1、第 1 页（共 3 页）高考中的线性规划试题简单线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型。一. 求目标函数的最值问题例 1. 在约束条件 下，当 时，目标函数 的最大值的变化范围是（ ）4x2ys05s3y2x3zA. 6，15 B. 7，15 C. 6，8 D. 7，8解：由 则由题意知 A（0，2） ，B（ ， ） ，C（0，s） ，D（0，4） 。4s2yx42ysx s4-2（1）当 时可行域是
2、四边形 OABC，此时， ；3 8z7（2）当 时可行域是 ，此时， 。5sODmax由以上可知，正确答案为 D。点评：本题主要考查线性规划的基础知识，借助图形解题。例 2. 已知平面区域 D 由以 A（1，3） 、B（5，2） 、C （3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域 D 内有无穷多个点（x，y）可使目标函数 取得最小值，则 m=（ ）yxzA. B. C. 1 D. 42解：由 A（1，3） 、B（5，2） 、C（3，1）的坐标位置知， 所在的区域在第一象限，故 。当AB0y,x时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当 时，由 z=x+my 得 ，它表示的直线的斜率0m
3、0mmz1y为 。（1）若 ，则要使 取得最小值，必须使 最小，此时需 ，即 m=1；0mmyxzmz13k1AC第 2 页（共 3 页）（2）若 m0，则要使 取得最小值，必须使 最大，此时需 与 m0 矛盾。myxzmz ,2m,531kBC即综上可知，m=1 。点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决问题的能力。二. 求参数的取值问题例 3. 已知变量 x，y 满足约束条件 。若目标函数 （其中 ）仅在点（3，1 ）2y-x4,yx1 yaxz0a处取得最大值，则 a 的取值范围为_。解：由已知变量满足约束条件 ， 。在坐标系中画出可行域，如图为四边形
4、ABCD，其中4yx12yxA（3，1） ， ， 。目标函数 （其中 ）可转化为 表示斜率为 的直线系1kADBaz0az,axya中的截距的大小，若仅在点 A 处取得最大值，则斜率应小于 ，即 ，所以 a 的取值范围为1kAB1（1， ）三. 求约束条件问题例 4. 双曲线 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）4yx2A. B. C. D. 30303x0y3x0y双曲线 的两条渐近线方程为 ，两者与直线 围成一个三角形区域时有 ，故选 A。4yx23x0y点评：本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。四. 求面积问题例 5. 在平面直角坐标系中
5、，不等式组 ，表示的平面区域的面积是（ ）2x0-yA. B. 4 C. 2 D. 224由题知可画出可行域为 （如上图） ， ，故选择 B。ABC4|0|SABC第 3 页（共 3 页）点评：本题考查简单的线性规划的可行域（三角形）的面积，同时切记做线性规划的题目时，最关键的是不等号的处理，应考虑要求的区域是在直线的上方还是下方。练一练1. 已知点 P（x，y）的坐标满足条件 点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于1xy4_。2. 某厂生产甲产品每千克需用原料 A、原料 B 分别为 千克、b 1 千克，生产乙产品每千克需用原料 A、原料 B 分1a别为 a2 千克、 b2 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1 元、d 2 元。月初一次性购进本月所需原料 A、B 分别为c1 千克、c 2 千克，则本月生产甲产品和乙产品分别为多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克，月利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型ydxz21中，约束条件为（ ）A. B. 0y,x,cba2110y,x,cba2211C. D. 0y,x,cba2110y,x,cba211参考答案：1. 2. C210
