1、Matlab在单自由度系统的振动分析中的应用,刘迪辉 2011-10-20,大家学了游泳理论，现在我们借助MATLAB软件，来练习一下游泳！,本次课目的：希望能理清概念，利用数学分析工具辅助我们的理解。 回顾一些基本概念 几个算例,我们生活中所接触到的振动： （1） 心跳、脉博、情绪波动 （2） 荡秋千 （3） 跌落的篮球 （4） 汽车上的振荡 （5） 走路,客车的振动分析 客车样车路试过程中却出现了令人意想不到的一系列振动问题,主要表现为: (1) 汽车起动时发动机抖动厉害; (2) 当车速在40 km/ h 左右时,整车有共振现象; (3) 当车速在85 km/ h 左右时,整车有明显振动
2、; (4) 当车速超过118 km/ h 时,驾驶区及方向盘有强烈振感。 由于上述振动的存在,一方面大大降低了该车驾乘的舒适性和运行中的安全性;另一方面,造成一些主要总成件(如发动机、变速器、后桥等) 的早期损坏;同时,也使得汽车上很多结构件出现疲劳断裂,从而进一步加剧了整车或局部振动。,一般来说，轴承中的滚动轴承本身不产生噪音。通常感觉到的“IKO进口轴承噪音”事实上是轴承直接或间接地与周围结构产生振动的声音效应。这就是为什么许多时候噪音问题可被视为涉及到整个轴承应用的振动问题。因加载滚动体数量变化而产生的激振当一个径向负荷加载于某个轴承时，其承载负荷的滚动体数量在运行中会稍有变化，即：2-
3、3-2-3这引起了负荷方向的偏移。由此产生的振动是不可避免的，但可通过轴向预加载来减轻，加载于所有滚动体(不适用于轴承中的圆柱滚子轴承)。部件的波度在日本IKO轴承圈与轴承座或传动轴之间密配合的情况下，轴承圈有可能与相邻部件的外形相配合而变形。如果出现变形，在运行中便可能产生振动。因此，把轴承座和传动轴进行机加工到所需的公差很重要。局部损坏由于操作或安装错误，小部分轴承滚道和滚动体可能会受损。在运行中，滚过受损的IKO轴承部件会产生特定的振动频率。振动频率分析可识别出受损的轴承部件。应用场合中的振动行为在许多应用中，轴承的刚度与周围结构的刚度相同。由于这个特点，只要正确地选择轴承(包括预负荷和
4、游隙)及其在应用中的配置，就有可能减低应用中的振动。有三个方法可减小IKO进口轴承的振动：1.从应用中去除临界激励振动。2.抑阻激发部件和共振部件之间临界激励振动。3.改变结构的刚度，从而改变临界频率。,振动方程,时间 t 响应函数 x(t),质量 m 刚度 k 阻尼 c,时间 t 激励函数 f(t),（1） 已知激励函数和响应函数，求系统固有特性 （2） 已知固有特性，求在一定激励条件下的响应函数,汽车悬架,例2.15 质量m=2450kg的汽车，悬架总的刚度为160000N/m, 减振器阻尼系数为7135.6Ns/m,求该车辆受到100 kg的简谐加载时的，车身的上下运动方程.,例1 简谐
5、激励下单自由度系统的振动（例题11.1）,应用MATLAB语言，对图示单自由度系统，求其在简谐激励作用下的稳态振动的放大因子（动力放大倍数）和相位。,简谐激励,首先得设定参数F0, w, 和时间向量t, 求每个时间的f(t),该函数由普通微分方程求解方法,其中,提问：为什么要如此参数化？方便求解？和定义联系起来？,固有频率,系统阻尼,瞬态振动（衰减振动）,其中,例2.15 汽车悬架瞬态相应,例2-15,临界阻尼（汽车不振动）,大家还可研究一些瞬态振动基本概念减幅系数，衰减系数，对数衰减率衰减振动的周期,稳态振动,位移响应的圆频率等于激励的圆频率,激振函数,响应函数,例2.15 汽车悬架的稳态响
6、应,例2.15中同时受到瞬态与稳态响应,瞬态响应,稳态响应,稳态+瞬态,这里主要是加载频率和固有频率相差比较大,瞬态响应,当固有频率和加载频率相同时，总的响应明显增大。,稳态响应,例题11.1,程序采用公式,例题11.1,程序采用公式,Transfer Function Approach to Modeling Dynamic system,Transfer function=,The transfer fuction of a linear, time-invariant differential-equation system is defined as the ratio of the
7、Laplace transferm of the output(response funtion) to the Laplace input(driving function) under the assumption that all initial conditions are zero,The equation of motion for the system is,Taking the laplace transform of both sides of this equation and assuming that all initial conditions are zero yi
8、elds,The laplace transform of g(t) gives the transfer funcion.Therefore, the transfer function and impulse-response fuction of a linear,time-invariant system contains the same information about the system dynamics.,Impulse-Response function,Since the laplace transform of the unit-impulse function is
9、 unity, or X(s)=1,The inverse Laplace transform of the output equation yields the impulse response of the system.,How to obtain the system response analytically?,Partial-fraction expansion with MatlabThe comand r,p,k=residue(num,den) Finds the residues,poles,and direct terms of a partial fraction ex
10、pansion of the radio of the two polynomials B(s) and A(s),num=25; den=1,4,25; r,p,k=residue(num,den),r =0 - 2.7277i0 + 2.7277ip =-2.0000 + 4.5826i-2.0000 - 4.5826ik =,查表laplace transforms pairs,Where y(t) is measured in meters and t in seconds. This equation is an analytical solution to the problem.
11、,Transient response analysis with matlab,This section presents the Matlab approach to obtaining system response when the inputs are the time-dormain inputs such as the step,impuse, and ramp functions.,Matlab uses sys to represent such a systemSys=tf(num,den) For example,num=25;den=1,4,25;sys =tf(num
12、,den),Transfer function:25-s2 + 4 s + 25,Produce the unit-step response of the system,num=25;den=1,4,25;sys =tf(num,den)step(sys),Impulse response,The impulse response of a mechanical system can be observed when the system is subjected to a very large force for a very short time, for instance, when
13、the mass of a spring-mass-dashpot system is hit by a hammer or a bullet.,num=25;den=1,4,25;sys =tf(num,den)impulse(sys),该函数由傅立叶方程求解方法,该函数由拉普拉斯函数求解,（2）应用SIMULINK，对单自由度系统在简谐激励下的振动响应进行仿真。,其中,(3)应用MATLAB，分析单缸活塞式发动机在惯性力作用下的振动,等效刚度及其求法,等效质量及其求法,等效阻尼及其求法,外界激励及其数学描述,振动微分方程,求解振动问题的关键在于建立描述系统的运动方程,振动描述的一些关键量,
14、在振动响应函数的数学描述 振幅 固有频率 初相位 临界阻尼,振动方程的描述,自由振动 强迫振动,振动方程的求解方法,已知条件：建立起了振动系统的微分方程 求解：振动响应函数x(t)杜哈美积分法 傅氏积分法 拉氏变换法,中文名称： 固有频率 英文名称： natural frequency ： 由系统本身的质量和刚度所决定的频率。n自由度系统一般有n个固有频率，按频率的高低排列，最低的为第一阶固有频率。有阻尼的线性系统的自由振动频率称为“阻尼固有频率”。,物体作自由振动时，其位移随时间按正弦规律变化，又称为简谐振动。简谐振动的振幅及初相位与振动的初始条件有关，振动的周期或频率与初始条件无关，而与系
15、统的固有特性有关，称为固有频率或者固有周期。 物体频率与它的硬度、质量、外形尺寸有关，当其发生形变时，弹力使其恢复。弹力主要与尺寸和硬度有关，质量影响其加速度。同样外形时，硬度高的频率高，质量大的频率低。,人体的固有频率 正常人体的固有频率应为7.5Hz左右，其中各部分又有自己的固有频率。如内脏为46Hz，头部为812Hz等。正是由于这个原因，次声波对人体有很大的破坏 作用，因为人体各部分的固有频率都在次声波的频率范围之内。次声武器就是利用频率低于20Hz的次声波与人体发生共振，使共振的器官或部位发生位移和变形而造成人体损伤以至死亡的一种武器。,振型 mode shape;mode of vi
16、bration,机械系统某一给定振动模态的振型，指在某一固有频率下，由中性面或中性轴上的点偏离其平衡位置的最大位移值所描述的图形。,振型是指体系的一种固有的特性。它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。每一阶固有频率都对应一种振型。 振型与体系实际的振动形态不一定相同。 振型对应于频率而言，一个固有频率对应于一个振型。按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动形态，频率越高则振动周期越小。在实验中，我们就是通过用一定的频率对结构进行激振，观测相应点的位移状况，当观测点的位移达到最大时，此时频率即为固有频率。实际结构的振动形态并不
17、是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。,中文名称： 频率响应函数 英文名称： frequency response function 定义： (1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。 (3)平稳随机激励时，输出和输入的互谱与输入的自谱之比。,Matlab Simulink,F0=980;m=2450;c=7135;k=160000;,车辆二自由度系统,H2,ft = TFESTIMATE(q, x2(1:n),window,noverlap,nfft,fs);Txy = tfestimate(x,y) finds a tra
18、nsfer function estimate Txy given input signal vector x and output signal vector y. Txy,F = tfestimate(x,y,window,noverlap,nfft,fs) returns Txy as a function of frequency and a vector F of frequencies at which tfestimate estimates the transfer function. fs is the sampling frequency in Hz. F is the s
19、ame size as Txy, so plot(f,Txy) plots the transfer function estimate versus properly scaled frequency. For real signals, the range of F is 0, fs/2 when nfft is even and 0, fs/2) when nfft is odd. For complex signals, the range of F is 0, fs).,频率ft与传递函数H1,loglog Log-log scale plot,loglog(ft,abs(H1),p
20、lot(ft,abs(H1),plot(log(ft),log(abs(H1),plot(ft,H1)Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored, abs(H1(80)ans =0.1192 H1(80)ans =-0.0434 - 0.1110i,复数的绝对值,车身与车轮双质量系统,汽车二自由系统在路面不平激励下的强迫振动。,分析一下，就这样一个系统，我到底希望得到什么？ （1） 系统的传递函数？系统的频率响应函数H(w)？ （2） 系统的固有频率，基本振型？,求固有频率和振型,clc;clear all; close allM = 2 0 0; 0, 1.5, 0; 0 0 1; K = 5 -2,0;-2,3,-1;0,-1,1;eigfreq(M,K),博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。有弗学，学之弗能，弗措也；有弗问，问之弗知，弗措也；有弗思，思之弗得，弗措也；有弗辨，辨之弗明，弗措也。有弗行，行之弗笃，弗措也。人一能之已百之，人十能之已千之。果能此道矣，虽柔比强。 摘自中庸,
