1、第6章 树和二叉树,树的概念和基本术语 二叉树 二叉树遍历 二叉树的计数 树与森林 霍夫曼树,树的概念和基本术语,树的定义 树是由 n (n 0) 个结点的有限集合。如果 n = 0，称为空树；如果 n 0，则有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直接后继，但没有直接前驱；当n 1，除根以外的其它结点划分为 m (m 0) 个互不相交的有限集 T1, T2 , Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。,例如,A,只有根结点的树,有13个结点的树,其中：A是根；其余结点分成三个互不相交的子集， T1=B,E,F,K,L； T2=C,G； T3=D,H,
2、I,J,M, T1,T2,T3都是根A的子树，且本身也是一棵树,树的基本术语,1层,2层,4层,3层,height = 4,A,C,G,B,D,E,F,K,L,H,M,I,J,结点 结点的度 叶结点 分支结点,子女 双亲 兄弟,祖先 子孙 结点层次,树的深度 树的度 森林,二叉树 (Binary Tree),定义,五种形态,一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。,特点,每个结点至多只有两棵子树（二叉树中 不存在度大于2的结点）,性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i 1个结点。(i 1) 证明用归纳法 证明
3、：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。 假设对所有j，ij1，命题成立，即第j层上至多有2 j-1 个结点。 由归纳假设第i-1 层上至多有 2i 2个结点。 由于二叉树的每个结点的度至多为2，故在第i层上的最大结点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2* 2i 2= 2 i-1。,性质,性质2 深度为 k 的二叉树至多有 2 k-1个结点(k 1)。 证明：由性质1可见，深度为k的二叉树的最大结点数为,性质3 对任何一棵二叉树T, 如果其叶结点数为 n0, 度为2的结点数为 n2,则n0n21. 证明：若度为1的结点有 n1 个，总结点个数为 n，总边数为 e，则根据二叉树的定
4、义，n = n0 + n1 + n2 e = 2n2 + n1 = n - 1 因此，有 2n2 + n1 = n0 + n1 + n2 - 1n2 = n0 - 1 n0 = n2 + 1,定义1 满二叉树 (Full Binary Tree) 一棵深度为k且有2 k-1个结点的二叉树称为满二叉树。,两种特殊形态的二叉树,满二叉树,非完全二叉树,定义2 完全二叉树 (Complete Binary Tree)若设二叉树的高度为h，则共有h层。除第 h 层外，其它各层 (0 h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干结点，这就是完全二叉树。,完全二叉树,性质4 具有 n (
5、n 0) 个结点的完全二叉树的深度为log2(n) 1 证明：设完全二叉树的深度为 h，则根据性质2和完全二叉树的定义有2h1 - 1 n 2h- 1或 2h1 n 2h 取对数 h1 log2n h，又h是整数， 因此有 h = log2(n) 1,性质5 如将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号0, 1, 2, , n-1，则有以下关系： 若i = 0, 则 i 无双亲若i 0, 则 i 的双亲为(i -1)/2若2*i+1 n, 则 i 的左子女为 2*i+1，若2*i+2 n, 则 i 的右子女为2*i+2 若结点编号i为偶数，且i!=0,则左兄弟结点i-1
6、. 若结点编号i为奇数，且i!=n-1,则右兄弟结点为i+1. 结点i 所在层次为log2(i+1) ,0,7,1,2,3,4,5,6,8,9,完全二叉树 一般二叉树 的顺序表示 的顺序表示,二叉树的存储结构,1,1 2 3 4 5 6 7 8 910,9,1 2 3 4 0 5 6 7 8 0 0 910,2,4,8,9,10,5,6,7,3,1,2,3,6,5,4,7,8,顺序表示,9,10,链表表示,二叉链表,含两个指针域的结点结构,lChild data parent rChild,含三个指针域的结点结构,三叉链表,二叉树链表表示的示例,A,A,A,B,B,B,C,C,C,D,D,D,
7、F,F,F,E,E,E,root,root,root,二叉树 二叉链表 三叉链表,三叉链表的静态结构,typedef char TreeData; /结点数据类型typedef struct node /结点定义TreeData data; struct node * leftChild, * rightchild; BinTreeNode;typedef BinTreeNode * BinTree;/根指针,二叉链表的定义,Void destroy ( BinTreeNode *current ) /删除根为current的子树if ( current != NULL ) destroy (
8、 current - leftChild );destroy ( current - rightChild );delete current; ,基本算法,BinTreeNode *Parent ( BinTreeNode * start, BinTreeNode * cuurent ) /找当前结点的双亲结点，并返回if ( start = NULL ) return NULL;if ( start-leftChild = current |start-rightChild = current ) return start; /找到BinTreeNode *p; /否则if ( p = Pa
9、rent ( start-leftChild, current )!= NULL ) return p; /在左子树中找else return Parent(start-rightChild, current); /在右子树中找 ,void BinaryTree Traverse ( BinTreeNode *current, ostream ,INTree ( istreamreturn in ,OUTree ( ostream ,二叉树遍历,树的遍历就是按某种次序访问树中的结点，要求每个结点访问一次且仅访问一次。设访问根结点记作 V遍历根的左子树记作 L遍历根的右子树记作 R则可能的遍历次
10、序有前序 VLR 中序 LVR 后序 LRV,中序遍历二叉树算法的定义：若二叉树为空，则空操作；否则中序遍历左子树 (L)；访问根结点 (V)；中序遍历右子树 (R)。遍历结果a + b * c - d - e / f,中序遍历 (Inorder Traversal),void InOrder ( BinTreeNode *T ) if ( T != NULL ) InOrder ( T-leftChild );cout data;InOrder ( T-rightChild ); ,中序遍历二叉树的递归算法,前序遍历二叉树算法的定义： 若二叉树为空，则空操作； 否则 访问根结点 (V)； 前
11、序遍历左子树 (L)； 前序遍历右子树 (R)。遍历结果- + a * b - c d / e f,前序遍历 (Preorder Traversal),前序遍历二叉树的递归算法void PreOrder ( BinTreeNode *T ) if ( T != NULL ) cout data;PreOrder ( T-leftChild );PreOrder ( T-rightChild ); ,后序遍历二叉树算法的定义： 若二叉树为空，则空操作； 否则 后序遍历左子树 (L)； 后序遍历右子树 (R)； 访问根结点 (V)。遍历结果a b c d - * + e f / -,后序遍历 (P
12、ostorder Traversal),后序遍历二叉树的递归算法：void PostOrder ( BinTreeNode * T ) if ( T != NULL ) PostOrder ( T-leftChild );PostOrder ( T-rightChild );cout data; ,二叉树遍历应用,以递归方式建立二叉树。 输入结点值的顺序必须对应二叉树结点前序遍历的顺序。并约定以输入序列中不可能出现的值作为空结点的值以结束递归, 此值在RefValue中。例如用“”或用“-1”表示字符序列或正整数序列空结点。,按前序建立二叉树(递归算法),如图所示的二叉树的前序遍历顺序为 A
13、B C D E G F ,A,B,C,D,E,G,F,void Crt_BinTree ( ifstream ,建立二叉树的主程序,void createBinTree ( filename,BinTreeNode */关闭文件 ,int Count ( BinTreeNode *T ) if ( T = NULL ) return 0;else return 1 + Count ( T-leftChild )+ Count ( T-rightChild ); ,2. 计算二叉树结点个数(递归算法),int Leaf_Count(Bitree T)/求二叉树中叶子结点的数目if(!T) ret
14、urn 0; /空树没有叶子else if(!T-lchild /左子树的叶子数加上右子树的叶子数 ,3. 求二叉树中叶子结点的个数,int Height ( BinTreeNode * T ) if ( T = NULL ) return -1;else int m = Height ( T-leftChild );int n = Height ( T-rightChild ) ); return (m n) ? m+1 : n+1; ,4. 求二叉树高度(递归算法),5. 复制二叉树(递归算法),int Copy( BinTreeNode * T ) if ( T = NULL ) ret
15、urn -1;BinTreeNode * temp=new BinTreeNode; Temp-data=T-data;Temp- leftChild = Copy( T-leftChild ); Temp- rightChild = Copy(T-rightChild ); return temp; ,6. 判断二叉树等价(递归算法),int Equal( BinTreeNode *a, BinTreeNode *b) if ( a = NULL /如果a和b的子树不等同，则函数返回0 ,中序遍历二叉树(非递归算法)用栈实现,b a,a b入栈,b退栈 访问,d入栈,d退栈 访问,e 退栈访
16、问,e c,栈空,a退栈 访问,c e 入栈,c 退栈访问,void InOrder ( BinTree T ) stack S; InitStack( ,前序遍历二叉树(非递归算法)用栈实现,a,c,a,b,c,d,e,d c,c,访问 a 进栈 c 左进 b,访问 b 进栈 d 左进 空,退栈 d 访问 d 左进 空,退栈 c 访问 c 左进 e,访问 e 左进 空 退栈 ,结束,void PreOrder( BinTree T ) stack S; InitStack( ,a,b,c,d,e,后序遍历二叉树(非递归算法)用栈实现,后序遍历时使用的栈的结点定义typedef struct
17、BinTreeNode *ptr; /结点指针enum tag L, R ; /该结点退栈标记 StackNode;根结点的tag = L，表示从左子树退出, 访问右子树。tag = R, 表示从右子树退出, 访问根。,ptr tagL,R,void PostOrder ( BinTree T ) stack S; InitStack( /继续循环标记,while ( continue ,练习:交换二叉树各结点的左、右子树 (递归算法),void unknown ( BinTreeNode * T ) BinTreeNode *p = T, *temp;if ( p != NULL ) tem
18、p = p-leftChild; p-leftChild = p-rightChild;p-rightChild = temp;unknown ( p-leftChild );unknown ( p-rightChild ); ,void unknown ( BinTreeNode * T ) BinTreeNode *p = T, *temp;while ( p != NULL ) temp = p-leftChild; p-leftChild = p-rightChild;p-rightChild = temp;unknown ( p-leftChild );p = p-rightChil
19、d; ,不用栈消去递归算法中的第二个递归语句,使用栈消去递归算法中的两个递归语句,void unknown ( BinTreeNode * T ) BinTreeNode *p, *temp; stack S; InitEmpty (,if ( p-rightChild != NULL )push ( ,LeftThread=0, LeftChild为左子女指针 LeftThread=1, LeftChild为前驱线索 RightThread=0, RightChild为右子女指针 RightThread=1, RightChild为后继指针,LeftChild,RightChild,data
20、,LeftThread,RightThread,线索二叉树 (Threaded Binary Tree),结点结构,template class ThreadNode friend class ThreadTree; private:int leftThread, rightThread;ThreadNode *leftChild, *rightChild;Type data; public:ThreadNode ( const Type item ) : data (item), leftChild (NULL), rightChild (NULL), leftThread (0),righ
21、tThread (0) ;,中序线索二叉树的类定义,template class ThreadTree;,template class ThreadTree private:ThreadNode * root; /根 InThread ( ThreadNode * current,ThreadNode * pre ); /建树 public:ThreadTree ( ) : root (NULL) ; /构造函数ThreadNode *First ( ThreadNode * current );ThreadNode * Last ( ThreadNode * current );,Threa
22、dNode * Next ( ThreadNode * current );ThreadNode * Prior ( ThreadNode * current ); ,通过中序遍历建立中序线索化二叉树,template void ThreadTree : InThread ( ThreadNode * current, ThreadNode * /建立当前结点的前驱线索,if ( pre != NULL /递归, 右子树线索化 ,树的存储结构 双亲表示：以一组连续空间存储树的结点，同时在结点中附设一个指针，存放双亲结点在链表中的位置。,树与森林,用双亲表示实现的树定义,#define MaxS
23、ize /最大结点个数typedef char TreeData; /结点数据typedef struct /树结点定义TreeData data; int parent; TreeNode;typedef TreeNode TreeMaxSize; /树,A,B,C,D,E,F,G,左子女-右兄弟表示法,第一种解决方案 等数量的链域,data,child1,child2,child3,childd,A,B,C,D,E,F,G, , , , , ,空链域n(k-1)+1个,结点结构,空链域n+1个,第二种解决方案 树的左子女-右兄弟表示 （二叉链表表示）,typedef char TreeDa
24、ta;typedef struct node TreeData data;struct node *firstChild, *nextSibling; TreeNode;typedef TreeNode * Tree;,用左子女-右兄弟表示实现的树定义,T1 T2 T3,T1 T2 T3,A,B,C,E,D,H,I,K,J,F,G,3 棵树的森林,各棵树的二叉树表示,森林的二叉树表示,森林与二叉树的转换,树的二叉树表示:,树的遍历,深度优先遍历先根次序遍历后根次序遍历,A,B,C,E,D,G,F,深度优先遍历,当树非空时访问根结点依次先根遍历根的各棵子树 树先根遍历 ABEFCDG 对应二叉树
25、前序遍历 ABEFCDG 树的先根遍历结果与其对应二叉树表示的前序遍历结果相同 树的先根遍历可以借助对应二叉树的前序遍历算法实现,A,B,C,E,D,G,F,树的先根次序遍历,树的后根次序遍历:,当树非空时 依次后根遍历根的各棵子树 访问根结点 树后根遍历 EFBCGDA 对应二叉树中序遍历 EFBCGDA 树的后根遍历结果与其对应二叉树表示的中序遍历结果相同 树的后根遍历可以借助对应二叉树的中序遍历算法实现,A,B,C,E,D,G,F,二叉树的计数,由二叉树的前序序列和中序序列可唯一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 ABHFDECKG 和中序序列 HBDFAEKCG , 构造二叉树过程如下：
26、,如果前序序列固定不变，给出不同的中序序列，可得到不同的二叉树。,6,1,2,3,4,5,7,8,9,6,1,2,3,7,5,8,4,9,固定前序排列,选择所有可能的中序排列,可以构造多少种不同的二叉树？,例如, 有 3 个数据 1, 2, 3 ，可得 5 种不同的二叉树。它们的前序排列均为 123，中序序列可能是 321 ， 231， 213， 132，123.,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,具有n个结点不同形态的树的数目和具有n-1个结点互不相似的二叉树的数目相同。,有0个, 1个, 2个, 3个结点的不同二叉树如下,b0 =1,b1 =1,b2 =2,b3
27、=5,b4 =14,计算具有 n 个结点的不同二叉树的棵数,最终结果：,bi,bn-i-1,1,霍夫曼树 (Huffman Tree),路径长度 (Path Length)两个结点之间的路径长度 PL 是连接两结点的路径上的分支数。树的外部路径长度是各叶结点(外结点)到根结点的路径长度之和 EPL。树的内部路径长度是各非叶结点(内结点)到根结点的路径长度之和 IPL。树的路径长度 PL = EPL + IPL,1,2,3,4,5,6,7,8,2,3,4,5,6,7,8,树的外部路径长度 EPL = 3*1+2*3 = 9,树的外部路径长度 EPL = 1*1+2*1+3*1+4*1 = 10,
28、1,带权路径长度 (Weighted Path Length, WPL)二叉树的带权 (外部) 路径长度是树的各叶结点所带的权值 wi 与该结点到根的路径长度 li 的乘积的和。,WPL = 2*2+ WPL = 2*1+ WPL = 7*1+4*2+5*2+ 4*2+5*3+ 5*2+2*3+7*2 = 36 7*3 = 46 4*3 = 35,带权(外部)路径 长度达到最小,霍夫曼树,带权路径长度达到最小的二叉树即为霍夫曼树。 在霍夫曼树中，权值大的结点离根最近。,(1) 由给定的 n 个权值 w0, w1, w2, , wn-1，构造具有 n 棵扩充二叉树的森林 F = T0, T1,
29、T2, , Tn-1 ，其中每棵扩充二叉树 Ti 只有一 个带权值 wi 的根结点, 其左、右子树均为空。,霍夫曼算法,(2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。 在 F 中删去这两棵二叉树。 把新的二叉树加入 F。,F : 7 5 2 4,F : 7 5 6,F : 7 11,7,5,2,4,初始,合并2 4,F : 18,11,7,5,2,4,6,合并5 6,5,合并7 11,2,7,4,6,11,18,举例霍夫曼树的构造过程,5,2
30、,7,4,Weight parent leftChild rightChild,7 -1 -1 -1 5 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 4 -1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1,0 1 2 3 4 5 6,上例存储结构,初 态,5,2,7,4,6,Weight parent leftChild rightChild,7 -1 -1 -15 -1 -1 -12 -1 -1 -14 -1 -1 -16 -1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1,0 1 2 3 4 5 6,p1,p2,4,4,2,3,i,过 程,5,2,7,4,6,11,Weight p
31、arent leftChild rightChild,7 -1 -1 -15 -1 -1 -12 4 -1 -14 4 -1 -16 -1 2 3 11 -1 -1 -1-1 -1 -1,0 1 2 3 4 5 6,p1,p2,5,5,1,4,i,5,2,7,4,6,11,Weight parent leftChild rightChild,7 -1 -1 -15 5 -1 -12 4 -1 -14 4 -1 -16 5 2 3 11 -1 1 4 18 -1 -1 -1,0 1 2 3 4 5 6,p1,p2,6,6,0,5,i,18,终 态,const int n = 20;/叶结点数 c
32、onst int m = 2*n -1;/结点数typedef struct float weight;int parent, leftChild, rightChild; HTNode;typedef HTNode HuffmanTreem;,霍夫曼树的定义,建立霍夫曼树的算法void CreateHuffmanTree ( HuffmanTree T, float fr ) for ( int i = 0; i n; i+ )Ti.weight = fri;for ( i = 0; i m; i+ ) Ti.parent = -1;Ti.leftChild = -1;Ti.rightChi
33、ld = -1; for ( i = n; i m; i+ ) ,int min1 = min2 = MaxNum;int pos1, pos2;for ( int j = 0; j i; j+ )if ( Tj.parent = -1 )if ( Tj.weight min1 ) pos2 = pos1; min2 = min1;pos1 = j; min1 = Tj.weight;else if ( Tj.weight min2 ) pos2 = j; min2 = Tj.weight; Ti.leftChild = pos1;Ti.rightChild = pos2;,Ti.weight
34、 = Tpos1.weight + Tpos2.weight;Tpos1.parent = Tpos2.parent = i; ,最佳判定树,考试成绩分布表,判定树,不及格,及格,中,良,优,60?,70?,80?,90?,0.10,0.15,0.25,0.35,0.15,WPL = 0.10*1+0.15*2+0.25*3+0.35*4+0.15*4= 3.15,最佳判定树,不及格,及格,中,良,优,60?,70?,80?,90?,0.10,0.15,0.25,0.35,0.15,WPL = 0.10*3+0.15*3+0.25*2+0.35*2+0.15*2= 0.3+0.45+0.5+0
35、.7+0.3 = 2.25,霍夫曼编码,主要用途是实现数据压缩。,设给出一段报文： CAST CAST SAT AT A TASA字符集合是 C, A, S, T ，各个字符出现的频度(次数)是 W 2, 7, 4, 5 。若给每个字符以等长编码A : 00 T : 10 C : 01 S : 11 则总编码长度为 ( 2+7+4+5 ) * 2 = 36.,若按各个字符出现的概率不同而给予不等长编码，可望减少总编码长度。各字符出现概率为 2/18, 7/18, 4/18, 5/18 ,化整为 2, 7, 4, 5 。以它们为各叶结点上的权值, 建立霍夫曼树。左分支赋 0，右分支赋 1，得霍夫曼编码(变长编码)。,7,2,5,4,0,1,0,0,1,1,A,C,T,S,A : 0 T : 10 C : 110 S : 111 它的总编码长度：7*1+5*2+( 2+4 )*3 = 35。比等长编码的情形要短。总编码长度正好等于霍夫 曼树的带权路径长度WPL。霍夫曼编码是一种无前缀 编码。解码时不会混淆。,霍夫曼编码树,
