1、一和檩型打天下“球与盒子模型的应用华瑞芬在排列组合问题中有这样一类“球与盒子”问题，把一些小球投入到几个盒子中，给出一定的限制条件，求有多少种不同的方法我们可以把这类“球与盒子”问题作为一种具体形象的数学模型，帮助我们解决多种多样的排列组合问题下面分类例析，希望有助于同学们理解具体数学模型的作用，提高迁移运用方法的能力禽一、m个不同的球放入门个不同的盒子此类问题中球必须都放进盒子，因此按球分步把“一个球放进盒子”作为第一步，共分，理步，每一步都有n种不同的放法，所以把m个不同的球放入理个不同的盒子，共有行”种不同的放法求解此类问题的关键在于分清谁是球，判断的标准为“球”必须都一点(点在圆C外)
2、到圆M的切线长与到圆C的切线长相等，具体的：(1)当圆C与直线m相交时，方程M表示经过两交点的圆；(2)当圆C与直线埘相切时，方程M表示经过切点且与圆C相切的圆；(3)当圆C与直线m无公共点时，方程M表示直线m上的任一点到该圆切线长等于到圆C切线长的圆当已知直线与圆的位置关系，要求满足以上对应条件的圆的方程时，就可以按照以放完矽例1 4封信投入三个信箱，共有多少种不同的投法?解析 由于每封信都必须投出去，因此把“信”类比“球”，共有3 481种不同的投法矽例2设A一0，192)，B一12点4，则A到B的映射共有多少个?解析 由于A到B的一个映射，须满足A中每个元素在B中有且仅有一个元素与之对应
3、，因此将A中每个元素类比一个球，共有4364种不同的映射二、个不同的球放入，z(，z)个不同的盒子且每个盒子不空此类问题不仅要求“球”必须放完，而且+W上设法设出圆的方程，这种方法叫圆系方程法教材中可挖掘的方法还有很多，例如点差法、设而不求法、整体代入法等。这里就不一一罗列高三复习，应从各个方面、不同角度精心挖掘课本原题潜能，充分发挥典型题的作用，做到在知识上融会贯通，方法上运用自如，最终形成科学的解题策略，只有这样我们才会真正从题海战术中脱身出来，感受数学学习的轻松愉快，。_NewUniversity Entrance Examinatio，z一隧万方数据要求每个盒子不空求解此类问题时，首先
4、要考虑分配情况，然后再考虑球的搭配、盒子的选择黟例3 把4本不同的书奖给3名同学，每个学生至少得1本，共有多少种不同的奖励方法?解析 分配方案为“2，1，1”，即一个盒子放2个球，另两个盒子各放一个球球的搭配为将某两个球合为一体，有C：种方法盒子的选择则为三个数字的全排列，即A；综上可得共有CiA；一36种不同的奖励方法眵例4 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法央南多少精?解析 恰好型”问题实际上确定了分配方案本题的分配方案为“2，1，l，0”，共有CiA：一144种不同的放法，l三、聊个相同的球放入门个不同的盒子此类问题可用“隔板”的方法求解先将m个球排
5、成一排，再加入7“一1个隔板，则可将这m个球分成九个部分，每个部分的球数对应放入盒子的球数这样每确定隔板的一种位置，就确定了一种放法因此把77个相同的球放人，z个不同的盒子的放法，对应“从m-+-行一1个位置中选择咒一1个隔板”的选法，即C扛j一。种不同的放法矽例5 求z+y+z一14非负整数解的组数解析 本题为将14个相同的球放入3个不同的盒子，共有Ci矗。一，一C。一120种不同的组数眵例6 求(以+6+f)，。展开式中的项数、-L一“)VewU靠iver矗ty Entrance嘶m砌撕解析 展开式中的每一项都可以表示为mn。bC 2，且z+y+z一10，z，Y，zN+所以所求的项数为z+
6、y+zlO非负整数解的组数，即有C孔+：一66项四、，z个相同的球放入行(，zm)个不同的盒子且每个盒子不空此类问题可用插板的方法求解先将m个球排成一列。它们中间有m1个空，再在这些空中插入Y一1个插板，这时这些插板将这埘个球分成竹个部分，且每个部分至少有一个球若每个部分的球数对应放入盒子的球数，则每确定插板的一种位置，就确定了一种放法因此把m个相同的球放入，z(”m)个不同的盒子且每个盒子不空的放法，对应“从m一1个空位中选择订一1个放插板”的选法。即C纂1。种不同的放法矽例7 求方程工+y+z一14的正整数解的组数解析 易知正整数解的组数为C；。一C氛一78种矽例8 某运输公司有7个车队，
7、现要从这7个车队中抽出lO辆车组成一个运输队，每个车队至少抽出一辆，则不同的抽法有多少种?解析 本题等于求“10个相同的球放入7个不同的盒子且每个盒子不空”的放法即有Cj矗，一C；一84种不同的抽法注意 (1)插板与隔板的区别：插板不可相邻且不可放在头尾，而隔板既可相邻又可放在头尾这个区别决定了插板与隔板所选的位置不同(2)插板与隔板的联系：可相互转化如本节问题先满足每个盒子不空，即在每个盒子中先各放一个球，还剩m一”个球，此时该问题就成上节的问题，即m一九个相同的球三兰三嚣万方数据放入以个不同的盒子，共有c#j+川一c墨 +攀2 2 290种不同的分法种不同的放法以上三例都可以转化用隔板 A
8、j法求解，请同学们不妨一试、禽五、m个不同的球放入行个相同的盒子首先考虑分配情况，然后再考虑球的搭配因盒子相同，则须注意两个盒子中球的个数相同的情形移例9 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法?解析 分配方案为“2，2，2”，此为平均分组，须除以组数的全排列，球的搭配数为C2C、2C。2，所以有垡罢警一15种不同的分法矽例10 6本不同的书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法?解析 分配方案为“1，2，3”，此为不平均分组，无须除以组数的全排列，球的搭配数为CCjC；，所以有CCjC；一60种不同的分法移例1 1 6本不同的书分成三堆，每堆都不空，有多少种不同的分
9、法?解析 分配方案为“4，1，1”、“3，2，1”、“2，2，2”三种，球的搭配数为C3C!C、C：C；C、CiCiC；，所以有C3 v,2dv。-_L-I-C2C；C六、r1个相同的球放入咒个相同的盒子只考虑分配方案的个数，常用列举法矽例12 一角硬币3枚、五角硬币6枚、一元硬币4枚，共可组成多少种不同的币值?解析 从一角硬币中取，有0个、1个、2个、3个，共四种取法；6枚五角硬币，4枚一元硬币共可组成从0元到7元所有5角的倍数，共有15种所以可组成415159种不同的币值14名运动员争夺三项冠军，每项冠军不可并列，共有多少种不同的结果?2把20个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，试问共有多少种不同的放法?36个“三好”分配给四个班级，每个班级至少有一个名额，试问有多少种分配方案?New U托iversity E咖打ce Examinatio咒一_lo夕万方数据
