1、1第一章 静电场3 高斯定理（P70）1. 设一半径为 5 厘米的圆形平面，放在场强为 300 牛顿/库仑的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角 取下列数值时通过此平面的电通量： ； ； ； ； 。0390120180解：由 可得：cosESe CNm/36.75.cs5. 2021 e 043032 09cos.2 CNme /18.75.1524 368cs0.3025 2. 均匀电场与半径为 的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。a解： Ee223. 如附图所示，在半径为 和 的两个同心球面上，分别均匀地分布电荷 和 ，求：1R2 1Q2 、三个区域内的场强分布； 若
2、 ，情况如何？画出此情形的 曲线。21QrE解： 由高斯定理 得：iSqdE0)(1区域内， 1Rr0区域内， 21r220124rQE区域内， 2R20134r 当 时21Q， ，01E20124r3E4. 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电 的原子核（可以看成点电荷） ，外面是带负电的电子云。eq在正常状态（核外电子处在 s 态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的： 0/23)(areer式中 为一常数（它相当于经典原子模型中 s 电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径） ，求原子内的0a电场分布。解：原子内的电荷分布具有球对称性，因而原子内的电场也是球对称分布的。由高斯定理可得 20() 1
3、4()eeSEdrqrdVA022 23004rraeer220014raeqEr5. 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场， 垂直于地面向下，大小约为 100 牛顿/库仑；在离地E面 千米高的地方， 也是垂直于地面向下的，大小约为 25 牛顿/库仑。1E 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度。 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。解： 设电荷的平均体密度为 ，取圆柱形高斯面如图（1） （侧面垂直底面、e S 2E S 1E （ 1） h 3底面 平行地面） ，上下底面处的场强分别为 和 ，则通过高斯面的电场强度通量为S1E2212()EdSSA高斯面 包围的电荷
4、ieqh由高斯定理 210()130214./eECmh 设地面面电荷密度为 。由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图e（2） 。由高斯定理 01iEdSqA0e1028.5/e Cm6. 半径为 的无穷长直圆筒面上均匀分布带电，沿轴线单位长度的电量为 。求场强分布，并画R 曲线。rE解：电场分布具有轴对称性，作与圆筒共轴半径为 、长为 的圆柱形高斯面，由高斯定理可得rl012idSrlEqA当 时，rRiq10当 时，ril20Er7. 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为 和 ，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别1R2为 和 。 求各区域内的场强分布； 若 ，情况
5、如何？画出此情形的 曲线。12 2rEE （ 2） 4解： 由高斯定理 可得01iEdSqA当 时， 1rR1当 时，120r当 时， 2rR1330E 当 时，代入中可得21， ，10120r38. 半径为 的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 。求场强分布，并画 曲线。RerE解：电场分布具有轴对称性，作与圆柱体共轴半径为 、长为 的圆柱形高斯面，由高斯定理可得rl012iEdSrlqA当 时，rRieql20rlE102er当 时，rR2ieql220eEr9. 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示： 201)(arre5式中 是到轴线的距离， 是轴线上的 值， 是
6、个常数（它是 减少到 处的半径） 。求r0eae4/0场强分布。解：作与圆柱体共轴半径为 、长为 的圆柱形高斯面，由高斯定理可得rl012iEdSlqA0200()1rerdVrlda20()arE10. 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为 ，求各区域的场强分布。e解：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强为e02E由场的叠加原理可得两带电平面间的场强为 20e方向垂直带电平面由正电荷指向负电荷。两带电平面外侧的场强为 130E可以用高斯定理求出同样的结果（作垂直于带电平面的原柱形高斯面） 。11. 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是 ，求各处的场强分布。e解：由场的叠
7、加原理和无限大均匀带电平面的场强公式可得两带电平面间的场强为 20E两带电平面外侧的场强大小为6130eE方向垂直带电平面12. 三个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别是 、 、 。求下列情况各处的场1e23e强： ； ， ； ， ；ee321 ee31 e2 ee31 e2， 。e 解：建立如图所示坐标轴（ 轴） 。每个带电平面产生的场强均为x（带电平面的左侧） ， （带电平面的右侧）02eE02eE则由场强叠加原理，三个无限大的均匀带电平面所分成的 4 个区域的场强分别为区： 1231230ee区： 12321230eeE区： 12331230ee区： 12341230eeE实际
8、上无限大的均匀带电平面产生的电场是匀强电场，并且关于带电平面对称，因而无限大均匀带电平行平面组产生的电场在平行平面组外也是关于平面对称的，所以可以应用高斯定理求出无限大均匀带电平行平面组的电场分布。上面的结果也可用高斯定理求出。 当 时，4 个区的场强分别为ee321区： ；区： ；区： ；区：10E20eE302eE4032eE 当 、 时，4 个区的场强分别为ee31 e27区： ；区： ；区： ；区：102eE20eE302eE402eE 当 、 时，4 个区的场强分别为ee31 e2区： ；区： ；区： ；区：1020302e402e 当 、 时，4 个区的场强分别为e1 ee32区：
9、 ；区： ；区： ；区：10E20E302eE402eE13. 一厚度为 的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为 ，求板内、外场强的分布。d e解：如图，建立坐标 轴。带电平板产生的场强是关于平面对称的，作底面面积为 平行于平板、x S且关于坐标原点 对称的圆柱形高斯面。由高斯定理可得O012iEdSqA在平板内，即 时， ，则x2iexS02eS10eEx在平板外，即 时， ，则2dieqdS02eS20eEd考虑到电场的方向，平板外的场强可表示为 20ex814. 在半导体 结附近总是堆积着正、负电荷，在 区内有正电荷， 区内有负电荷，两区电荷npnp的代数和为零。我们把 结看成是
10、一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触（见附图） 。取坐标 的原点在 、 区的交界面上， 区的范围是 ， 区的范围是 。x 0xn px0设两区内电荷体分布都是均匀的：（突变结模型）。区 ： ，区 ： eNxpnAeD)(这里 、 是常数，且 （两区电荷数量相等） 。试证明电场的分布为DNAnDpx区：n)()(0exEn区：p)()(0xNpA并画出 和 随 变化的曲线来。xeE证明：因两区电荷数量相等，且可把 结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，由高斯定理可np知： 结外的场强为零，电场只存在 结内。对 区、 区分别作如图所示底面面积为npnp、一个底面在 结外及另一个底面过 处的圆
11、柱形高斯面 、 。由高斯定理可得Sx1S2区： 1 10eSEdVA00()()DennNxSxS10()DnNE区：p2 201eSdSVA00()()AeppNExxS920()ApNeEx和 随 变化的曲线如图：)(e15. 如果在上题中电荷的体分布为（线性缓变结模型）。： ，结 外 ： eaxxnpp)(0这里 是常数， （为什么？） ，统一用 表示。试证明电场的分布为apn 2m，)4(8)(20xaexEm并画出 和 随 变化的曲线来。e证明：因 区、 区的电量相等，故 。与上题类似， 结外的场强为零，电场只存在nppnxnp结内。作如图所示底面面积为 、一个底面在 结外及另一个底面过 处的圆柱形Sx高斯面 。由高斯定理可得S01eSEddVA00ppxxeSaS20()paE令 ，则mpx20(4)8eax和 随 变化的曲线如图：)(xeE
