1、J3 参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即 )(tfyx并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x 0，y 0） ，倾角为 的直线： （t 为参数）sinco0yx其中参数 t 是以定点 P（x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M（x，y）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点P 与点 M 间的有向距离根据 t 的几何意义，有以
2、下结论设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA 和 tB，则 1 线段 AB 的中点所对应的参数值等于 tBABtt4)(2 2 2BAt2中心在（x 0，y 0） ，半径等于 r 的圆： （ 为参数）sinco0ryx3中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆： （ 为参数） （或 ）ibasincoaybx中心在点（x 0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为 参 数 ）(.sin,co0byax4中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线： （ 为参数） （或 ）tgsecbyax ecayxstg5顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛
3、物线： （t 为参数，p0）2直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P（x 0， y0） ，倾斜角为 的直线的参数方程是 （t 为参数） sinco0yxJ3.2 极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向） 。对于平面内的任意一点 M，用 表示线段 OM 的长度， 表示从 Ox 到 OM 的角， 叫做点 M 的极径， 叫做点M 的极角，有序数对(, )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上
4、一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应惟一点 P( ， )，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P( ， )（极点除外）的全部坐标为( , )或（ ， ） ，( Z)极点的极径为 0，而极角任意取若对 、 的k2)12(k取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定 0，0 或20,则下列极坐标方程中，表示直线的是（ ） 。（A）= （B）cos= (0) （C）tg =1 （D）sin=1(0)3235. 若点 A(4, )与 B 关于直线 = 对称，在 0, 条件下，B 的极坐标是 673。6. 直线 cos( )=1
5、与极轴所成的角是 。47. 直线 cos()=1 与直线 sin()=1 的位置关系是 。8. 直线 y=kx1 (k0 且 k )与曲线 2sinsin20 的公共点的个数是（ ） 。1（A）0 （B）1 （C）2 （D）3例 8.讨论下列问题；1. 圆的半径是 1，圆心的极坐标是(1, 0) ，则这个圆的极坐标方程是（ ） 。（A）cos （B ）sin （C ）2cos （D）2sin2. 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是（ ） 。（A）2 （B） （C ）1 （D）223. 在极坐标系中和圆 =4sin 相切的一条直线方程是（ ）（A）sin=2 （B） cos
6、=2 （C）sin =4 （D）cos =44圆 DcosEsin 与极轴相切的充分必要条件是（ ）（A）DE0 （B ）D 2E 20 （C ）D 0，E 0 （D）D0，E05圆 2 sin2cos 的圆心的极坐标为 。36. 若圆的极坐标方程为 =6cos，则这个圆的面积是 。7. 若圆的极坐标方程为 =4sin，则这个圆的直角坐标方程为 。8. 设有半径为 4 的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(4, 0)，则这个圆的极坐标方程为 。例 9.当 a、b、c 满足什么条件时，直线 与圆 相切？sinco1bacos2例 10.试把极坐标方程 化为直角坐标方程，并就 m 值的变化06m讨论曲线的形状。例 11.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 且倾角为 的弦长|AB|，并证明： 为常数学。|1|FBA例 12.设椭圆左、右焦点分别为 F1、F 2，左、右端点分别为 A、A,过 F1 作一条长度等于椭圆短轴长的弦 MN,设 MN 的倾角为 .（1）若椭圆的长、短轴的长分别为 2a,2b,求证： ;cos2ba（2）若|AA|=6,|F 1F2|= ,求 .4例 13.求椭圆 的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值。byax
