1、第 三 章 电 磁 相 互 作 用 的 基 本 规 律目录：目录：目录：目录：习题 3.1带电粒子在电磁场中的运动规律 2习题 3.2电磁场在外场作用下的运动规律 2习题 3.电磁场的能动张量定理 9习题 3.4电磁场的角动量张量定理 1习题 3.5介质中的 Maxwell方程组 12习题 3.6介质中电磁场能 -动量与角动量定理 23习题 3.8波动方程 30习题 3.9平面电磁波的偏振 35习题 3.10电磁场的螺旋度 38规 范不 变性 的内 容都 空了 ， 没 有处 理 。 最 后两 节也 没有 处理 ， 不 过本 身做 的很 详细 。 其 他都好 好看 了。习 题 3.11 试证作用
2、量 int 0bppfreaSSSmcdseAdx =+= 在 ()1U规范变换()1 11AUAi Ue =+下不变。式中 ()expUie证明：2 将 带电粒子的加速度用它的速度以及电场强度和磁感强度表示出来解：加速度定义： dvadt=由于 ( )0 3/20 0 0 212dmvdp dvd vdvmmvmamvdtdtdtdt cdt = =+=+ 所以 5/2 5/22 2dp v vmama maI aMdt c c =+ =+ = 而 dpeEvBdt =+ 所以1aeEvBM =+ 其中 5/22vMmI c =+ ，是一个二阶张量习 题 3.21 证 明 由 式 （ 3.2
3、） 定 义的 电荷 密度 与式 （ 3.23） 定 义的 三维 电流 密度 满足 连续 性方 程 。证 明： 由式 （ 3.2） 知电 荷密 度为 3() ()() (l llxQxx = 由 式（ 3.23） 知三 维电 流密 度为()3 3() () () ()() ( (ll l l ll l dxdxdxjx Qxx Qxxdtdt dt = = 有 3 3() () ()() ()()3 () ()() ( ( l l ll ll l ll lll xx xxdxQ Qt t x dtxxdxQxdt = = = 而 ()3() ()( (ll ll dxj Q xxdt= 由 于
4、()ldxdt与 x无 关 ,故 3() ()() (l lll dxxxj Qdtx= 所 以 0jt+=2 试 证 ： 直 至 A的 一阶 导数 ， 除 开一 个常 数因 子 ， 电 磁场 场强 张量 的对 偶张 量是 在 (1)U规 范变 换下 不变 的唯 一的 一个 二阶 赝张 量。 证 明： 若有 二阶 张量 T,则 在空 间反 演变 换下 ，张 量 T T=满 足关 系 T T =由 于 是 四阶 赝张 量 ,所 以 T TT = 即 T是 二阶 赝张 量 ,则 由 A和 构 成的 二阶 赝张 量的 普遍 形式 为( )T aAAbAcA = +若 在定 域规 范变 换 AA =下
5、 不变 ，则 有( )() )TT aAA bc T = += 所 以 0 a bc=则 TbF = ， 即12F F = 是 除开 一个 常数 因子 ，唯 一的 二阶 赝张 量附 ： 书 上 已 证 明 ， 在 U（ 1） 规 范 变 换 不 变 下 ， F是 唯 一 的 一 个 二 阶 张 量 。 现 在 若 存在 一 个 不 变 的 二 阶 赝 张 量 ， 必 然 是 F的 组 合 ， 只 有 这 样 才 能 满 足 U（ 1） 规 范 变 换 不变 ，另 一方 面， 我们 知道是 唯一 的四 阶赝 张量 ，所 以 12F F = 。3 证 明 电 磁场 场强 协变 张量 F分 量表 达
6、式 （ 3.127） ， 并 导出 相应 的逆 变 ， 混 变张 量的 分量 表达 式。 证 明 F的 分量 表达 式有 FAA=3 32 1 1 21 2 3 1 2 3 ( )( )( ) z y xzz yyxxBAAAeAAeAAeBeBeBe=+=+考 虑到 F的 协变 形式 ，则12 1323 z y xFBFBFB= =同 样考 虑到 F的 协变 形式 ，则 00 0 3 01 200 1 0 2 0 3()( )( ( ) ( ) ( ) ( ) iix y zxxyyzzA cAE cA et xcAAecAAecAAeEeEeEe =+=+ =+ 所 以 01 02 03
7、x y zFEcFEcFEc= = =又 由 FAA=， 知FF=即 ， F为 反对 称张 量， 所以0000x y zx z yy z xz y xEcEcEcEc BBF cBEc B = 导 出逆 变分 量式 ，混 变分 量式 01000 100000100 010000010 001000001 00010000x y zx z yy z xz y xx y zx z yy z xz y xFggF EcEcEcEc BBcBEc BEcEcEcEc BBcBEc B = = = 01000 100000100 010000010 001000001 00010000x y zx z
8、yy z xz y xx y zx z yy z xz y xFggF EcEcEcEc BBcBEc BEcEcEcEc BBcBEc B = = = 01000 100000100 010000010 001000001 00010000x y zx z yy z xz y xx y zx z yy z xz y xFgFg EcEcEcEc BBcBEc BEcEcEcEc BBcBEc B = = = 4 求 出 电 磁场 场强 张量 的对 偶张 量 F的 分量 表达 式， 并证 明 F与 F在 所谓 对偶 变换BEc下 互变 。解 ： 12FgFg F = = 因 为 0000x y
9、 zx z yy z xz y xEcEcEcEc BBFcBEc B = 所 以 0000x y zx z yy z xz y xBBBB EcEcF Ec cBcEc = 所 以01000 100000100 010000010 001000001 0001x y zx z yy z xz y xBBBB EcEcFgF Ec cBcEc = = 0000x y zx z yy z xz y xBBBB EcEcEc cBcEc = 而0000x y zx z yy z xz y xEcEcEcEc BBFcBEc B = 所 以在 对偶 变换 BEc下 ， F与 F互 变。 .证 明 ：
10、 EBc与 222EBc在 特殊 Lorentz变 换下 保持 其形 式不 变解 ：由 F构 造的 Lorentz不 变量 必有 0F =对 行列 式 ， 行 列互 换并 不改 变其 行列 式 ， 故 仅仅 包含 的 偶次 方项 才能 出现 而 偶数 阶行 列式 所有 元素 变号 时， 该行 列式 并不 变 又由 FF =， 有 0F F F F =+=与 此相 应 ， 在 方 程内 ， 仅 能有 两个 异于 零的 系数 ， 即 2与 4的 系数 ； 亦 即一 个二 阶反 对称 张量 的特 征是 只有 两个 不变 量代 入 0000yx zx z yy z xzy xEE EcccE BBcF
11、EB BcEBBc = ， 展开 行列 式得24 2 2 22( )()0EEB Bc c + =故 EBc与 222EBc为 不变 量， 在特 殊 Lorentz变 换下 保持 其形 式不 变这 个证 明比 较有 意思 。下 面给 出一 个通 常的 证明 ： 把 电磁 场按 坐标 系之 间的 速度 方向 分解 成平 行与 垂直 两部 分， 即 / /, EEEBB =+ =+则 在 Lorentz变 换下 ， ,EB的 变换 规律 为( )/ / / 2 , BBEE vEEvB BBEc = =+ = 所 以 ( )( )2/ / 222/ /2 vBvEEBEBEB cvEBEBEBc
12、=+ =+ 所 以 EBEB=可 以证 明 ( )222222 222 22, vEEvBBBEc =+ =+ 所 以 ( )( )2 222 2 2 2 22/ / / /2 2 2 2 21 1 1 1 1EBEEBBEBEBEBc c c c c2 =+=+= 事 实上 ，由 于 ( )2222/4F EcBF EB= =由 于他 们都 是收 缩而 成的 Lorentz标 量， 因而 都是 Lorentz不 变量 。另 一方 面， 由于 F是 赝张 量， F是 二阶 张量 ，所 以 EB是 赝标 量。 .证 明 ： 12FFgFEBFgc =+= 解 ：对 12FFgF =+ ， 有1
13、12 4F FF F = =1det4ggggggFggg = 1( )41( )2gFgFgFgFgFgFgFFF = + + = +将 括号 中第 二项 的 及 第三 项的 替 换为 ， 即得12FFgF =+这 一题 ， 由 于涉 及的 都是 二阶 张量 ， 可 以用 矩阵 表示 ， 所 以可 以利 用矩 阵乘 法直 接计 算证 明 ： 1先 证第 一式 ： 12FFgF =+2220 00 00 00 0=x y z x y zx z y x z yy z x y z xz y x z y xyz zy xyyxxz zxyz zy y z xxx xyBBB BBBB EcEcB E
14、cEcF Ec c Ec cBcEc BcEcBEBE BEBEBEBEBc c cBEBE EE EB Bc c = + + + + 2 22 22 2 22 22 2 2y zxzxxy zyxz zx z xxy yy zyxyyx zy x yzxzx zy zzEBc cE EBEBE EEB B Bc c c cBEBE E EEEB B Bc c c c + + + + + + + 2 200 000 000 yx zx y z x z yx z yy z x y z xz y x z y xyz zy xyyxxz zxyz zy xxzzEE EcccEcEcEcE BBEc
15、 BBcF cB EB BEc B cEBBcBEBE BEBEBEBEEc c c cBEBEEBBc c = + + =2 22 2 22 2 2xy zxyy xy zxxy zyxz zx zzxy xxyy zyxyyx zy yyzxzx zy xxzzE EB Bc cE EBEBE EB BB Bc c c cBEBE E EEB B BBc c c c + + + + + + + 于 是 ( ) 2222EFtraceF Bc = = 所 以2 22 20 0 00 0 00 0 00 0 0FFEBc EBcEBc EBc = 于 是命 题得 证。附 ： 事 实上 ，利 用
16、对 偶关 系 /BEc， 矩阵 运算 是十 分简 便快 捷的 。显 然， F是 对称 矩阵 ，所 以计 算时 只要 算上 三角 元素 和对 角线 元素 ，当 算出 后， 利用对 偶关 系， 可以 直接 得到 F。 所以 实际 运算 量相 当小 。证 明很 简便 。下 面利 用对 偶关 系， 在给 出一 个提 示性 的证 明：由 于对 偶关 系 /BEc， FF 所 以我 们可 以假 设 FFT =做 一次 对偶 变换 ，则 FFT = 所 以 TT =若 对 两 指标 收缩 ，我 们知 道， ( )2224/TEcB= 所 以可 以简 单地 构造 出 ( )2221/ 2TgEcBgF = =
17、因 此只 要证 明这 样的 构造 是唯 一能 满足 ( )2224/TTTEcB = 且 的 构造 。（ 尚未 证明 ） 2下 面用 矩阵 相乘 证明 第二 式 EBFgc =0 00 00 00 0/ 0 0 00 / 0 0 0 0 / 00 0 0 /x y z x y zx z y x z yy z x y z xz y x z y xEcEcEc BBBEc BBB EcEcF cB Ec cEc B BcEcEBcEBcEBcEBc = = 直 接就 得到 结论 。非 常简 单。 .验 证 关 于电 磁场 场强 张量 的 Jacobi恒 等式 与两 个齐 次的 Maxwel方 程等
18、 价解 ：对 0FFF +=， 当 时 ，由 于 方 程 本 身 是 对 这 三 个 指 标 的 轮 换 和 电 磁 场 场 强 张 量 的 反 对 称 性 ， ( ),不 重 复 的取 法只 有（ 0,12） (0,13),(0,23),(1,23)四 种， 故总 共有 四个 独立 的方 程： 分别 为：0000y xzy xzyx zyx zEEBctcxcyB EEctcxczEBEctcyczBB Byz += +=+= = 即0000y xzy x zyx zyx zEEBt xyBEEt zxEBEt yzBB Byz +=+=+= +=等 价于 0EBtB= = 而 =时 0FF
19、F =， Jacobi恒 等式 恒成 立且 当 ,中 有两 个相 同时 ，由 FF =知 ，该 恒等 式恒 成立 故 0FFF +=与 0EBtB= = 等 价8.验 证 式 0Fj =与 两个 非齐 次的 Maxwel方 程等 价解 ：对 0Fj =， 0=时 ，有 0 0Fj =， 即 20yx zEE Ecyz +=由 0021c=， 有0E= 即 0=时 0Fj =等 价于 0E=0时 ，分 别令 取 1,23,有02 0202111y xz xyxz yy x z zBEB jyzctEBB jxzctBBEjxyct =+ +=+ =+等 价于 021BEjct =+ 由 上可 知
20、， 0Fj =等 价于 0021EBEjct= =+ 9、 试由 Maxwel方 程组 的四 维形 式或 三维 形式 推出 电荷 守恒 定律 .解 ：由 Maxwel方 程：0/E= （ 1）021EB jct=+ （ 2）21(1)ct得 ： 021( /)0Ect =(2) 得 ： 021( )0EB jct= 两 式相 加可 得： 0jt+= ( 0)B=由 四维 形式 推出 电荷 守恒 定律 ： 0Fj =()0 0 00 01 11 10F j j F FF j F Fj = =利 用 的 反 对 称 又 可 以 得 到10.试 从 Lorentz力 密度 公式 导出 Lorentz
21、力 公式 。解 ： Lorentz力 密度 公式 ： f EjB=+对 带电 粒子 ， ()exxt=jv=力 密度 公式 对全 空间 积分 得： ()3 3, ( )( )v vFdxfx dxEjBeEvB = = +=+ 1 试 由 作 用 量 （ 3.20） 401 2()4fS dxF AAc = 导 出 电 磁 场 场 强张 量 F的 定义 式（ 3.212） 和真 空中 的无 源 Maxwel方 程。解 ：作 用量 （ 3.20） 式为401 2()4fS dxF AAc = 出 现在 被积 式中 的 F与 A应 当看 成是 相互 独立 的。 由最 小作 用量 原理 得0; 0.
22、f fS SF A = =此 即 44 4 ( ) 0;0dxFAAFdxFAdxAF = = 对 于任 意的 F与 A都 成立 ，故;0.FAA=/针 对这 一节 用分 量法 难以 处理 电磁 场场 强张 量的 问题 ， 我 们提 出一 个有 意思 的做 法 ， 其 核心思 想就 是分 块矩 阵。 观 察 F矩 阵， 可以 发现 它可 以划 分为 四部 分： 0000 z yz xx yyz zxxy BBBFEccEcEccEBEc = 黑 色区 域 ;红 色区 域， 绿色 区域 ：这 两个 只与 电场 有关 ，且 是一 个矢 量形 式。 蓝 色区 域： 只与 磁场 有关 ，且 是一 个反
23、 对称 矩阵 。因 此我 们可 以划 分为 四个 分块 矩阵 ， 每 一个 矩阵 内的 元素 我们 又可 以仍 用分 量表 示 。 这 就是一 切的 出发 点。 为 了实 现上 面目 的， 需要 利用 一些 结论 ： 命 题 1： 对一 个三 维反 对称 矩阵 ，可 以收 缩为 一个 三维 向量 ；反 之， 给出 一个 三维 矢量 ， 可以 构造 一个 三维 的反 对称 矩阵 。即 ： 1, 2,ij ji i ijkjki ij ijkkBB B = =对 反 对 称 矩 阵 由 此 构 造 的 三 维 矢 量 为给 出 三 维 矢 量 可 以 构 造 三 维 反 对 称 矩 阵命 题 2：
24、 对上 面的 两个 构造 方式 ，他 们是 可逆 的。 即 ： 12i ijkjk ij ijkkB B=， 收缩 得到 的矢 量还 能还 原原 来的 矩阵 。由 于我 们都 是在 闵科 夫斯 基空 间中 讨论 ，因 此还 必须 严格 区分 逆变 和协 变。 因 此对 上面 的命 题用 逆变 协变 的形 式写 出来 。 12jki ijkij ijkkBB=对 矩 阵 收 缩 ：还 原 矩 阵 ：需 要注 意的 是千 万不 要与 第一 章中 的下 标混 淆。 这里1231=记 住一 点： 将他 们理 解为 四维 形式 中的 三维 成分 。就 像 F的 蓝色 矩阵 块。命 题 3:可 以通 过
25、,ij ijgg上 升和 下降 指标 。 1 11, 1,1 1ij ijg g = = 他 们就 是度 规张 量的 三维 部分 。由 于 g在 电动 力学 中有 特殊 意义 ，为 不至 于混 淆， 我们 用 代 替。上 面命 题都 很容 易证 明。下 面我 们就 给出 F的 新形 式0 / jki ijkEcFEcB = jEE=， kBB=形 式上 可能 不太 恰当 ，左 边是 一个 分量 ，右 边是 一个 矩阵 ，不 过可 以看 作是 一个 约定 ， 像 F， 由于 , 0,12,3=， 所以 是一 个 4的 矩阵 。像jE， 由 于 1,2,3j=， 所 以是 一个 三维 矢量 ， 从
26、 它在 矩阵 中位 置可 以看 出 ， 它 还是 一个 行向 量。 像 kijkB， k指 标已 收缩 掉， 只剩 i， j两 个指 标， 所以 它是 一个 3的 矩阵 。我想一般还不会引起混淆。利 用公 式： ( )2!, jil l mnkmnnmijk k ijk ij ij = =它 们都 是四 维形 式的 直接 推论 ，始 终取 第一 个指 标为 0。a.求 出 电 磁场 场强 张量 的对 偶张 量 F的 分量 表达 式， 并证 明 F与 F在 所谓 对偶 变换BEc下 互变 。解 ： 0 /jki ijkEcFEcB = 00001 12 2 ji ijFFF F = = 显 然
27、00000FF= =0 012j jF F= ， 由 于 0是 最小 的 ， 因 此可 略去 不写 ， 不 会影 响 的 值 ，另 外， 由于 已取 过指 标零 ，所 以 只 能取 做 m,n。 m， n=1， 2， 3故 ( )0 01 1 1 12!2 2 2j j jmn jmn k jk jmn mnk kF FF B BB = = = = =同 样处 理， 或者 直接 利用 0i的 反对 称性 ，得 到 ： 0 012i i iF FB= =( )( )0 0 00 0 01 1 12 2 2ij ij ij ijm ijn ijmm n mFF FF FF = = + = +对 第
28、三 个等 号做 一些 说明 ： 对 第一 项， 由于 已 经取 了指 标 0， 所以 只 能取 n=1， 2， 3对 第二 项， 由于 已 经取 了指 标 i， j， k。 所以 只 能取 0( ) ( )( )( )(0 00 01 1 / / /2 2ij ijn ijm ijn ijm ijkn m n m kF FF Ec Ec Ec = + =+ =故 ： 0 /jj ijkkBFBEc = 对 比 0 / jki ijkEcFEcB = 可 以发 现在 对偶 变换 / /i ii iEcBBEc或 者 两 者互 变。写 成三 维形 式就 是 BEc说 明 ： 对 上面 的分 量形
29、式 ， 直 接的 / /i ii iEcBBEc或 者 还 不能 完全 变为另 一个 矩阵 ， 例 如从 FF到 ， 将 / /ik k iEcBBEc用 代 入 ， 用 代 入 ， 只 能得到 0 / jijkki EcFEcB = ， 其 实它 在数 值上 是对 的 ， 但 是形 式上 还有 些问 题 。为 此 还 要 改 造 那 些 有 指 标 的 系 数 ， 一 是 为 了 满 足 正 确 的 收 缩 法 则 （ 逆 变 指 标 与协 变指 标 ） ， 二是 为了 体现 整个 张量 是逆 变的 还是 协变 得。所 以将ijk改 写为 ijk， 注 意改 写时 必须 保持 数值 不变 ，
30、 所 以这 里有 一个 负号 。现 在我 们在 总结 一下 刚才 的做 法： 1 选 择可 以作 为矩 阵行 和列 的指 标， 像上 面， 只能 是 ,。2 将 一个 四维 指标 拆成 0， 和一 个三 维指 标 i。 从而 写成 矩阵 块形 式。000012 ji ijFFF = 3 常 常可 以利 用一 些项 的对 称性 或某 些特 点 ， 如 的 指标 不能 重复 。 因 此可 以用 来化 简 。00 01 12 2 2jmn jmnmn mnimn ij imn ijkmn mn kF FF F F = = 熟 练后 ，将 直接 写出 这样 的形 式。4 将 F的 分块 矩阵 形式 代
31、入 ，运 算。B 证 明 ： 12FFgFEBFgc =+= 先 证明 EBFgc =00 00 jji iFFF = 0 00 0i iii EEBFF Bc c = ( )0 0 / / 0ijkj ij ijk iki i k EFFEcEcc = = ()0 0kji ijkFB = = () ( )( )00 / / /j j mj j k mjli i im i imk lj jl lj ki ikik ljk ji k iFFFEcBBEcEB BEcc BEBEcc =+=+= = 所 以 00jiBEcF BEc = 得 证。再 证明 12FFgF =+00 00 jji i
32、FFF = ()()00 iiFBBB=()( )0 /ij ijki i k EBFBEcc = =( )()0 /k ji ijk EBF EcBc = = ()( )( )002 2 / / j j mj j k mjli i im i imk lj kj ji ki iFFFBBEcEcEEBcc =+=+ =+ 所 以2 2j kj ji ki iEBB cF EEEBBc cc = + 利 用对 偶变 换， 得到22 2 2j kj ji ki iE EBc cF EBEBBc cc = + 所 以 222 22200 jiEBcFF EBc = ( )( ) ( )( )0 00
33、 0 222 2 / / / / 22ij iij ii kijl ii ijk l ii ii iFFFFEcEcBBEcEcE EBBc c =+=+ +=因 此得 证。c.验 证 式 0Fj =与 两 个 非 齐 次 的 Maxwel方 程 等 价 0F= 与 两 个 齐 次 的Maxwel方 程。证 明： 1 0F= 与 两个 齐次 的 Maxwel方 程。()()( )0 0 /i kj ijkji iB BFxF EF EcB ct cx x = = + + 所 以 0BBEt= 20Fj =与 两个 非齐 次的 Maxwel方 程等 价( )( )( )0 0020/ / kij
34、kjj ii iEc EcxF cF jBEcF Bctx x = = = + 利 用 0021c=002/EEB jct=+ 习 题 3.1 证 明纯 电磁 场能 动 张量 是规 范无 关的 ,守 恒的 ,对 称的 无迹 张量 .证 明 :0 x y zxyzucgcgcgcgTcg Fcg = 其 中 0 01FuIEB= 1显 然 0T为 对称 二阶 张量下 面给 一个 纯代 数证 明：()( )0 00 00 00 00 00114114114114114T gFFT gFFT gFFgFT gFFT gFFFT = = = = = = 20()trT 2 20 01uuEB=+ 2
35、20 012uEB=0=纯 分量 语言 证明 ：0 00 0114112 vT gFFT FFg = = 至 此， 就较 难进 行下 去了 ，必 须将 电磁 场场 强张 量用 矢势 表示 出来 才成 。3由 定义 ,知 0 ()TTgjAjA =+其 中 ,0T(能 动张 量 )作 为可 测量 ,应 当与 选取 的规 范无 关 .对 于 ,()gjAjA +() gjAjA +=()( )()gjAjAjA + +由 连续 性方 程 0j=, () 0gjAjA +=即 规范 无关0T是 规范 无关 的 0 01 4T gFF = 22201 (2)( ) 4 Eg BgFc = 222013
36、()(2)( )4 Eg Bc= 为 Lorentz不 变量 /肯 定有 问题 0T守 恒前 面已 经计 算： ( )2222 /F BEc=22 2ijE EBc cF EBBBEc = + 所 以 22 2v ijE EBc cFFgFEBBBEc = = 所 以 ( )( )( ) ( )0 0 02222 20 222 22220 2221 1 4 41 /12 1 /21 /12 1 /2vij ijijT gFF gFFE EBBEcc cEB BEcBBEcEBBEc cEB BEcBEc = = + + = + = + 显 然， 它是 对称 且无 迹的 。下 面证 明他 是守 恒的 。显 然这 里的 守恒 不是 指 Lorentz不 变性 ，因 为它 是一 个二 阶张 量 ， 不变 二 阶 张 量 只 能 与 度 规 张 量 相 差 一 个 倍 数 。 0T前 面 一 部 分 确 实 是 一 个 不 变 二 阶 张 量 ， 后面
