1、立方和公式a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2）折叠立方差公式a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2）折叠 3 项立方和公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)推导过程：a3+b3+c3-3abc=(a3+3a2 b+3ab2+b3+c3）- （3abc+3a2 b+3ab2）=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+2ab-ac-bc+c2）-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)文字表达折叠立方和，差公式两数
2、和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）折叠 3 项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍公式证明迭代法： 我们知道：0 次方和的求和公式 N0=N 即 10+20+.+n0=n1 次方和的求和公式 N1=N(N+1）/2 即 11+21+.+n1=n(n+1）/22 次方和的求和公式 N2=N(N+1）（2N+1）/6 即 12+22+n2=n(n+1）（2n+1 ）/6 平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）3-x3=3x2+3x+1，迭代即得。取公式：（X+1）4-X4=4X3+6X2+4X
3、+1系数可由杨辉三角形来确定那么就得出：（N+1）4-N4=4N3+6N2+4N+1N4-(N-1）4=4(N-1）3+6(N-1）2+4(N-1 ）+1（N-1）4-(N-2）4=4(N-2）3+6(N-2）2+4(N-2）+124-14=413+612+41+1（n).于是+(n）有左边=(N+1）4-1右边=4（13+23+33+N3）+6（12+22+32+N2）+4（ 1+2+3+N)+N所以呢把以上这已经证得的三个公式代入4（13+23+33+N3）+6（12+22+32+N2）+4（1+2+3+N)+N=(N+1）4-1得 4（13+23+33+N3）+N(N+1）（2N+1）+
4、2N(N+1）+N=N4+4N3+6N2+4N移项后得 13+23+33+N3=1/4 (N4+4N3+6N2+4N-N-2N2-2N-2N3-3N2-N)等号右侧合并同类项后得 13+23+33+N3=1/4 (N4+2N3+N2）即13+23+33+N3= 1/4 N(N+1）2大功告成！立方和公式推导完毕13+23+33+N3= 1/4 N(N+1）22. 因式分解思想证明如下：a3+b3=a3+a2b+b3-a2b =a2(a+b)-b(a2-b2）=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)a2-b(a-b)=(a+b)(a2-ab+b2）公式延伸正整数范围中 13 + 23
5、 + n3 = n (n+1） / 22=（1+2+n)2几何验证透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：x3+y3把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：（x+y)3要得到 x3+ y3，可使用（x + y)3 的空白位置。该空白位置可分割为 3 个部分：xy（ x+y)x（x+y ）y（x+y） xy把三个部分加在一起，便得：=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)=3xy(x+y)之后，把（x + y)3 减去它，便得：=(x+y)3-3xy(x+y ）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：=(x+y)(x+y)2-3xy（x + y)2
6、 可透过和平方公式，得到：=(x + y)(x 2+ 2xy + y2-3xy)=(x + y)(x 2 xy + y2）这样便可证明：x3+y3=(x + y)(x2 xy + y2） 关于因数一般而言，任取一自然数 N，他的因数有 1，n1,n2,n3 ， ，nk,N，这些因数的因数个数分别为 1，m1,m2,m3，mk,k+2，则13+m13+m23+m33+mk3+(k+2）3=（1+m1+m2+m3+mk+k+2）2我们发现，上述规律对素数 p 是永远成立的，因为素数 p 的因数只有 1 和 p，因数的个数只有 1 和 2，所以成立。合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。比如 120，有因数1，2，3，4，5，6 ，8 ，10， 12，15，20 ，24，30，40，60 ，120 ；它们的因数个数为1，2，2，3，2，4 ，4 ，4，6，4，6 ，8，8，8，12，16 ，13+23+23+33+23+43+43+43+63+43+63+83+83+83+123+163=8100（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）2=8100
