1、两直线的位置关系,回归课本 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1=k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行.,(2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2的斜率存在,分别设为k1,k2,则l1l2k1k2=-1. 一般地: 若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0), 直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0), 则l1l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10(或B1C2-B2C10). l1l2A1A2+B1B2=0,l1与l2重合A1B2-
2、A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).,2.三种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式特别地,原点(0,0)与任一点P(x,y)的距离,(2)点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 (3)两条平行线的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离,考点陪练 1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1. 答案:D,2.已知两直线l1:x+ysin-1=0,l2:
3、2xsin+y+1=0,若l1l2,则=_. 解析:当sin=0时,不合题意. 当sin0时, =2sin,sin= =k ,kZ.答案:k ,kZ,3.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A.x+2y-5=0 B.3x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 解析:所求直线过点A且与OA垂直时满足条件,此时kOA=2,故所求直线的斜率为 所以直线方程为 即x+2y-5=0. 答案:A,4.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置
4、关系是( ) A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.互相斜交 答案:B,5.将直线l:x+2y-1=0向左平移3个单位,再向上平移2个单位后得到直线l,则直线l与l的距离为( )答案:B,类型一 两条直线位置关系的判定和应用 解题准备:判断两条直线平行或垂直时,往往从两条直线斜率间的关系入手加以判断,当直线方程中含有字母系数时,要考虑斜率不存在的特殊情况.判断两直线垂直时,若用l1l2A1A2+B1B2=0可不用分类讨论,但在两直线平行的判断中,既要看斜率,又要看截距.,【典例1】已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平
5、行; (2)当l1l2时,求a的值.,分析可以把直线化成斜截式,运用斜率或截距的数量关系来判断求解,但由于直线的斜率可能不存在,就必须进行分类讨论;也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解,这样可以避免讨论.,反思感悟(1)直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2,“l1l2k1=k2且b1b2”的前提条件是l1,l2的斜率都存在,若不能确定斜率的存在性,应对其进行分类讨论:当l1,l2中有一条存在斜率,而另一条不存在斜率时,l1与l2不平行;当l1,l2的斜率都不存在(l1与l2不重合)时,l1l2;当l1,l2均有斜率且k1=k2,b1b2时,有l1l2.为避免分类的讨论,可
6、采用直线方程的一般式,利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行,如本例解法二. (2)当l1l2时,可分斜率不存在与斜率存在,且k1k2=-1解决问题,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分类讨论.,类型二 距离问题,3.点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|. (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|. (3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|. (4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.,【典例2】两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着A,
7、B旋转,如果两条平行直线间的距离为d. 求:(1)d的变化范围; (2)当d取最大值时,两条直线的方程.,解(1)解法一:当两条直线的斜率都不存在时,即两直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9. 当两条直线的斜率存在时, 设这两条直线方程为 l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0., 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0. kR,且d9,d0, =542-4(81-d2)(9-d2)0, 即0d 且d9. 综合可知,所求的d的变化范围为,解法二:如图所示,显然有0d|AB|.,(2)由图可知,当d取最
8、大值时,两直线垂直于AB. 则 所求的直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0.,类型三 交点及直线系问题 解题准备:符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系方程有如下几种: (1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(这个直线系方程中未包括直线x=x0). (2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C=0(CC).,(3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C=0. (4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C
9、2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系方程中不包括直线A2x+B2y+C2=0).,【典例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 分析本题可先求出交点坐标,然后由直线间的位置关系求得;也可由直线系方程,根据直线间位置关系求得.,解法二:ll3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1、l2的交点(-1,2), 故5(-1)+32+C=0.由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.,解法三:l过l1、l2的交点,故l是 直线系3x+2y-1+
10、(5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得 (3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0. 其斜率 解得= 代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.,反思感悟对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系方程,是出错的原因之一. 运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是: Ax+By+m=0(mR且mC) (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR) (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)
11、=0(R),但不包括l2.,类型四 对称问题 解题准备:(1)对称问题主要包括中心对称和轴对称. 中心对称:点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P(x,y)满足,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. 轴对称:点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B0)的对称点A(m,n),则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,(2)在对称问题中,点关于点的对称是中心对称中最基本的,处理这类问题主要抓住:已知点与对称点连成线段的中点为对称中心;点关于直线对称是轴对称中最基本的,处理这类问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段的
12、中点在对称轴上.,【典例4】求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程. 分析本题的思路较多,可以根据点斜式或两点式写出直线b的方程,也可以利用轨迹或对称观点求出直线b的方程.,错源一 缺乏分类意识 【典例1】求过直线4x-2y-1=0与直线x-2y+5=0的交点且与两点A(0,8),B(4,0)距离相等的直线l的方程.,剖析错解缺乏分类讨论的意识,对直线的位置关系考虑不全,事实上当直线l经过AB的中点时也满足条件.正解由已知可求得两直线的交点为 (1)若点A,B在直线l的同侧,则lAB,AB的斜率k=-2.所以直线l的方程为 即4x+2y-15=0.(2)若点
13、A,B在直线l的两侧,则直线l经过线段AB的中点(2,4),可求出直线方程为x=2.综上可得,直线l的方程为4x+2y-15=0或x=2.,错源二 忽视隐含条件 【典例2】如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,求m的值. 错解因为直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以m2+3m+2=0. 解得m=-1或m=-2.所以当m=-1或m=-2时直线与y轴平行.,剖析方程Ax+By+C=0表示直线,其中隐含着AB0这一条件.当m=-2时,直线方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2为0x+0y=0,它不表示直线,所以出现错误.正解因为直线(m+2)
14、x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以m2+3m+2=0,且m+20,解得m=-1,所以当m=-1时直线与y轴平行.,技法一 数形结合 【典例1】已知ABC中,A点坐标为(1,3),AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求ABC各边所在直线的方程. 解题切入点画出草图帮助思考,欲求各边所在直线的方程,只需求出三角形顶点B、C的坐标.B点应满足的两个条件是:,B在直线y-1=0上; BA的中点D在直线x-2y+1=0上. 由可设点B的坐标为(xB,1),进而再由确定xB,依照同样的方法可以确定顶点C的坐标,故ABC各边所在的直线方程可求.,解设AB、AC边
15、上的中线分别为CDBE,其中DE为中点. B在中线y-1=0上, 设B点的坐标为(xB,1). 又D为AB的中点,A(1,3),D的坐标为,方法与技巧依据已知条件求平面图形中某些直线的方程,必须“数形结合”.通过数形结合,特别是借助平面图形分析出隐含条件,这样可以达到化难为易化繁为简的目的,以形助数也是平面解析几何中常用的方法.,技法二 对称问题的解法 (1)点关于直线对称 【典例2】已知直线l:3x-y+3=0,求点P(4,5)关于直线l的对称点. 解题切入点利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而求解.,方法与技巧解法一的应用最为广泛,其关键是利用“垂直”“平分”. 点P(a,b)关于特殊
16、直线的对称点列表如下:(2)直线关于点对称,【典例3】求直线l1:2x-y+1=0关于点P(2,1)的对称直线l2的方程. 解题切入点利用好中心对称的性质是解对称问题的关键.,解解法一:因为l1与l2关于点(2,1)对称, 所以l1l2. 设l2:2x-y+C=0. 由点P(2,1)到两直线的距离相等,有:解得C=-7或C=1(舍去). 故所求的方程为2x-y-7=0.,解法二:设直线l2上任意一点Q(x,y),则它关于P(2,1)的对称点为Q(4-x,2-y). 由Q在直线2x-y+1=0上可得 2(4-x)-(2-y)+1=0. 化简可得:2x-y-7=0.,方法与技巧解法一是利用线线平行
17、及点到两直线距离相等来解;解法二是设动点,运用“代入法”求解,这也是求曲线方程的一般方法. 一般地,直线Ax+By+C=0关于点(a,b)对称的直线方程为A(2a-x)+B(2b-y)+C=0.(3)直线关于直线对称,【典例4】求直线a:x-y-2=0关于直线l:x+2y+1=0对称的直线b的方程. 解题切入点直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称.,方法与技巧(1)三种方法都是常用方法,都用到了几何性质.解法一利用转化求解(线关于线对称转化为点关于线对称);解法二抓住了P与P是一对“相关点”,利用“相关点”的性质求出动点的轨迹,这是求曲线关于直线对称方程的常用方法;解法三利用点到直线的距离解题,方法非常简捷,充分体现了利用几何性质的优越性.,(2)特别地,设直线l:Ax+By+C=0,则有: 直线l关于x轴对称的直线方程为:Ax-By+C=0; 直线l关于y轴对称的直线方程为:-Ax+By+C=0; 直线l关于y=x对称的直线方程为:Bx+Ay-C=0;直线l关于y=-x对称的直线方程为:-Bx-Ay+C=0.,
