1、,第三章 随机向量,1、随机向量的概念,3.1.1 随机向量及其分布函数,实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机向量.,（1）必要性：,在实际问题中需要同时研究两个或两个 以上的随机变量。,3.1 随机向量及其分布,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机向量(H,W).,定义3.1.1,（2）定义,2、分布函数-完整描述r.v.的分布规律,二维随机向量（X,Y）,X和Y的联合分布函数,分布函数的定义,X,Y,x,y,Xx,Yy, , ,二维联合分布函数F(x,y)区域演示图:,(x,y),n维随机向量分布函数定义,定义3.1
2、.2,(2) 分布函数的性质,注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。,X,Y,x1,y1,(x1,y1),x2,y2,(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),(3) 边缘分布函数,二维联合分布全面地反映了二维随机向量(X,Y)的取值及分布规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的分布规律.,称为(X,Y)关于X的边缘分布函数,称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数,注：,（1）由联合分布可以唯一确定边缘分布;但由边缘分布一般不能唯一确定联合分布.,例3.1.1 设二维随机向量 的联合分布函数为,这个分布称为二维指数分布，其中 求
3、的边缘分布函数.,解：,3.1.2 离散型随机向量的分布,定义3.1.3,注：,离散型r.v.X,Y）,i, j =1,2, ,X和Y 的联合概率分布,1、（联合）概率分布,2、基本性质,定义3.1.4,(X,Y)的联合概率分布表:,3、作用-完整描述D.r.v.的分布规律,它们分别对等于联合概率表中的“行和”或“列和”，,列在该表的最后一列和最后一行。,4、边缘概率分布,注:,联合分布,边缘分布,例3.1.3 设 的联合概率分布由下表给出，,求,解,例3.1.4 设 为两个随机事件,且 求： 和 的联合概率分布.,解： 的可能取值为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1). 由于,所以
4、有：,1.（联合）概率密度,3.1.3 连续型随机向量,定义3.1.5,(2)在 f (x,y)的连续点，,注: (1) C.r.v.的F(x,y)为实平面上的二元连续函数,(3) F(x,y)与f(x,y)能相互确定。,2.性质,表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,3、边缘概率密度,边缘概率密度,例3.1.5 设二维连续型随机向量 的联合密度函数为,试求（1）A的值，（2） （3） 的边缘密度函数.,解 （1）由联合密度函数的性质,有（2）（3）当 或 时， ，故当 时，,所以类似地可以求出,例3.1.6 设 是平面上的一个有界区域,其面积记作 ,二维连
5、续型随机向量 的密度函数为 其中 为常数. 求常数 .,解 由密度函数的性质，有得到于是,通常称以该式为密度函数的随机向量 服从区域 上的均匀分布.,练习,解：,y,4、二维正态分布,在讨论一维随机变量时，我们曾指出，一元正态分布是实际应用中最常见的分布之一.类似地，在实际中也常常会用到二元正态分布. 若随机向量 的密度函数为其中 均为参数，且则称 服从参数为 的二维正态分布，记作,二维正态分布的图形,例3.1.7 证明：当 有,证 根据边缘密度函数定义得到的密度函数为令 ，则上式可化为,可见 .对称地，可知 的密度函数为，即 . 比较 和 联合密度函数 和边缘密度函数 和 ，我们注意到，当且
6、仅当 时，对一切 .,上述讨论实际上说明： （1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数； （2）不同的二维正态分布，比如不同的 ，可以有相同的边缘分布，因而由边缘分布不能惟一确定联合分布.为了确定一个二维正态分布的密度函数，除了知道边缘分布以外，还必须知道参数 的值.特别地，如果 ，则联合密度函数可以由边缘密度函数确定. 需要指出的是，两个边缘分布为正态分布的二维随机向量未必服从二维正态分布.,例3.1.8 设随机向量 的密度函数为 求 的边缘密度函数.,解,由于第二个积分中的被积函数 是关于 的奇函数，所以积分为0.,而类似可求该例题表明，尽管 的边缘概率分布都是标准正态分布，但是 的联合分布不是二元正态分布.,
