1、薛定谔（Schrdinger 18871961） 奥地利物理学家。概率波动力学的创始人，提出描述微观粒子运动的薛定谔方程。1933年获诺贝尔物理学奖。,15-7 波函数 薛定谔方程,为此要寻找能够反映微观粒子波粒二象性、并能描述其运动方程，这个方程就是薛定谔方程。,微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典的坐标、动量、轨道等概念来精确描述。,经典力学中描述宏观物体运动的基本方程是牛顿第二定律，对微观粒子不能适用。,一、波函数,薛定谔方程的解，描述微观粒子运动状态物理量。,沿x方向传播平面简谐波波函数,用复数形式表示,对于微观粒子，,沿 x 轴运动、能量 E、动量 p 的自由粒子对应的平面物质波
2、波函数应为,若粒子为三维自由运动，波函数可表示为,爱因斯坦为了解释光子（光量子）的波粒二象性，把光波的强度解释为光子出现的概率密度。,波函数的物理意义：某一时刻，在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。,光强,光强大的地方，光子数目多,在时刻 t、空间 点处，体积元 dV 中发现微观粒子的概率为,称为粒子概率分布函数或称概率密度,是 共轭复数,波函数应满足的条件,1. 自然条件：单值、有限和连续,2. 归一化条件,粒子出现在dV 体积内的概率为,粒子在空间各点的概率总和应为 l，,2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将(A) 增大D2倍 (B
3、) 增大2D倍(C) 增大D倍 (D) 不变,答案D,答案A,3. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( - axa )那么粒子在x = 5a/6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a) (B) 1/a(C) (D) ,4. 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为求发现粒子的概率为最大的位置,当 时， 有最大值在0xa范围内可得,5.在一维无限深方势阱中，求得粒子的波函数，则当粒子处于 时，发现粒子概率最大的位置 为 ； 时，发现粒子概率最大 的位置为 。,二、薛定谔方程,微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典的坐标、动量、轨道等概念来精确描述，应用薛定谔方程进行描述。,1.
4、 自由粒子的薛定谔方程,自由粒子波函数：,对波函数偏微分得：,由,2. 在势场中粒子的薛定谔方程,对处于保守力场U(x, t) 中的粒子：,薛定谔方程变为,推广到三维势场中：,拉普拉斯算符,薛定谔方程又写为,薛定谔方程描述非相对论实物粒子在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。,一维定态薛定谔方程,U 与 t 无关，U=U(x)，用分离变量法得：,3.一维定态不含时薛定谔方程,E: 粒子能量 ; (x): 定态波函数，描写的粒子的状态定态。,说明,定态特点: 概率密度在空间上的分布稳定.,15.8 一维无限深方势阱中的粒子,0 x a 区域， U (x) = 0定态薛定谔方程为,
5、x,0 a,U( x ),势能函数,0 x 或 x a 区域U (x) = ,令:,根据波函数的连续性:,归一化后:,能量量子化，能级，量子数,2.粒子在势阱内出现概率密度分布,粒子在0到a范围内出现概率处处相等。,量子观点：,当n很大时,量子概率分布就接近经典分布,经典观点：,例：一维无限深方势阱中粒子的波函数 试求粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率。,解：概率密度为:,粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子的概率:,例3：设质量为m 的微观粒子处在宽为a 的一维无限深方势阱中,求：(1)粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率, 并对n = 1
6、 和n =的情况算出概率值。(2) 在哪些量子态上, a/4 处的概率密度最大?,解：(1) 概率密度,粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率,（2）a/4 处的概率密度,极大值对应,n = 2，6，10， 等量子态。,二、势垒穿透*,1. “半无限深方势阱”中的粒子。势阱的势能函数：,势能函数,U ( x ) = U0 x a （区）,U ( x ) = x 0 （区 ）,U ( x ) = 0 0 x a （区）,x 0 区域U (x) = ,0 x a 区域 U (x) = 0,令,x a 区域 U (x) =U0,令:,根据波函数的连续、有界条件则D=0。,粒子的波函数和概率密度,2
7、.势垒穿透,经典理论：,1.E U0的粒子， 能越过。,2.E U0的粒子，不能越过。,量子理论：,1.E U0 的粒子，也存在被弹回的概率 反射波。,2.E U0 的粒子，也可能越过势垒到达另一区 隧道效应。,隧道效应,3.越过势垒的概率与下式成正比：,扫描隧道显微镜(STM),原理： 利用电子的隧道效应。,金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离极其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。,48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。,STM的横向分辨率已达 ，纵向分辨达 , STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。,（扫描隧道显微镜）,
