1、尖子生辅导：向量，直线与圆的和谐交汇向量是数学中的重要概念之一，由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而使它成为联系相关数学知识的紐带，在知识的交汇点处命题是近年高考命题的热点，向量的引入拓宽了命题渠道，传统的圆与向量的结合使得试题更加新颖别致，下面举例说明1， (湖南卷) 已知直线 与圆 O： 相交于 A,B 两点,求 的值。6yx42yxOBA2， (全国卷) 在直角坐标系 中，以 O 为圆心的圆与直线 相切。圆 O 与 x 轴相43yx交于 A,B 两点，圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列，求 的取值范围。P3，已知直线 与圆 交于不同的两点 A,B，O
2、是坐标原点，0myx22yx，那么实数 m 的取值范围是_.ABO4，已知直线 : 与圆 O: 相交于 A,B 两点，设向量 a= ，若圆 Ol5nyx52yx 2,1上存在一点 Q 使 且 |a。求直线 的方程。OQl5，过点 A(-2,0)的直线交圆 于 P,Q 两点，则 的值为_.12yxAQP1.分析:与圆半径有关的向量数量积常用几何运算，可简化计算量。解析: 圆心 O 到直线的距离 ，则 ，所以316d 026OBdrB= 。评注: 本题虽可用坐标运算，但计算量较大不BA 20coscos2rAB如几何运算简洁。2.分析:利用向量数量积的几何运算建立 关于 的函数求解。PB解析: 易
3、求得圆 O 方程为 ， |PA|,|PO|,|PB|成等比数列，所以 =42yxPBAO= ，又设向量 与BP2AA的夹角为 ，则 =|PA|PB| = 所以 =PBcosPB4cosA，又因为点 P 在圆内 ，cos14cos140,1cos,21,2cos所以 的取值范围是 。PBA0,2评注: 点 P 在圆内 这个隐含条件的找出是本题求解的关键。,1cos3.解析: 由 得 ，则圆心 O 到直线OAB20ABO距离 满足 得 或 ，故实数 m 的取值范围是2md21d2m2。,4.解析； |a 则 = a，Q ，Q 为圆 O 上一点， | |= 解得 =1 或-1 ，又O,Q5， 由向量
4、平行四边形法则知 OAQB 为菱形，|BABA OQ 的中点即为 AB 的中点，且 。当 =1 时，Q(-1,2)，AB 的中点为 ，1,2， 的方程为 即 ，当 =-1 时，同理求得21OQkABl21xy054y，故直线 的方程为 或 。0542yx x评注: 本题主要考查了以下几个方面:平面向量的几何意义；共线向量；直线与圆的位置关系(中点弦)；直线方程； 综合运用知识解题的能力。5.解析: 过点 A 作圆的一条切线 AT，由平面几何知识(切割线定理)知: =AQP。312TQAP从以上几题可知将向量，直线与圆有机的结合，体现了在知识交汇处命题的原则，直线，圆与向量的综合考查是以向量牵线搭桥，重点考查直线与圆的相关知识。
