1、第十一章 柱函数,11.2 贝塞尔方程,11.1 三类柱函数,11.4 虚宗量贝塞尔方程,11.5 球贝塞尔方程,11.3 柱函数渐进公式（自学）,柱坐标系中Laplace方程为,将变量变 与 和 z 分离,称为贝塞尔方程,称为虚宗量贝塞尔方程,11.1 三类柱函数,（一）、三类柱函数,第二类柱函数,第一类柱函数,第三类柱函数,为阶贝塞尔函数,为阶诺伊曼函数,为第一种和第二种汉克尔函数,当 x0 时，,（二）、x=0， x=处的自然边界条件,剩下,若研究区域含x=0，要去掉,称 x=0 处的具有自然边界条件,当 x 时，,不可任意舍弃其一,若研究区域圆柱外区域，要保留,(三）、 三类柱函数的递
2、推关系,有递推关系,证明：,具体写出导数关系,类似有,消去J(x),得证, =0时，由关系, =1时，由关系,或,下面讨论柱坐标系下，拉氏方程或亥姆霍兹方程分离变量得到的贝塞尔方程在柱内的本征值问题,11.2 贝塞尔方程,（一）、本征值问题,亥姆霍兹方程,柱侧面有齐次边界条件,、 是常数，=0或=0，或、均不为零时，分别表示 =a 端有第一、第二、第三类齐次边界条件,贝塞尔方程,柱侧面有齐次边界条件0,（1）、 =a 端有第一类齐次边界条件,可见J0(x)是震荡衰减的偶函数,可见J1(x)是震荡衰减的奇函数,Jn(x)=0 有无限多实根,由边界条件,设第n个零点根为,本征值由,本征值,本征值函
3、数,（2）、 =a 端有第二类齐次边界条件,本征值,（3）、 =a 端有第三类齐次边界条件,利用关系,本征值,(二）、贝塞尔函数的正交性,对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区减0，a上带 全重正交,(三）、贝塞尔函数的模,以下令,由贝塞尔方程,代入,代入得,所以,当 x0 时，,因为,所以,（1）、 =a 端有第一类齐次边界条件,而,（2）、 =a 端有第二类齐次边界条件,（3）、 =a 端有第三类齐次边界条件,(四）、广义Fourier级数,系数,积分带全重,第三类,第二类,第一类,(五）、母函数、加法公式,加法公式,母函数,以下积分关系有用，因为,因为,例：计算积分,解：,例：柱内稳定温度分
4、布问题，设半径为a高为h的圆柱体， 下底和侧面保持温度为零，上底温度分布为u=u0。,泛定方程,边界条件,解：,代入极坐标系中Laplace方程,边界条件,柱侧面有齐次边界条件 0,边界条件,边界条件,由,Fourier级数展开,上面讨论柱坐标系下，柱侧面有齐次边界条件 0,11.4 虚宗量贝塞尔方程,（一）、本征值问题,但在柱上、下底有齐次边界条件时，只有没意义的解,故，在柱上、下底有齐次边界条件时 0,有虚宗量贝塞尔方程,令,和,为虚宗量贝塞尔方程,令,为m阶贝塞尔方程,m阶虚宗量贝塞尔函数为实数,m阶虚宗量贝塞尔函数为实数,对于整数m,寻找另一线性无关解，定义,称为虚宗量汉克尔函数,称为
5、虚宗量汉克尔函数,当=m时,可计算出Km(x),x=0 是Km(x)的奇点,而,故虚宗量贝塞尔方程解为,实际问题中，在柱上、下底有齐次边界条件，柱侧面有非齐次边界条件时，会出现虚宗量贝塞尔函数,例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体， 上底和下底保持温度为零，侧面温度分布为u=u0。,泛定方程,边界条件,解：,代入极坐标系中Laplace方程,代入,令,为零阶虚宗量贝塞尔函数,边界条件,求付氏变换,Fourier级数展开,故,因此,亥姆霍兹方程在球坐标系中表示为,首先试图将此变量变r与 和 分离,11.5 球贝塞尔方程,称为球函数方程,第一式,这称为 l 阶球贝塞尔方程,令,若 k
6、=0,l 阶球贝塞尔方程退化为欧拉型方程,化为,l 阶球贝塞尔方程的线性独立解为,（一）、线性独立解,故l 阶球贝塞尔方程解为,(二）、 递推关系,令,递推关系,(三）、 初等函数表示,(四）、 x0, x的行为,(五）、 本征值问题,（=a 端有第一类齐次边界条件）,本征值,本征函数,本征值,本征函数,广义Fourier级数,系数,广义Fourier级数,系数,例：半径为r0的均匀热介质球，原来温度为u=u0，放入 冰水中，使球面温度保持为零，求球内温度分布。,泛定方程,边界条件,解：,代入方程和边界条件,与 无关 m=0，与 无关 l=0,初始条件,本征值,本征函数,因为,本征值,本征函数,特解,特解,代入边界条件,解为,代入初始条件,两边按球贝塞尔函数展开,
