1、第二章：信号与噪声,2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程,2.1信号的分类：功率信号与能量信号,如果一个信号在整个时间域（ ）内都存在，因此它具有无限大的能量，但其平均功率是有限的，我们称这种信号为功率信号。 设信号 为时间的实函数，通常把 信号看作是随时间变化的电压或电流，则当信号 通过1电阻时，其瞬时功率为 ，而平均功率定义为,（2.1-2）,一般地，平均功率（在整个时间轴上平均）等于0，但其能量有限的信号
2、我们称为能量信号。,设能量信号为时间的实函数，通常把能量信号的归一化能量（简称能量）定义为由电压加于单位电阻上所消耗的能量，即为,（2.1-3）,2.2确知信号的分析,确知信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析。频域分析常采用傅里叶分析法，时域分析主要包括卷积和相关函数。本节我们将概括性地介绍傅里叶分析法，重点介绍相关函数、功率谱密度和能量谱密度等概念。,2.2.1周期信号的傅里叶级数,1、三角形式的傅里叶级数任何一个周期为T的周期信号，只要满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数,（2.2-1）,其中， 为基波角频率；, 的均值（直流分量）（2.2-2） 的第n次余弦波的振幅（2.2-3）
3、的第n次正弦波的振幅 （2.2-4）,式（2.2-1）中，由,可得 的另一种表达式 其中,（2.2-5）,2、指数形式的傅里叶级数,利用欧拉公式 可得的指数表达式式中,（2.2-6）,(称为复振幅)；,（是,的共轭）。,2.2.2非周期信号的傅里叶变换,前面介绍了用傅里叶级数表示一个周期信号的方法，对非周期信号，不能用傅里叶级数直接表示，但非周期信号可看作是 的周期信号。这样周期信号的频谱分析可以推广到非周期信号。让我们考虑如图2-1（a）所示非周期信号 ，由其构造一个周期信号 ，其周期为T，如图2-1（b）所示。不难看出，当 时，则在 区间 ，即 。因此，我们可以研究当 ，周期信号 的傅里叶
4、级数的变化情况。,（a）非周期信号 （b）构造的周期信号 图2-1 非周期信号,令 满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数其中，,(相邻角频率分量间隔),（2.2-7）,（2.2-8）,将式（2.2-8）代入式（2.2-7）得,当 ， ， ， 时，则有令,（2.2-9）,则式（2.2-9）和式（2.2-10）分别称为傅里叶正变换和傅里叶反变换，两式称为f(t)傅里叶变换对，表示为式（2.2-9）和式（2.2-10）可简记为,（2.2-10）,（2.2-11）,下面我们进一步说明函数 在什么样的条件下，才能利用（2.2-9）式进行傅里叶变换，再由（2.2-10）式的傅里叶反变换得到原函数 。 一
5、般来说，如果 在每个有限区间都满足狄里赫利条件，并且满足下式则它的傅里叶变换 存在。 需要注意的是，式（2.2-12）只是充分条件而并不是必要条件。有些信号并不满足上述条件，但也存在傅里叶变换。冲激函数 就是一个例子。,（2.2-12）,信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。下面讨论周期信号的傅里叶变换。,2.2.3 周期信号的傅里叶变换,按照经典数学函数的定义，周期信号的傅里叶变换是不存在的，但如果扩大函数定义范围，引入广义函
6、数 ，则可求得周期信号的傅里叶变换。 设 为周期信号，其周期为T，将其展开成指数傅里叶级数，得式中， ;,对周期信号 求傅里叶变换由傅里叶变换的频移特性可知,（2.2-13）,（2.2-14）,所以由式（2.2-15）可见，周期信号的傅里叶变换由一系列位于各谐波频率 上的冲激函数组成，各冲激函数的强度为 。从上面分析还可以看出，引入冲激函数之后，对周期信号也能进行傅里叶变换，从而对周期信号和非周期信号可以统一处理，这给信号的频域分析带来了很大的方便。,（2.2-15）,2.2.4 卷积与相关函数,一、卷积 1、卷积的定义 设有函数 和 ，称积分 为 和 的卷积，常用 表示，即卷积的物理含义：表
7、示一个函数与另一个函数折叠之积的曲线下的面积，因而卷积又称为折积积分。卷积也表明一个函数与另一折叠函数的相关程度。,（2.2-16）,2、卷积的性质（1）交换律（2）分配律（3）结合律,（2.2-17）,（2.2-18）,（2.2-19）,（4）卷积的微分3、卷积定理 （1）时域卷积定理令 ， ，则有,（2.2-20）,（2.2-21）,（2）频域卷积定理 令 ， ，则有二、相关函数 信号之间的相关程度，通常采用相关函数来表征，它是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。相关函数表示了两个信号之间或同一个信号间隔时间 的相互关系。,（2.2-22）,（1）自相关函数 能量信号 的自相关函数定义为
8、功率信号 的自相关函数定义为由以上两式可见，自相关函数反映了一个信号与其延迟秒后的信号之间相关的程度。当=0时，能量信号的自相关函数 等于信号的能量；而功率信号的自相关函数 等于信号的平均功率。,（2.2-23）,（2.2-24）,自相关函数的其它有用性质，将在讨论随机信号的自相关函数时介绍。 （2）互相关函数 两个能量信号 和 的互相关函数定义为两个功率信号 和 的互相关函数定义为,（2.2-25）,（2.2-26）,由以上两式可见，互相关函数反映了一个信号与另一个延迟秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相关函数和两个信号的前后次序有关，即有,2.2.5能量谱密度与功率谱密度,一、能量谱
9、密度 前面已经介绍，能量信号 的能量从时域的角度定义为也可以从频域的角度来研究信号的能量。由于,所以信号的能量可写成为了描述信号的能量在各个频率分量上的分布情况，定义单位频带内信号的能量为能量谱密度（简称能量谱），单位：焦/赫，用 来表示。,（2.2-27）,由式（2.2-27）可见，能量信号在整个频率范围内的全部能量与能量谱之间的关系可表示为可以证明：能量信号 的自相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换，,（2.2-28）,（2.2-29）,二、功率谱密度 式（2.1-2）从时域的角度定义了功率信号 的功率也可以从频域的角度来研究信号的功率。由于式中， 是 的截短函数 的频谱函数。 类似能量谱
10、密度的定义，单位频带内信号的平均功率定义为功率谱密度（简称功率谱），单位：瓦/赫，用 来表示。,（2.2-30）,则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系可表示为可以证明：功率信号 的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换，即,（2.2-31）,（2.2-32）,2.3 随机变量的统计特征,前面我们对确知信号进行了分析。但实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也都是随机的，如语言信号等，另外通信系统中还必然存在噪声，它也是随机的，这种具有随机性的信号称为随机信号。尽管随机信号和随机噪声具有不可预测性和随机性，我们不可能用一个或几个时间函数准确地描述
11、它们，但它们都遵循一定的统计规律性。在给定时刻上，随机信号的取值就是一个随机变量。本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征，它是随机过程和随机信号分析的基础。,2.3.1 随机变量,在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随机变量。否则就称为连续随机变量。随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描述。,2.3.2概率分布函数和概率密度函数,1、概率分布函数 定义随机变量X的概率分布函数 是X取值小于或等于某个数值 的概率 ，即上述定
12、义中，随机变量X可以是连续随机变量，也可以是离散随机变量。 对于离散随机变量，其分布函数也可表示为式中 ，是随机变量X取值为 的概率。,（2.3-1）,（2.3-2）,2、概率密度函数 在许多实际问题中，采用概率密度函数比采用概率分布函数能更方便地描述连续随机变量的统计特性。 对于连续随机变量X ，其分布函数 对于一个非负函数 有下式成立则称 为随机变量X的概率密度函数（简称概率密度）。由于式（2.3-3）表示随机变量X在 区间上取值的概率，故 具有概率密度的含义，式（2.3-3）也可表示为,（2.3-4）,（2.3-3）,可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图形上看，概率密度就是分布函数曲
13、线的斜率。 概率密度函数有如下性质：（1）（2）（3）,（2.3-5）,（2.3-6）,（2.3-7）,对于离散随机变量，其概率密度函数为,（2.3-8）,2.3.3 通信系统中几种典型的随机变量,1、均匀分布随机变量 设 ，则概率密度函数为的随机变量X称为服从均匀分布的随机变量。,（2.3-9）,均匀分布的概率密度函数的曲线如图2-2所示。图2-2 均匀分布的概率密度函数,2、高斯（Gauss）分布随机变量概率密度函数为的随机变量X称为服从高斯分布（也称正态分布）的随机变量，式中，为高斯随机变量的数学期望 a ， 为方差。 高斯分布的概率密度函数的曲线如图2-3所示。,（2.3-10）,图2
14、-3 高斯分布的概率密度函数 高斯分布是一种重要而又常见的分布，并具有一些有用的特性。在后面我们将专门进行讨论。,3、瑞利（Rayleigh）分布随机变量 概率密度函数为的随机变量X称为服从瑞利分布的随机变量，其中 ，是一个常数。其概率密度函数的曲线如图2-4所示。,（2.3-11）,图2-4 瑞利分布 后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利分布。,2.3.4随机变量的数字特征,前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变量的取值相对于
15、这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。,1、数学期望 数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。 对于离散随机变量X，设 是其取值 的概率，则其数学期望定义为对于连续随机变量X，其数学期望定义为式中， 为随机变量X的概率密度。,（2.3-12）,（2.3-13）,数学期望的性质如下： （1）若C为一常数，则常数的数学期望等于常数，即（2）若有两个随机变量X和Y，它们的数学期望 和 存在，则 也存在，且有我们把上式（2.3-15）推广到多个随机变量的情况。若随机变量 的数学期望都存在， 则 也存在，且有,（2.3
16、-14）,（2.3-15）,（2.3-16）,（3）若随机变量X和Y相互独立，且 和 存在，则 也存在，且有2、方差 方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义为随机变量X与其数学期望 之差的平方的数学期望。即,（2.3-17）,（2.3-18）,对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为式中， 是随机变量X取值为 的概率。 对于连续随机变量，方差的定义可表示为另外，式（2.3-18）还可以表示为,（2.3-19）,（2.3-20）,（2.3-21）,方差的性质如下： （1）常数的方差等于0，即 （2）设存在，C为常数，则（3）设 和 都存在，且X和Y相互独立，则对于多个独立的随机变量 ，不
17、难证明有,（2.3-22）,（2.3-23）,（2.3-24）,（2.3-25）,（2.3-26）,3、n阶矩矩是随机变量更一般的数字特征。上面讨论的数学期望和方差都是矩的特例。随机变量X的n阶矩（又称n阶原点矩）定义为：显然，上面讨论的数学期望 就是一阶矩。它常用a表示。即 。,（2.3-27）,除了原点矩外，还定义相对于均值a的n阶矩为n阶中心矩，即显然，随机变量的二阶中心矩就是它的方差，即,（2.3-28）,2.4随机过程的一般表述,2.4.1 随机过程的概念前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值
18、就是一个随机变量。显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一个随机变量，而是一个在时间上不断变化的随机变量的集合。,我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机过程。随机过程的基本特征是：它是时间t的函数，但在任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；或者，可将它看成是一个事件的全部可能实现构成的总体，其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。,由此从数学的角度，我们给出随机过程这样的定义：设 (k=1, 2, )是随机试验，每一次试
19、验都有一个时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作 。简言之，无穷多个样本函数的总体 称为随机过程，如图2-5 所示。,图2-5 随机过程波形,2.4.2 随机过程的统计特征,随机过程的统计特性是通过其概率分布函数或数字特征来表述的。 一、随机过程的分布函数和概率密度 设 表示一个随机过程，在任意给定的时刻 其取值 是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，我们称,（2.4-1）,为随机过程 的一维分布函数。如果 对 的偏导数存在，即有则称 为 的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函
20、数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函数。,（2.4-2）,任意给定 ，则 的n维分布函数被定义为如果存在则称 为 的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，引用二维概率密度函数即可解决问题。,（2.4-3）,（2.4-4）,二、随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单
21、直观。1、数学期望（统计平均值） 随机过程 的数学期望定义为并记为 。随机过程的数学期望是时间的函数。,（2.4-5）,2、方差 随机过程 的方差定义为也常记为 。,（2.4-6）,3、自协方差和自相关函数 衡量同一随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用自协方差和自相关函数来表示。 自协方差函数定义为式中， 与 是任取的两个时刻； 与 为在 及 时刻得到的数学期望； 为二维概率密度函数。,（2.4-7）,自相关函数定义为若 ，并令 ，则 可表示为 可见，相关函数是 和的函数。 显然，由式（2.4-7）和（2.4-8）可得自协方差函数与自相关函数之间的关系式,（2.4-8）
22、,（2.4-9）,4、互协方差函数 自协方差函数和自相关函数也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而得到互协方差函数和互相关函数。 设 和 分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为互相关函数定义为,（2.4-10）,（2.4-11）,2.5平稳随机过程,2.5.1严平稳随机过程 严平稳随机过程是指它的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，对于任何正整数n和任何实数 以及 ，随机过程 的n维概率密度函数满足（2.5-1）则称 为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。,2.5.2宽平稳随机过程,若随机过程 的均值为常数，与时间t无关，而自相关函数仅是 的函数，则称其为宽平稳随机
23、过程或广义平稳随机过程。按此定义得知，对于宽平稳随机过程，有=常数 （2.5-2）（2.5-3）由于均值和自相关函数只是统计特性的一部分，所以严平稳随机过程一定也是宽平稳随机过程。反之，宽平稳随机过程就不一定是严平稳随机过程。但对于高斯随机过程两者是等价的。,2.5.3各态历经性,一个平稳随机过程若按定义求其均值和自相关函数，则需要对其所有的实现计算统计平均值。实际上，这是做不到的。然而，若一个随机过程具有各态历经性，则它的统计平均值可以由任一实现的时间平均值来代替。顾名思义，各态历经性表示一个平稳随机过程的任一个实现能够经历此过程的所有状态。若一个平稳随机过程具有各态历经性，则它的统计平均值
24、就等于其时间的平均值。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程 的任意一个实现，若满足,则称此随机过程为具有各态历经性的随机过程。 可见，具有各态历经性的随机过程的统计特性可以用时间平均来代替，对于这种随机过程无需（实际中也不可能）考察无限多个实现，而只考察一个实现就可获得随机过程的数字特征，因而可使计算大大简化。 需要注意的是，一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严平稳随机过程，但严平稳随机过程不一定具有各态历经性。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性。,（2.5-4）,2.5.4平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度,对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个
25、函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅里叶变换的关系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。一、平稳随机过程自相关函数的性质 设为一平稳随机过程,则其自相关函数有如下性质： 1、上式表明，随机过程的总能量是无穷的，但其平均功率是有限的。,（2.5-5）,2、 （2.5-6）3、 （2.5-7）4、 （2.5-8）5、 （2.5-9）由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要特征，因而上述性质有明显的实用价值。,二、平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 由式（
26、2.2-31）可知，对于任意的确定功率信号f(t)其功率谱密度为（2.5-10）式中， 是f(t)的截短函数 的频谱函数。f(t)和 的波形如图2-6所示。,图2-6 功率信号及其截短函数,对功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现的功率谱也可以由上式确定。但是，随机信号的每一个实现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度应看作每一可能实现的功率谱的统计平均。 设 的功率谱密度为 ， 的某一实现的截短函数为 ，且 ，于是有（2.5-11）的平均功率S可以表示为（2.5-12）,三、平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系（维纳辛钦定理） 平稳随机过
27、程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅里叶变换的关系，即,（2.5-13）,2.6高斯随机过程,高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中普遍存在的随机过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，例如通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。 2.6.1高斯过程的定义 若高斯过程 的任意n维（n=1，2，）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数可表示为,（2.6-1）,式中，：归一化协方差矩阵的行列式；：行列式 中元素 的代数余因子；：归一化协方差函数。由式（2.6-1）可见，正态随机过程的维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。,2
28、.6.2高斯过程的性质,1、若高斯过程是宽平稳随机过程，则它也是严平稳随机过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是等价的。2、若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；3、高斯过程的线性组合仍是高斯过程；4、高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯过程。,2.6.3 一维高斯分布,一、一维概率密度函数 高斯过程的一维概率密度表示式为式中，a为高斯随机变量的数字期望； 为方差。f(x)的曲线如图2-7所示。,（2.6-3）,图2-7 一维概率密度函数,由式（2.6-3）和图2-7可知f(x)具有如下特性： 1、 f(x)对称于x=a的直线 。 2、 （2.6-
29、4）且有（2.6-5）3、a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0， 时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。,二、正态分布函数 正态分布函数是概率密度函数的积分，即（2.6-6）式中， 称为概率积分函数，其定义为（2.6-7）式（2.6-6）积分不易计算，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布。,三、误差函数和互补误差函数误差函数的定义式： （2.6-8）互补误差函数的定义式： （2.6-9）误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下 （2.6-10）（2.6-11）,引入误差函数和互补误差函数后，不难求得（2.6-12）在后面分析通信系统的
30、抗噪声性能时，常用到误差函数和互补误差函数来表示F(x)。其好处是：借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方便查出不同值时误差函数的近似值（参见附录四），避免了式（2.6-6）的复杂积分运算。此外，误差函数的简明特性特别有助于通信系统的抗噪性能分析。,2.6.4 高斯白噪声,信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即双边功率谱为（2.6-20）单边功率谱为（2.6-21）,这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中为一常数，单位是瓦/赫兹。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即（2.6-22）这说明，白噪声只有在时才相关，而它在任意
31、两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图2-8画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。,图2-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数,如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。由式（2.6-22）可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,2.7随机过程通过系统的分析,我们知道，随机过程是以某一概率出现的样本函数的集合。因此，我们可以将随机过程加到线性系统的输入端理解为是随机过程的某一可
32、能的样本函数出现在线性系统的输入端。所以，我们可以认为确知信号通过线性系统的分析方法仍然适用于平稳随机过程通过线性系统的情况。线性系统的输出响应 等于输入信号 与冲激响应 的卷积，即（2.7-1）,若 ， ， ，则有（2.7-2）若线性系统是物理可实现的，则或（2.7-3）,如果把 看作是输入随机过程的一个实现，则 可看作是输出随机过程的一个实现。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程 时，便有一个输出随机过程 ，且有（2.7-4）图2-9所示为平稳随机过程通过线性系统的框图，假定输入 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程 的统计特性。,图2-9 平稳随机过程通过线性系
33、统 1、输出随机过程 的数学期望,（2.7-5）,上式中利用了 平稳性（常数）。又因为求得 所以 （2.7-6）由此可见，输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H(0)的乘积。并且 与t无关。,2、输出随机过程 的自相关函数根据平稳性 有可见，自相关函数只依赖时间间隔 而与时间起点 无关。从数学期望与自相关函数的性质可见，这时的输出过程是一个宽平稳随机过程。,3、 的功率谱密度 利用公式 ，有令 ，则有（2.7-8）,可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 与 的乘积。 4、输出过程 的概率分布 在已知输入随机过程 的概率分布情况下，通过（2.7-4）式，即可以求出输出随机过程 的概率分
34、布。如果线性系统的输入过程是高斯过程，则系统输出随机过程也是高斯过程。因为按积分的定义，式（2.7-4）可以表示为一个和式的极限，即（2.7-9）,由于已假定输入过程是高斯的，因此在任一个时刻上的每一项 都是一个服从正态分布的随机变量。所以在任一时刻上得到的输出随机变量，将是无限多个正态随机变量之和，且这“和”也是正态随机变量。这就证明，高斯随机过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。但要注意的是，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,2.7.2 随机过程通过乘法器,在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程
35、通过乘法器后，输出过程的功率谱密度。 平稳随机过程通过乘法器的数学模型如图2-10所示图2-10平稳随机过程通过乘法器,设一平稳随机过程 和正弦波信号 同时通过乘法器，则其输出响应为首先计算输出过程的自相关函数。由自相关函数的定义得（2.7-15）,（2.7-14）,上式中， 是输入平稳随机过程的自相关函数，它只与时间间隔 有关。但由式（2.7-15）可知是 时间t的函数，故乘法器的输出过程不是平稳随机过程。为了求输出过程的功率谱，式（2.7-15）中第一项可按常规的傅里叶变换得到功率谱密度，但第二项却包含有 和t两种时间变量，它的功率谱与t有关，这种与t有关的动态谱分析比较复杂，这里介绍一种
36、求非平稳随机过程功率谱的近似方法。,对于非平稳随机过程，其功率谱密度可表示为（2.7-16）式中， 是输出过程自相关函数的时间平均值，由式（2.7-15）可得,又由于而 的傅里叶变换就是乘法器输出响应的功率谱。即（2.7-17）,2.8窄带高斯噪声,2.8.1 窄带高斯噪声的统计特征 一、窄带高斯噪声的概念 设系统的带宽为，中心频率为，当时称该系统为窄带系统。当高斯白噪声通过窄带系统时，其输出噪声只能集中在中心频率附近的带宽之内，称这种噪声为窄带高斯噪声。窄带高斯噪声的原理框图及相关波形如图2-11所示。,（a）原理框图,（b）窄带噪声的功率谱 （c）窄带噪声的波形图2-11 窄带噪声的原理框
37、图及波形,如果用示波器观察窄带噪声的波形，可以发现它是一个包络和相位都在缓慢变化、频率近似为的正弦波。因此，窄带高斯噪声可以用下式表示，即式中，a(t)和 分别表示窄带高斯噪声的包络和相位，它们都是随机过程，且变化与 相比要缓慢得多。将上式展开可得,（2.8-1）,（2.8-2）,式中， （2.8-3）（2.8-4）式（2.8-3）和式（2.8-4）中的 和 分别称为的同相分量和正交分量。 由式（2.8-1）和式（2.8-2）可以看到， 的统计特性可以由 和 ，或者 和 的统计特性确定。反之，若 的统计特性已知，则 和 ，或者 和 的统计特性也随之确定。,二、窄带高斯噪声的统计特性 1、 和
38、的统计特性 设窄带高斯噪声 的均值为0，方差为 ，则其同相分量 和正交分量 有如下性质： （1）同相分量和正交分量的均值都为0，即（2） 和 的自相关函数相同，它们的平均功率（方差）均等于窄带噪声 的平均功率（方差）。即（2.8-5）（2.8-6）即 （2.8-7）,（3）由于高斯白噪声是平稳的，则高斯窄带噪声 和其同相分量 和正交分量 也是平稳的。（4）同相分量和正交分量的互相关函数均为 的奇函数。即（2.8-8）这说明 和 在同一时刻t（ ）不相关，又由于它们是高斯过程，则 和 也是统计独立的。,综上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量 和正交分量 同样
39、是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。另外，同一时刻上得到的 及 是不相关的或统计独立的。2、 和 的统计特性 可以证明，窄带高斯噪声的包络 和相位 的一维概率密度函数分别为（2.8- 9）,（2.8-10）可见，一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯噪声 ，其包络 的一维概率密度服从瑞利分布；其相位 的一维概率密度服从均匀分布。,2.8.2 正弦波加窄带高斯噪声,通信系统中传输的信号通常是一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波信号与窄带噪声的合成信
40、号。这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。,设正弦波加窄带高斯噪声的合成信号为（2.8-11）,式（2.8-11）中，（2.8-12）（2.8-13）分别为合成信号的随机包络和随机相位。可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：,1、正弦信号加窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布），即其包络的概率密度函数为（2.8-14）式中， 是 的方差， 为零阶修正贝塞尔函数。 时， 是单调上升函数，且有 。 由上式可以得出结论，第一：当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比 时， ，,这时r(t)合成波中只存在窄带高斯噪声，式（2.8-14）近似为式（2.8- 9），即由广义瑞利分布退化为瑞利分布。第二：当信噪比r很大时，f(z)接近于高斯分布；第三：在一般情况下f(z)是莱斯分布。图2-12（a）给出了不同的r值时的f(z)曲线。2、正弦信号加窄带高斯噪声的随机合成波相位分布 ，由于比较复杂，这里就不再演算了。不难推想， 也与信噪比r有关。小信噪比时，它接近于均匀分布，大信噪比时，相位趋近于一个在原点的冲激函数。图2-12（b）给出了不同的r值时 的曲线。,（a）不同信噪比时包络的概率密度函数 （b）相位分布图2-12 正弦波加窄带高斯噪声的包络与相位分布曲线,
