2.23,已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。解(1)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原点
11、处的平衡点；取能量函数 ，满足条件；计算该系统能量的变化量：显然，能量的变化量函数 正定。结论：此系统不稳定。,24,2.4 运动分析,解(2)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数 ，满足条件；计算该系统的能量的变化量：显然，能量的变化量函数 半负定。需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零：令 代入状态方程得 所以当 时，必有 不衡为零。结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。重新选择能量函数 ，得 负定，结论相同。,25,2.4 运动分析,例2.24 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。,解 令,及,，可以解得原点（,）是系统的唯一平
12、衡状态。,，则,将状态方程代入有,显然,负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。鉴于只有一个平衡状态，该非线性,与t 无关，系统大范围一致渐近稳定。,取李雅普诺夫函数为,系统是大范围渐近稳定的。因,26,2.4 运动分析,例2.25 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,，,解 令,得知原点是唯一的平衡状态。选,则,当,时，,；当,时，,故,不定，不能对稳定性作出判断，应重选,选,，则考虑状态方程后得,对于非零状态（如,）存在,，对于其余非零状态，,，故,根据定理2，原点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。,负半定。,27,2.4 运动分析,例2.26 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,，,
13、解 由,可知原点是唯一平衡状态。选,，考虑状态方程则有,对所有状态，,，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。,28,2.4 运动分析,例2.27 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,解 原点是唯一平衡状态。选,，则,，,与,故存在非零状态（如,使,而对其余任意状态有,，故,根据定理4的推论，系统不稳定。,无关，,),正半定。,29,2.4 运动分析,解,是系统的唯一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的,，,得到,原状态方程在,状态空间（1，1）处稳定性判别问题就变成变换后状态方程在 X,对其求导考虑状态方程得到,系统原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大,结果。作坐标变换,选,状态空间原点处稳定性的判别问题。,围一致渐近稳定的。,例2.28 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,30,
