1、1,2.3 随机信号的性质,2.3.1 随机变量的概率分布 随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 随机变量的分布函数： 定义：FX(x) = P(X x) 性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a),2,离散随机变量的分布函数： 设X的取值为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有P (X x1) = 0, P(X xn)
2、= 1P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi),性质：FX(- ) = 0FX(+) = 1若x1 x2，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。,3,连续随机变量的分布函数：当x连续时，由定义分布函数定义FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：,4,2.3.2 随机变量的概率密度 连续随机变量的概率密度pX (x) pX (x)的定义：pX (x)的意义： pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率 能够从pX (x)求出P(a X b)：pX (x)的性质：,pX(x) 0,5,2
3、.4 常见随机变量举例,正态分布随机变量 定义：概率密度式中， 0, a = 常数 概率密度曲线：,6,均匀分布随机变量 定义：概率密度式中，a，b为常数 概率密度曲线：,7,瑞利(Rayleigh)分布随机变量 定义：概率密度为式中，a 0，为常数。 概率密度曲线：,8,2.5 随机变量的数字特征,2.5.1 数学期望 定义：对于连续随机变量 性质：若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。,9,2.5.2 方差 定义：式中， 方差的改写：证： 对于离散随机变量， 对于连续随机变量， 性质： D( C ) = 0 D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D
4、(Y) D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn),10,2.5.3 矩 定义：随机变量X的k阶矩为k阶原点矩：a = 0时的矩：k阶中心矩： 时的矩：性质：一阶原点矩为数学期望：二阶中心矩为方差：,一 随机过程的基本概念 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。对应不同随机试验结果的时间过程的集合。是一个事件全部可能“实现”构成的总体。,2.6 随机过程,【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程： (t) =1 (t), 2
5、 (t), , n (t)是全部样本函数的集合。,二 随机过程的分布函数 设X(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值X(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 随机过程X(t)的一维分布函数：随机过程X(t)的一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。,随机过程X (t) 的二维分布函数：随机过程 (t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。 随机过程X(t) 的n维分布函数：随机过程 (t) 的n维概率密度函数：,三 随机过程的数字特征 均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值X(t)是一个随机变量，其均值式中 是X(t)的一维概率密度函数,X
6、(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :,a (t ),方差方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。,均方值,均值平方,相关函数式中， X(t1)和X(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。f2 (x1, x2; t1, t2) X (t)的二维概率密度函数。,2.6.2 平稳随机过程 1 平稳随机过程的定义 定义：若一个随机过程X(t)的任意有限
7、维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维概率密度函数与时间t无关：而二维概率密度函数只与时间间隔 = t2 t1有关：数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。,数字特征：可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大
8、多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。,2 各态历经性 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 下面，我们来讨论各态历经性的条件。,各态历经性条件设： 是平稳过程X(
9、t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。,“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是严格平稳随机过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,例1 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论
10、X(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求X(t)的统计平均值：数学期望,自相关函数令t2 t1 = ，得到可见，X(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以X(t)是广义平稳过程。,(2) 求X(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。,28,稳态通信系统的各态历经性：假设信号和噪声都是各态历经的。 一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量； 一阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率； 二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率； 二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的 均
11、方根值（有效值）； 二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功率; 若mX = mX 2 = 0，则X2 = E X 2( t ) ； 标准偏差X 是信号交流分量的均方根值； 若mX = 0，则X就是信号的均方根值 。,29,2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 自相关函数的性质功率频谱密度的性质 复习：确知信号的功率谱密度： 类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：平均功率：,30,自相关函数和功率谱密度的关系由式中，令 =t t，k =t + t，则上式可以化简成 于是有,31,上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：PX(f )的性质： PX(f ) 0, 并且PX(
12、f )是实函数。PX(f ) PX(-f )，即PX(f )是偶函数。 【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。 试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。,32,解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式 可以化简为：R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次
13、变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到,33,由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负 数。所以，在上式中当 取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R( )的傅里叶 变换求出： P( f )和R()的曲线：,34,【例2.8】设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。试求其自相关函数R()。解：功率谱密度P( f )已知， 式中，自相关函数曲线：,35,【例2.9】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn( f )的噪声，即Pn( f ) n0/2式中，n0为单边功率谱密度（W/
14、Hz）白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得:由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0时）的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率 :上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。,36,带限白噪声的功率谱密度和自相关函数 带限白噪声：带宽受到限制的白噪声 带限白噪声的功率谱密度：设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有Pn(f) = n0 / 2, -fH f fH= 0, 其他处其自相关函数为：曲线：,3 平稳过程的自相关函数 平稳过程自相关函数的定义：同前 平稳过程自相关函数的性质 (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界即自相关函数R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率表示平
15、稳过程X(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0) = 2 。,4 平稳过程的功率谱密度 定义： 对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为式中，FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数,对于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为,功率谱密度的计算 维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。
16、它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论： 对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：即式中,功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。,例2 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相关函数和
17、功率谱密度。【解】在例1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有所以，功率谱密度为平均功率为,3.3 高斯随机过程（正态随机过程） 3.3.1 定义 如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：式中,式中 |B| 归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代数余因子bjk 为归一化协方差函数，即,3.3.2 重要性质 由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、
18、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。 广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。,如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。,3.3.3 高斯随机变量
19、定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中a 均值 2 方差曲线如右图：,性质 f (x)对称于直线 x = a，即a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布：,正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出： 用误差函数表示正态分布函数：令则有及式中误差函数，可以查表求出其值。,用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中当x 2时，,用Q函数表示正态分布函数： Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分
20、布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。,53,2.6.2 平稳随机过程 平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程） 广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 广义平稳随机过程的性质：严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,54,2.6.3 各态历经性 “各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例 各态历经过程的统计平均值mX：各态历经过程的自相关函数RX():一个随机过程若具有各态历
21、经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,55,稳态通信系统的各态历经性：假设信号和噪声都是各态历经的。 一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量； 一阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率； 二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率； 二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的 均方根值（有效值）； 二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功率; 若mX = mX 2 = 0，则X2 = E X 2( t ) ； 标准偏差X 是信号交流分量的均方根值； 若mX = 0，则X就是信号的均方根值 。,56
22、,2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 自相关函数的性质功率频谱密度的性质 复习：确知信号的功率谱密度： 类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：平均功率：,57,自相关函数和功率谱密度的关系由式中，令 =t t，k =t + t，则上式可以化简成 于是有,58,上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：PX(f )的性质： PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。PX(f ) PX(-f )，即PX(f )是偶函数。 【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号改变的
23、平均次数。 试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。,59,解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式 可以化简为：R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到,60,由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负 数。所以，在上式中当 取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函
24、数R( )的傅里叶 变换求出： P( f )和R()的曲线：,61,【例2.8】设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。试求其自相关函数R()。解：功率谱密度P( f )已知， 式中，自相关函数曲线：,62,【例2.9】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn( f )的噪声，即Pn( f ) n0/2式中，n0为单边功率谱密度（W/Hz）白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得:由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0时）的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率 :上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。,63,带限白噪声的功率谱密度和自相关函数 带限白
25、噪声：带宽受到限制的白噪声 带限白噪声的功率谱密度：设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有Pn(f) = n0 / 2, -fH f fH= 0, 其他处其自相关函数为：曲线：,64,2.7 高斯过程（正态随机过程）,定义： 一维高斯过程的概率密度：式中，a = EX(t) 为均值2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差 高斯过程是平稳过程，故其概率密度pX (x, t1)与t1无关，即， pX (x, t1) pX (x) pX (x)的曲线：,65,高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足：式中，ak为xk的数学期望（统计平均值）；k为xk的标准偏差；|B|为归一化协
26、方差矩阵的行列式，即|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数，即,66,n维高斯过程的性质 pX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量的数学期望ai、标准偏差i和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程 。 若x1, x2, , xn等两两之间互不相关 ，则有当 j k 时，bjk = 0。这时，即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。 若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。
27、互相独立的两个随机变量则一定互不相关。 高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。,67,正态概率密度的性质 p(x)对称于直线 x = a，即有：p(x)在区间(-, a)内单调上升，在区间(a, )内单调下降，并且在点a处达到其极大值 当x - 或 x + 时，p(x) 0。 若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布：,68,正态分布函数 将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数 ：式中， (x)称为概率积分函数 ：此积分不易计算，通常用查表方法计算。,69,用误差函数表示正态分布 误差函数定义：补误差函数定义： 正态分布表示法：,70,频率近似为fc,2.8 窄带随机过
28、程,2.8.1 窄带随机过程的基本概念 何谓窄带？设随机过程的频带宽度为f，中心频率为fc。若f fc，则称此随机过程为窄带随机过程。 窄带随机过程的波形和表示式 波形和频谱：,71,表示式式中，aX(t) 窄带随机过程的随机包络；X(t) 窄带随机过程的随机相位；0 正弦波的角频率。 上式可以改写为：式中， X (t)的同相分量 X (t)的正交分量,72,2.8.2 窄带随机过程的性质 Xc(t)和Xs(t)的统计特性：设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程；Xc(t)和Xs(t) 的方差相同，且等于X(t)的方差； 在同一时刻上得到的Xc和Xs是
29、不相关的和统计独立的。 aX(t)和X(t)的统计特性： 窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于：窄带平稳随机过程相位X(t)的概率密度等于：,73,2.9 正弦波加窄带高斯过程,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程： 正弦波加噪声的表示式：式中， A 正弦波的确知振幅；0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位；n(t) 窄带高斯噪声。 r (t )的包络的概率密度 ：式中， 2 n(t)的方差；I0() 零阶修正贝塞尔函数。 pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。当A = 0时， pr(x) 变成瑞利概率密度。,74,r (t )的相位的条件概率密度 ：式中， r( t )
30、的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位pr( / ) 给定 的条件下， r( t )的相位的条件概率密度 r (t )的相位的概率密度:当 = 0时，式中，,75,莱斯分布的曲线 当A/ = 0时，包络瑞利分布相位均匀分布 当A/很大时，包络正态分布相位冲激函数,76,2.10 信号通过线性系统,2.10.1 线性系统的基本概念 线性系统的特性 有一对输入端和一对输出端 无源 无记忆 非时变 有因果关系：当前输出只决定于当前和过去的输入 有线性关系：满足叠加原理若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为 时，输出为：式中，a1和a2均为任意常数。,77,线性系统的示意图2.10.2
31、确知信号通过线性系统 时域分析法设h(t) 系统的冲激响应x(t) 输入信号波形y(t) 输出信号波形则有：,78,频域分析法 设：输入为能量信号，令 x( t ) 输入能量信号H( f ) h( t )的傅里叶变换X( f ) x( t )的傅里叶变换y( t ) 输出信号则此系统的输出信号y( t )的频谱密度Y( f )为：由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出y( t )：,79,设：输入x( t )为周期性功率信号，则有式中，输出为： 设：输入x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理,80,【例2.10】若有一个RC低通滤波器，如图2.10.4所示。试求出其冲激响应，以及当有
32、按指数衰减的输入时其输出信号表示式。解:设 x(t) 输入能量信号y(t) 输出能量信号X(f) x(t)的频谱密度Y(f) y(t)的频谱密度则此电路的传输函数为：此滤波器的冲激响应h(t)：,81,滤波器输出和输入之间的关系：假设输入x(t)等于：则此滤波器的输出为：,82,无失真传输条件设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ，则其无失真输出信号y(t)为：式中，k 衰减常数，td 延迟时间。 求系统的传输函数：对上式作傅里叶变换： 式中， 无失真传输条件： 振幅特性与频率无关； 相位特性是通过原点的直线。（实际中，难测量，常用测量td代替。）,83,2.10.3 随机
33、信号通过线性系统 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为输出Y(t)的数学期望EY(t)由于已假设输入是平稳随机过程，故输出的数学期望：,EX(t-) = EX(t) = k，k = 常数。,84,输出Y(t)的自相关函数由自相关函数定义，有由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有 由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平稳随机过程。,85,输出Y(t)的功率谱密度PY( f ) ：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令 = +u - v代入上式，得到输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。,86,【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：所以有输出信号的功率谱密度为输出信号的自相关函数输出噪声功率： PY RY(0) = k2 n0 fH,87,2.11 小结,
