1、巧用反证法证明不等式反证法是根据“正难则反” 的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。要证明不等式 AB，先假设 AB，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、 “至少”、 “均是” 、 “不都”、 “任何”、 “唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。例 1. 设 a，b，c，d 均为正数，求证：下列三个不等式abcd， 中至少有一个不正确。()abcd()()证
2、明：假设不等式、 、 都成立，因为 a，b，c，d 都是正数，所以由不等式、得， 。()()abcd2由不等式 得， ()()()c2因为 ，所以ab04cdabcd综合不等式，得 ，即3， cab13由不等式 ，得 ，即 ，显然矛盾。()abcdab242不等式、 中至少有一个不正确。例 2. 已知 求证：abcabcabc00， ， ，。abc00， ，证明：由 知 0，假设 ，则又因为 ，所以 ，即bca0bc()0从而 ，与已知矛盾。abca()假设不成立，从而 0同理，可证 。bc0，例 3. 若 ，求证： 。pqp23， ， pq2证明：假设 ，则 ，即 。2()q838()因为
3、所以3故 pqppq()()322又 ， ，即0q0 ，即 ，不成立。22()2故假设不成立，即 。p例 4. 设 a，b，c 均为小于 1 的正数，求证： ， 不能同时大()()1abc， ()1a于 。14证明：假设 同时大于 ，即 ，()()()11abca， ， 14()14ab， 。()14bc4c则由 ，可得12()()ab12ab同理， ，2cc三个同向不等式两边分别相加，得 ，所以假设不成立。32原结论成立。例 5. 若 ， ， ，求证： ， 不02ab02c()()2abc， ()a能同时大于 1。证明：由题意知 2020abc， ，假设有()12bca那么 ()()1b同理， ()2c()1a，得 矛盾，假设不成立。3故 ， ， 不能同时大于 1。()2ab()c()2a
