1、,$3-1中值定理,2,一、罗尔(Rolle)定理,例如,$3-1中值定理,3,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,$3-1中值定理,4,证,$3-1中值定理,5,($1-4Th2),$3-1中值定理,6,注意(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,（有不可导点）,$3-1中值定理,7,又例如,(2)利用罗尔定理，可以证明方程,$3-1中值定理,8,例1,解,在（-1，2）与（2，5）内均可导，,且,至少存在一点,使,即方程,又,故,至多有两个实根，,因此，,分别位于区间,（-1，2）与（2，5）内.,(与习题3-1，5类似）,$3-1
2、中值定理,9,例2,证,由零点存在定理，,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,(与p166习题3-1，12类似）,$3-1中值定理,10,二、拉格朗日中值定理,$3-1中值定理,11,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,$3-1中值定理,12,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,$3-1中值定理,13,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,$3-1中值定理,14,推论,证,应用拉格朗日中值公式，,即,注：利用此推论可证明恒等式.,$3-1中值定理,15,例3(P1
3、66,习题3-1，6）,证,又,$3-1中值定理,16,例4（P163例1）,证,由上式得,辅助函数和区间.,关键是找到一个适当的,注：利用拉氏定理，可证明不等式，,$3-1中值定理,17,三、柯西中值定理,成立,.,$3-1中值定理,18,几何解释:,证,作辅助函数,$3-1中值定理,19,注：,（即拉格朗日公式）.,(2)证明方法与拉格朗日定理的证法相同,但不能直接用拉格朗日定理推出.,$3-1中值定理,20,例4（补充）,证,分析:,结论可变形为,$3-1中值定理,21,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系:,(1)定理成立的条件；,(2)利用中值定理证明等式与不等式的步骤;,注意：,（3）证明题的类型.,$3-1中值定理,22,$3-1中值定理,23,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,$3-1中值定理,24,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,$3-1中值定理,25,练 习 题,$3-1中值定理,26,$3-1中值定理,27,(P167,习题3-1，15）,$3-1中值定理,28,练习题答案,
