1、18.3 简谐波的波函数 波长,第18章 波动,2,介质质点的振动方向与波传播方向相互平行的波。,介质质点的振动方向和波传播方向相互垂直的波。,横波：,纵波：,横 波,纵 波,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,第18章 波动,3,当第1个质点振动1个周期后，它的最初的振动相位传到第13个质点，从相位来看，第1个质点领先第13点 。,波射线上各点振动相位(振动状态)的关系 1)同时看波线上各点沿传播方向各点相位依次落后；,相差是,相距一个波长两点相位差是2，如第13点和第1点，或说振动时
2、间差1个周期则相位差为2。,相距x的任意两点的相位差,第18章 波动,4,t 时刻 ，第13质元的振动是第1质元在 t T 时刻的振动。 第1点和第13点之间间距:,2)从两质元振动的重复性看,振动时间差：,相位差:,间距为任意x 的两点的关系： 在波线下方Q点，t 时刻的振动是前方P点在,时的振动,第18章 波动,5,波面为平面的简谐波。,简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处， 介质中各质点作同频率的谐振动。,平面简谐波,简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。,平面 S. H .W .的余弦表达式,例 已知：波沿着x轴的正方向传播 波源a的振动形式为,
3、求：波的表达式,解：,任意一点P坐标为x,第18章 波动,6,y,x,x,P,O,简谐振动,从时间看, P 点 t 时刻的位移是O 点,平面简谐波的波函数,时刻的位移;,从相位看，P 点处质点振动相位较 O 点处质点相位落后,P 为任意点,(波函数),第18章 波动,7,x 处质点在时刻 t 的位相,若位相,确定,波速即相速度,第18章 波动,8,解法二 相位关系 P点相位落后波源a的振动相位,所以就在a点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了P的振动表达式,解法二 运动的重复关系,第18章 波动,9,由波函数可知波的传播过程中,任意两质点 x1 和 x2 振动的相位差为,波函数的其它形式,x
4、2x1, 0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质点的振动；,讨论,1),第18章 波动,10,2) 若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:,3) 角波数（简称波数) 波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）。 角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）。,第18章 波动,11,5） 波的表达式的物理意义,(3) 当坐标 x 确定 表达式变成 yt 关系,(4) 当时刻 t 确定 表达式变成 y-x关系 波形图,(1) 振动状态的空间周期性,(2) 波形传播的时间周期性,(5) y 给定, x和 t 都在变化，表明波形传播和分布的时空周期性。,t1时刻的波形,O,y,x,t1+t 时刻
5、的波形,18.4 物体的弹性形变,形变：物体（在受到外力作用时）形状或体积发生变化。,包括：固体，气体，液体,弹性形变：在弹性限度内，去掉外力后，形状或体积能够复原。,1、线变：长度变化,线应变：,线应力：,胡克定律：弹性限度内，（线）应力和应变成正比。,E：杨氏（弹性）模量,力很小时，伸长量很小，面积基本不变，,近似常数，可用k 表示。,k 劲度系数,弹性势能：,单位体积内弹性势能：,2、剪切形变：形状变化,剪（切）应力：,剪（切）应变：,剪（切）模量：,弹性限度内胡克定律：,势能密度：,3、体变：体积变化,压强改变：,体应变：,体弹模量：,胡克定律：,压缩率：,势能密度：,以棒中横波为例,
6、18.5 弹性介质中的波速,第18章 波动,18,胡克定律：,质元质量：,质元位移：,第18章 波动,19,棒中横波,棒中纵波,流体中纵波,绳中横波,介质密度越大，波速越小,弹性模量越大，波速越大,结论：,考虑密度为,18.6 波的能量,体积为,的介质质元,平衡位置坐标为,t 时刻质元运动速度为,此时刻质元振动动能为,横波,切应变,此时刻振动势能为,每一质元的动能和势能同相、同大小地随时间变化,第18章 波动,22,质元的总机械能,单位体积内的能量能量密度,平均能量密度（一个周期内）,由机械波导出，但对所有弹性波都适用。,第18章 波动,23,波的强度：在单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面
7、积的能量（能流密度）。,强度与振幅平方成正比,第18章 波动,24,在无吸收介质中，对于同样波线所限的两个截面 S1和 S2，,一个周期内，,第18章 波动,25,对于平面波，,S1= S2，,对于球面波，,S1= 4r12，S2 = 4r22,振幅与离点波源的距离成反比,以A1为离点波源单位距离处的振幅，则距离r 处的振幅为,球面简谐波波函数,第18章 波动,26,例18.3 超声波在水中强度为 I =120kW/cm2。频率 =500kHz，水的密度=103kg/m3，水中声速为 u = 1500m/s。求此时水中质元振动的振幅。,解：,（m）,第18章 波动,27,1. 波传播的独立性,
8、媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率等), 不受其它波的影响 。,一、波的叠加,* 彩色光束空间交叉相遇,* 乐队演奏,* 空中无线电波,2. 波的叠加原理：,在波的相遇区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。,18.8 波的叠加 驻波,第18章 波动,28,波的叠加,第18章 波动,29,波的叠加,第18章 波动,30,二、驻波,两列相干波沿相反方向传播而叠加而形成驻波。 设x = 0处两波初相均为0,第18章 波动,31,第18章 波动,32,第18章 波动,33,波腹处（振幅最大）,波节处（振幅为0）,振幅：,各处不等大，出
9、现了波腹和波节,驻波特点：,相邻波腹距离：,相邻波节距离：,第18章 波动,34,驻波是分段的振动。相邻波节间振动相位相同； 波节两侧振动相位相反。,2) 相位：,驻波特点：,第18章 波动,35,距离x 处：,振动反相。位移反向。,距离x 处：,振动同相。位移同向。,第18章 波动,36,弦振动的本征频率 （固有频率）,每个本征频率对应弦振动的一种简正模式,基频,n次谐频,每个本征频率对应弦振动的一种简正模式,有多个固有频率,驱动频率接近固有频率时产生共振,驻波系统：,振动模式取决于初始条件,振动是各种简正模式的叠加（不一定产生驻波）,第18章 波动,37,驻波特点：,第18章 波动,38,
10、弦驻波：,两端固定：,当 x =0或k时应为波腹,而两端却为波节,原因：当波由波疏媒质垂直入射到波密媒质反射时，产生半波损失，即位相突变。,若末端自由：,无半波损失，末端为波腹,第18章 波动,39,两端固定的弦驻波：,弦长：,容许波长：,波长不连续量子化,可能频率：,第18章 波动,40,18.9 声波,声波是机械纵波,可闻声波,次 声 波,超 声 波,声压（正）,声压（负）,胡克定律,第18章 波动,41,平面简谐波,截面为S（平面波S为定值）长度为dx的介质质元,平面简谐波,以 p 表示声压,第18章 波动,42,纵波波速（声速）,声压振幅,声强：声波的强度,第18章 波动,43,声强I
11、 （W/m2）,频率（Hz）,20,20k,10-12,1,可闻声波范围,可闻声波范围,引起痛觉,听不见,数量级相差悬殊,引入声(强)级:,单位：贝（尔），B,其中,第18章 波动,44,通常以分贝（dB）为单位，1B=10dB,B,dB,响度：人对声音的主观感觉。声级越大，响度越大。,响度与声级成正比？,声强,W/m2,见教材P 226 表18.2,第18章 波动,45,多普勒效应：当波源S和接收器R有相对运动时, 接收器所测得的频率 R不等于波源振动频率 S的现象。,18.10 多普勒效应( Doppler Effect ),例：火车开来，笛声变高。火车离去，笛声变低。,定量研究，以介质为
12、参照系，约定：,VS：波源相对于介质的速度,VR：接收器相对于介质的速度,u ：波速（相对于介质）,速度,符号规定: S和R相互靠近时VS , VR 为正，相互远离时为负。,第18章 波动,46,S：波源频率，波源在单位时间内发出的振动次数,完整波的个数,频率,R：接收频率，接收器单位时间内接收到的振动次数,完整波的个数,：波的频率，在单位时间内介质质元振动的次数,通过介质中某点完整波的个数,S、R 、 三者可能不同。,波源、接收器相对静止,波源、接收器相对运动,第18章 波动,47,假定波源和接收器在同一直线上运动，介质为参照系,1. 波源静止, 接收器运动 (VS =0, 设 VR0),波
13、相对于观察者的速度：,波长：,媒质的振动频率 ： = S,但 R ,第18章 波动,48,单位时间内 R 所接收的波的个数为(感觉到的频率)：,第18章 波动,49,2. 接收器R静止, 波源S运动 (VR=0, VS0),第18章 波动,50,t=0时S发出第一个“波峰”, 经历TS 时间，S 前进VSTS，再发第二个“波峰”，在t 时刻相邻两波峰半径分别为,(当S离开呢?),第18章 波动,51,3. 接收器、波源都运动,S R,设 VS 、VR均0,第18章 波动,52,第18章 波动,53,第18章 波动,54,第18章 波动,55,第18章 波动,56,第18章 波动,57,4. 冲击波,飞行速度与波速的比值VS/u (称马赫数) 决定 角,这时波前为以S为顶点的锥面（马赫锥）,半顶角为：,波源速度超过波速 (VSu),第18章 波动,58,子弹的冲击波,第18章 波动,59,汽艇激起的V-形波,第18章 波动,60,第18章 波动,61,相互接近时 R S 接收频率变高； 相互远离时 R S 接收频率变低（红移）。,星体光谱都有红移现象,宇宙在膨胀,5. 光波的多普勒效应,光波也有多普勒效应.,
