1、 1 / 5 均值不等式应用 （一） 均值不等式 * 也可是值为正的代数式 1. 调和平均数： 2. 几何平均数： 3. 算数平均数： 4. 平方平均数： 均值不等式： ，当且仅当 时等号成立 常用： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。 （二） 常见变形 1. 2. 3. 4. 5. 6. （ ） 7. （ ） 8. 9. （ ） 10. （ ） 11. 12. （三） 解题技巧 （ 一定、二正、三相等、四同时 ） 1. 计算函数最值 2 / 5 形函数 例：求函数 2254xy x 的值域。 解：令 2 4 ( 2)x t t 22 54xy
2、 x 2 2114 ( 2 )4x t ttx 当 1t t 时函数在 x 轴正半轴有最小值，在 y 轴负半轴有最大值，即 1t 1t 不属于 区间 2, ，故等号不成立，考虑单调性。 1ytt 在区间 1, 单调递增， 52y 所求函数的值域为 5,2 分离法 例 3.： 求 2 7 1 0 ( 1)1xxyxx 的值域。 3 / 5 解： 当 ,即 时 , 42 1 ) 5 91yx x （， 当且仅当 x 1 时等号成立 换元法 例：已知 ，则 解：令 则 拼凑（系数、常数） 例：已知 x， y 为正实数，且 x 2 y22 1，求 x 1 y 2 的最大值 . 解： x 1 y 2 x
3、 2 1 y22 2 x12 y 22 x 1 y 2 2 x 12 y22 2 x 2 ( 12 y22 )22 34 2 例：已知 54x ，求函数 14245yx x 的最大值。 解： 54x 5 4 0x 114 2 5 4 3 2 3 14 5 5 4y x xxx 当且仅当 154 54x x ，即 1x 时 等号成立 当 1x 时， max 1y 。 化积为和（因式分解、平方） 例： 已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数 y 1ab 的最小值 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 一是通过消元，转化为一元函数问题 ，再用单调性或基本不等式求解 ；
4、 二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 解 一： 由已知得 a 30 2bb 1 ， ab 30 2bb 1 ， b 2 b 2 30bb 1 a 0 0 b 15 令 t b+1， 则 1 t 16 4 / 5 ab 2t 2 34t 31t 2（ t16t ） 34 t 16t 2 t 16t 8 ab 18 y 118 当且仅当 t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立。 解 二：由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 2 ab 30 ab 2 2 ab 令 u ab
5、， 则 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 2 ab 3 2 ， ab 18 y 118 例： 已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，求函数 W 3x 2y 的最值 . 解一：利用算术平均与平方平均之间的不等关系， a b2 a2 b 22 3x 2y 2 （ 3x ） 2（ 2y ） 2 2 3x 2y 2 5 解二：条件与结论均为和的形式，通过平方化函数式为积的形式，向“和为定值”条件靠拢。 W 0 W2 3x 2y 2 3x 2y 10 2 3x 2y 10 ( 3x )2( 2y )2 10 (3x 2y) 20 W 20 2 5 例： 求函数 152 1 5 2 (
6、 )22y x x x 的最大值。 分 析：注意到 21x 与 52x 的和为定值。 解： 22( 2 1 5 2 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 5 2 ) 4 ( 2 1 ) ( 5 2 ) 8y x x x x x x 0y 0 2 2y 当且仅当 21x =52x ，即 32x 时取等号 max 22y 。 化和为积 （ 化简、 1 的代换） 例： 已知 0, 0xy，且 191xy，求 xy 的最小值。 解： 190, 0, 1xyxy 1 9 9 10 6 10 16yxx y x yx y x y 5 / 5 当且仅当 9yxxy时，上式等号成立 191xy 4, 12xy时，
7、min 16xy。 三角函数法 例：设实数 x, y, m, n 满足 ，求 mx+ny 的最大值。 解：令 原式 2. 证明不等式 、比较大小 （作差法、做商法、中间值法 -1,0,1、基本不等式） 例：已知 0, 0xy且 191xy，求使不等式 x y m 恒成立的实数 m 的取值范围。 解：令 , 0 , 0 ,x y k x y 191xy 99 1.x y x ykx ky 10 9 1yxk kx ky 10 312kk 16k ， ,16m 例：若 )2l g (),lg( l g21,lglg,1 baRbaQbaPba ，则 RQP , 的大小关系是 . 分析： 1ba 0lg,0lg ba 21Q （ pbaba lglg)lglg QababbaR lg21lg)2lg (
