1、数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章 空间几何体一、本章总知识结构二、各节内容分析1.1 空间几何体的结构1.本节知识结构1.2 空间几何体三视图和直观图1、本节知识结构1.3 空间几何体的表面积与体积1、本节知识结构。三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：1.多面体的体积（表面积）问题；2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题“等体积代换法”。（一）多面体的体积（表面积）问题1 在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60 ，对角线 AC 与BD 相交于点 O，PO 平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60
2、 （1）求四棱锥 PABCD 的体积；【解】 （1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD,得PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 ,PBO=60.在 RtAOB 中 BO=ABsin30=1,由 POBO,于是，PO=BOtan60= ,3而底面菱形的面积为 2 .四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 2 =2.312如图,长方体 ABCD- 中，E 、P 分别是 BC、 的中点,M、N 分别是1DCBA1ADAE、 的中点，1CD1=,a2,（）求三棱锥 PDEN 的体积。【解】（） 1124NEECDPSB矩 形 2154aa作 ，交 于 ，由 面 得1DQ1Q1A1C
3、1ADQ 面 BC在 中，1Rt125Da 。3PDENPNEPVSQ234316a（二）点到平面的距离问题“等体积代换法”。1 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。【解】 （III ） 设点 E 到平面 ACD 的距离为 .h， EACDV 1.3CDEhSOSA在 中， 2,17().2ACDS而 23, ,4EO1. .72CDEASh点 E 到平面 ACD 的距离为1.72如图，已知正三棱柱 的侧棱长和1ABC底面边长为 1， 是底面 边上的中点， 是侧棱MN上的点，且 。1C12N（）求点
4、到平面 的距离。1【解】 （）过 在面 内作直线B1C， 为垂足。又 平面 ，所以 AM 。于是 H 平面1BHMNAM1BC1B1AMN，故 即为 到平面 AMN 的距离。在 中，11 RHM 。故点 到平面 AMN115sin121的距离为 1。3 如图，已知三棱锥 的侧棱 两两OABCOBC、 、垂直，且 OA=1，OB=OC=2，E 是 OC 的中点。（1）求 O 点到面 ABC 的距离； CADBOE【解】 （1）取 BC 的中点 D，连 AD、OD。，则OBCBAC、 ，BC面 OAD。过 O 点作 OHAD 于 H，则 OH面 ABC，OH 的长就是所要求的距离。， 。22 面
5、OBC，则 。AB， ， AOAD，在直角三角形 OAD 中，有23DO 263H。（ 另解 ：由 知： ）1163OABCABVSBC第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、本章的知识结构二、各节内容分析2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系1、本节知识结构2.内容归纳总结（1）四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言： 。,AlBl且公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论： 它给出了确定一个平面的依据。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线） 。符号语言： 。,
6、,PlP且公理 4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言： 。/,/albla且（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角 ：把不在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线 。已知两条异面直线 ，经过空间任意一点 O 作直线 ，我们把 与,ab/,aba所成的角（或直角）叫 异面直线 所成的夹角 。 （易知：夹角范围 ）b , 09定理 ：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 （注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：相 交 直 线 ： _;共 面 直 线 平 行 直 线 ：异 面 直 线 ： .（3）空间中直线
7、与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：1.23/llA 直 线 在 平 面 内 ： .直 线 与 平 面 相 交 ：直 线 在 平 面 外 直 线 与 平 面 平 行 ：（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种： 1./2l两 个 平 面 平 行 ：两 个 平 面 相 交 ：2.2 直线、平面平行的判定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结（1）四个定理定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。,/aba且 在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面
8、平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。,/abP判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。/,abb平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。/,/ab（2）定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高
9、维问题”转化为“低维问题” ，将“空间问题”转化为“平面问题” 。2.3 直线、平面平垂直的判定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线 与平面 内的任意一条直线都l垂直，我们就说直线 与平面 垂直，记作 。直线 叫做平面lll的垂线，平面 叫做直线 的垂面。直线 与平面的公共点 叫做l P垂足。2. 直线与平面所成的角：角的取值范围： 。093.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围： 018两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理 定理内容 符号
10、表示 分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。,mnPa、且 在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。,（满足条件与 垂直的平面 有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“ 找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为 “线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。 ,/aba平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。,ll解决问
11、题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线（三）定理之间的关系及其转化：两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化。三、高考考点解析第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题（一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角” ，然后证明
12、这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之：“转化角” 、“证明” 、“求角” ） 。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程 其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题） ”。1 如图所示， 、 分别是 、 的直径， 与两圆所在的平面均垂直，AFDEOA1AD. 是 的直径，8ADBCO, 。6/（II）求直线 与 所成的角。【解】 （II）第一步：将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D 作符合条件的直线。连结 DO，则ODB 即为所求的角。第二步：证明ODB
13、就是所求的角在平面 ADEF 中，DE/AF，且 DE=AF，所以四边形 ODEF 为平行四边形 所以DO/EF所以根据定义，ODB 就是所求的角。第三步：求角由题设可知：底面 ABCD 为正方形 DA平面 ABCD 平面 DABCBCAD又 AFBC BC平面 ADO DOBC DOB 为直角三角形 在 RtODB ， 10D82O （或用反三角函数表示为： ）82cosOB82arcos102在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60 ，对角线 AC 与BD 相交于点 O，PO 平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 （2）若 E 是 PB 的中点，求
14、异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【解】 （2）取 AB 的中点 F，连接 EF、DF.由 E 是 PB 的中点,得 EFPA,FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角 （或它的补角） 。在 RtAOB 中 AO=ABcos30= =OP,3于是,在等腰 RtPOA 中,PA= ,则 EF= .62在正ABD 和正PBD 中，DE=DF= . cosFED= =334621DEF2异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos .423 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,.CABDABD（II）求异面直线 AB 与 C
15、D 所成角的大小；【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（II） 取 AC 的中点 M，连结OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知ME AB,O DC直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与CD 所成的角在 中，121,ABOEDC是直角 斜边 AC 上的中线，OC1,2Mcos,4M异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2arcos.4 如图，已知三棱锥 的侧棱 两两垂直，且OABCOBC、 、OA=1， OB=OC=2，E 是 OC 的中点。（2）求异面直线 BE 与
16、 AC 所成的角；【解】 （2）取 OA 的中点 M，连 EM、BM，则 EMAC，BEM 是异面直线 BE 与 AC所成的角。求得： ，21552EACBEO， 217BMOB。CADBOEABCA1VB1C1， 。22cos 5BEM 2arcos5BEM2. 异面直线的公垂线问题异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.1如图，在直三棱柱 1ABC中， ,ABCD、 E分别为 1B、 AC的中点。（I）证明：ED 为异面直线 1与 的公垂线；【解】 （）设 O 为 AC 中点，连接 EO，B
17、O，则EO C1C， 12又 C1C B1B，所以 EO DB，EOBD 为平行四边形， EDO BABBC， BOAC，又平面 ABC平面 ACC1A1， BO 面 ABC， 故 BO平面ACC1A1，ED平面 ACC1A1， EDAC 1， EDCC 1，EDBB 1，ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线2 如图，已知平面 平行于三棱锥 的底面 ABC，等1BCVBC边 所在的平面与底面 ABC 垂直，且ACB=90 ，设1ABC,a（）求证直线 是异面直线 与 的公垂线；11ABC【解】解法 1：（）证明： 平面 平面 ，B11/,/BCA11BCA又平面 平面 ，平面 平面
18、，1 BCA 平面 ， ，BCA111BACC1 B1A1DEABCDEA1B1C1OF又 ， . 为 与 的公垂线.11ACB11CAB1BC1A（二） 直线与平面所成夹角1如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ，PD/D， 底面 ，且 ，90BADAB2AB分别为 、 的中点。MN、 C（）求 与平面 所成的角。MN【解】 （II）取 的中点 ，连结 、 ，GN则 ，/G所以 与平面 所成的角和 与平面 所BACDAM成的角相等. 因为 平面 ，PD所以 是 与平面 所成的角.N在 中， 。RtBG10sin5BG故 与平面 所成的角是 。CDAMarcsin2 在正三角形 ABC 中，E
19、、F、P 分别是AB、AC、BC 边上的点，满足AE:EB CF:FACP:PB1:2（如图 1） 。将AEF 沿 EF 折起到的位置，使二面EFA1角 A1EF B 成直二面角，连结 A1B、A 1P（如图 2）（）求直线 A1E与平面 A1BP 所成角的大小；【解】不妨设正三角形的边长为 3，则（II）在图 2 中，A 1E 不垂直于 A1B，A 1E 是面 A1BP 的斜线，又 A1E面 BEP，A 1EBP ，BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于 Q，则EA 1Q 就是 A1E 与面
20、 A1BP 所成的角，且 BPA 1Q。在EBP 中，BE=BP=2 ，EBP=60 o，EBP 为正三角形， BE=EP。APFECBA1E FCPB图 1 图 2又 A1E面 BEP，A 1B=A1P，Q 为 BP 的中点，且 EQ= ，而 A1E=1，3在 RtA 1EQ 中， ，即直线 A1E 与面 A1BP 所成角为 60o。3tan11EA（三） 二面角与二面角的平面角问题1 如图所示， 、 分别是 、 的直径， 与两圆所在的平面均垂直，FDOA1AD. 是 的直径，8ADBCOA, 。6/E（I）求二面角 的大小；【解】 （I）AD 与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故
21、BAF 是二面角 BADF 的平面角，依题意可知，ABFC 是正方形，所以BAF45 0.即二面角 BADF 的大小为 450；2如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， ，P 在平面1AABC 内的射影为 BF 的中点 O。（）求面 与面 所成二面角的大小。ADPB【解】连结 AD，则易知 AD 与 BF 的交点为 O。（II）设 M 为 PB 的中点，连结 AM，MD 。,BA在 中斜线 PB 在平面 ABC 内的射影为 OB，。FAD.P由 三 垂 线 定 理 得又 ,M.BAMD平 面A平 面 R因此， 为所求二面角的平面角。D在正六边形 ABCDEF 中，2
22、3,2.BFO在 Rt 1,APA中 ，2.在 Rt ，则26BOPOB中 ， 16,24MPB210,4AM2.D在 中，由余弦定理得D22105cos 3AD因此，所求二面角的大小为 105ar().33 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面PABCAP，且 ，点 是 的中点.ABCDPABEPD（）求二面角 的大小.C【解】 （）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则 EF 是PAD 的中位线， EFPA 又 平面 ， EF平面/同理 FO 是ADC 的中位线，FO ABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二面角 EACD 的平面角 . 又FO AB PAEF。12E
23、OF45而二面角 与二面角EACBEACD 互补，故所求二面角 的大小为 135.4 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD为等腰梯形， /,AB与 相交于点 ，且顶点 在底面上,COP的射影恰为 点，又 .2,BD（）求二面角 的大小；PAC【解】 平面 ， OBD又 ，,PB由平面几何知识得： 1,3,6PB（）连结 ，由（）及三垂线定理知， 为二面角 的平面角EEOPABC， 2sinPO045二面角 的大小为ABC0455 如图,=l , A, B,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= , 求:2（II
24、）二面角 A1AB B 1 的大小。【解】 （） BB 1, 平面ABB1。在平面 内过 A1 作 A1EAB 1 交 AB1 于 E，则A1E平面 AB1B。过 E 作 EFAB 交 AB 于 F，连接A1F，则由三垂线定理得 A1FAB ，A 1FE 就是所求二面角的平面角.在 Rt ABB1 中,BAB 1=45， AB 1=B1B= . 2RtAA 1B 中，A1B= = = 。AB2 AA12 4 1 3由 AA1A1B=A1FAB 得A1F= = = ,AA1A1BAB 132 32在 RtA 1EF 中，sinA 1FE = = ，A1EA1F 63二面角 A1ABB 1 的大小
25、为 arcsin .63第二部分 空间直线、平面的平行问题将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”（一）“线线平行”与“线面平行”的转化问题1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面PABCDAP，且 ，点 是 的中点.ABCDPABEPD（）求证： 平面 ；/C【解】 证明本题的关键：在平面 EAC 中“找”一条与PB 平行的直线，由于点 E 在平面 PBD 中，所以可以在平面 PBD 中过点 E“找” （显然，要“找”的直线就是平面 PBD 与平面 EAC 的交线） 。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。（）连接 BD，与 AC 相交与 O，连接 EO，ABCD
26、是平行四边形 O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点， EO/PB.又 PB 平面 AEC，EO 平面 AEC，PB 平面 AEC。2如图，在五面体 中，点 是矩形 的对角线的交点，面 是ABCDEFABCDCDE等边三角形，棱 /12（1）证明 /平面 ；FO（2）设 ，证明 平面 3BCDEOCDF【解】分析通上题。（）证明：取 CD 中点 M，连结 OM.在矩形 ABCD 中。 ，又 ，1/2B1/2则 ，连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形. /OEF /FOEM又 平面 CDE，且 EM 平面 CDE，FO平面 CDE（二） “线面平行”与“面面平行”的转化问题2如图
27、,长方体 ABCD- 中，E 、P 分别是 BC、 的中点,M、N 分别是1DCBA1ADAE、 的中点，1CD1=,a2,（）求证： ；/MN平 面【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂（不是不可以） ，所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是：考虑到点 M、N 都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点 K（OC 的中点） ，将“线面平行 ”问题转化为“面面平行”问题。（）取 的中点 ，连结CDK, 分别为 的中点,MN1,A /,/K 面 ， 面1D/K1DA面 面 面/NA/MN1第三部分 空间直线、平面的垂直问题将“空间问题”转化为“平面问题”转化思
28、想。（一）“线线垂直”到“线面垂直”1如图， 是正四棱柱。1ABCD（I）求证：BD平面 ；1AC【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条相交的直线 AC、A 1A 与 BD 垂直。（） 是正四棱柱，1BD CC 1平面 ABCD， BDCC 1， ABCD 是正方形， BDAC又 AC，CC 1 平面 ，且 ACCC 1=C，1AC BD平面 。2 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（I）求证： 平面 BCD； 【解】 （I）证明：连结 OC,.OBCOB在 中，由已知可得A1,3.AC而 2,22即90oOC.O平面,BDABC
29、D3 如图 4, 已知两个正四棱锥 的高分别为 1 和 2, ABCQP与。4A（I）证明: ；ABCPQ平 面【解】 （）取 AD 的中点 M，连接 PM、QM。因为 PABCD 与 QABCD 都是正四棱锥，所以 ADPM， AD QM。从而 AD 平面 PQM。又 PQ 平面 PQM，所以 PQAD。同理 PQAB ，所以 PQ平面 ABCD。CADBOED图4CBAQP9 在正三角形 ABC 中，E、F 、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足AE:EB CF:FACP:PB 1:2（如图 1） 。将AEF 沿 EF 折起到 的位置，使二面角EFA1A1EF B 成直二面角，连结
30、 A1B、A 1P（如图2）（）求证：A 1E平面 BEP；【解】不妨设正三角形的边长为 3，则（I）在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF，AEEB=CFFA=12， AF=AD=2，而A=60 o，ADF 为正三角形。又 AE=DE=1，EFAD。在图 2 中，A 1EEF，BEEF，A 1EB 为二面角 A1EF B 的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，A 1EBE。又 BE EF=E，A 1E面 BEF，即 A1E面 BEP。（二） “线面垂直” 到“线线垂直”1如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， ，P 在平面1AABC 内的射影为 B
31、F 的中点 O。（）证明 ；ABF（）求面 与面 所成二面角的大小。DP【解】连结 AD，则易知 AD 与 BF 的交点为 O。（I）证法 1：,为 的 中 点 ，.AOBF又 ,PC平 面.ABF由 三 垂 线 定 理 得证法 2: ,BFOPO平 面 ,.PAABF平 面APFECBA1E FCPB图 1 图 22如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ，PABCD/ADBC， 底面 ，且 ，90BAD2分别为 、 的中点。MN、（）求证： ；M【解】 （I）因为 是 的中点， ，所以NP.P因为 平面 ，所以 ，ABADB从而 平面 .因为 平面 ，所以 .3如图，在三棱锥 ABCD 中，
32、侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD ，BDCD1，另一个侧面是正三角形3（1）求证：ADBC；【解】 （1）方法一：作 AH面 BCD 于 H，连 DH。ABBDHBBD，又 AD ，BD1AB BCAC BDDC2又 BDCD ，则 BHCD 是正方形，则 DH BCADBC方法二：取 BC 的中点 O，连 AO、DO则有 AOBC，DOBC， BC面 AODBCAD4 如图， 、 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。点 A、 B 在 上，1l2 1lC 在 上， AM=MB=MN。2l（）证明 AC NB【解】 （） 22112, ,lMNlllABNABN由 已 知 可 得 平 面由 已 知 ， ， 可 知 且又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影CAB DC
