1、第七章 图,第一节 图的基本概念,图的定义：Graph=(V,E)， V为顶点集; E 为边集。若 E 为有向边，称为有向图；若 E 为无向边，称为无向图。边一般由顶点对表示：;若 为有向边,则称 vi 为尾, vj 为头.有向边也可以表示为:vi vj,2,例如:,V=1,2,3,4E=,无向图中, = ,无向完全图:如果在无向图G中,任何两顶点都有一条边相连,则称此图为无向完全图.n 个结点的无向完全图,边的数目为:n(n-1)/2,3,有向完全图:如果在有向图G中,任何两顶点都有两条方向相反的边相连, 则称此图为有向完全图.n 个结点的有向完全图,边的数目为:n(n-1) 子图:设有两个
2、子图,G=(V,E),G=(V,E);若V V,且 E E,则称G为G的子图。 网 ：若 G 中的每一条边都有权值，称该图为网。权值可以是距离，时间，价格等。,4,路径:图中从顶点V到顶点V的路径是顶点序列:(V,Vi1,Vi2,.Vik,V) 且满足, E路径上所含边的数目称为路径长度. 回路:第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环. 简单路径:顶点 序列中,顶点不重复出现的路径称为简单路径. 简单回路:除第一个和最后一个顶点外,其它顶点不重复出现的回路称为简单回路.,5,连通图:无向图中,任意两点 Vi,Vj 都有路径相连,称该无向图为连通图. 连通分量:无向图中极大连通子图. 强
3、连通图:有向图中,若每一对顶点,从 Vi 到 Vj 和 Vj 到 Vi都有路径相连,则称该图为强连通图.,例如:,非强连通 强连通,6,第二节 图的基本操作,Create_G(&G,V,E) 创建图 Destroy_G(&G) 销毁图 Locate_V(G,V) 返回顶点 V 在图中的位置 Get_V(G,i) 返回第i 个顶点信息 First_Adj(G,V) 返回V的第一个邻接点 Next_Adj(G,V,W) 返回V的邻接点W的下一个邻接点 Insert_V (&G,V) 在图中插入一个顶点V Delete_V (&G,V) 在图中删除一个顶点V Insert_Edge (&G,v,w)
4、 在图中插入一条边 Delete_Edge (&G,v,w) 在图中删除一条边 Traverse_G (G) 遍历图中所有顶点,7,第三节 图的存储结构,矩阵表示法 邻接表 邻接多重表 十字链表,表示方法,一 矩阵表示法设 G=(V,E)V= V1,V2,.Vn ,Ai,j=,1 若 E , ij 0 否则,A 为一 nn 矩阵,称为 G 的邻接矩阵,8,#define Max_V_num 20 /最大顶点数 typedef enum DG,DN,UDG,UDN Graphkind; /有向无向图网 typedef struct / 图结构 Vextype vexsMax_V_num; / 顶
5、点数组Arctype arcsMax_V_num Max_V_num; /边矩阵 /0,1或权值wijint vexnum,arcnum; /顶点数,边数Graphkind kind; /图种类 graph,若 G=(V,E) 为网,则邻接矩阵可以表示为:,9,例如:,10,Status createUDN(Graph ,11,二 邻接表表示法每个顶点用一个链表表示,头 结点:,a b c d,data firstarc,边 结点:,vjpos nexttarc,0123,vexs,12,#define Max_V_num 20 /最大顶点数 typedef struct Arcnode /边
6、结点类型 int vjpos; /vj的位置struct Arcnode *nextarc; Arcnode; typedef struct Vnode /顶点结点类型 vextype data;Arcnode *firsttarc; Vnode,AdjlistMax_V_num ; typedef struct Adjlist vexs;int vexnum,arcnum;Graphkind kind; graph,13,三 十字链表用来表示有向图. 有向图中,每一条边用一个结点表示,每个顶点也用一个结点表示.,firstin : 指向以该顶点为头的第一个边结点 firstout : 指向以
7、该顶点为尾的第一个边结点 hlink : 指向头相同的下一条边 tlink : 指向尾相同的下一条边 tvpos,hvpos : 有向边两个顶点的位置,14,#define Max_V_num 20 /最大顶点数 typedef struct Arcnode /边结点类型 int tvpos,hvpos;struct Arcnode *hlink,tlink; Arcnode; typedef struct Vnode /顶点结点类型 vextype data;Arcnode *firstin,*firstout; Vnode; typedef struct Vnode vexs Max_V_
8、num ;int vexnum,arcnum;Graphkind kind; graph,15,例如:,0,1,2,3,16,四 邻接多重表用来表示无向图, 每一条边用一个结点表示,每个顶点也用一个结点表示.类似十字链表.,data firstedge,顶点结点:,边结点:,mark vipos vilink vjpos vjlink,firstedge : 记录该顶点的第一个边结点 mark : 标记是否被搜索过 vipos,vjpos : 表示该边的两个顶点位置 vilink : 指向vi的下一条边 vjlink : 指向vj的下一条边,17,#define Max_V_num 20 /最
9、大顶点数 typedef struct Arcnode /边结点类型 int mark;int vipos,vjpos;struct Arcnode *vilink,vjlink; Arcnode; typedef struct Vnode /顶点结点类型 vextype data;Arcnode *firstedge; Vnode; typedef struct Vnode vexs Max_V_num ;int vexnum,arcnum; graph,18,例如:,b,a,c,d,0,1,2,3,19,第四节 图的遍历,遍历方法,深度优先遍历广度优先遍历,一 深度优先遍历( dfs)算法
10、思想:1) 访问给定结点;2) 重复对第一个未被访问的邻接点进行深度优先遍历,直到不存在未被访问的邻接点结束.可以用一个数组标识顶点是否被访问过.示例解释:,20,void DFStraverse(Graph G) for (v=0;vG.vexnum;+v) visitedv=FALSE;for (v=0;vG.vexnum;+v) /保证非连通图的遍历if (!visitedv) DFS(G,v); void DFS(Graph G,int v) /连通图的遍历 visit(v);visitedv=TRUE;for (w= First_Adj(G,V);w;w=Next_Adj(G,v,w
11、)if (!visitedw) DFS(G,w); ,21,二 广度优先遍历( bfs)算法思想:1) 访问给定结点v;2) 由近至远,依次访问和 v 有路径相连且长度为 1,2,3的顶点.可以用一个数组标识顶点是否被访问过.用一个队列存放刚访问过的结点.,示例解释:,22,void BFStraverse(Graph G) for (v=0;vG.vexnum;+v) visitedv=FALSE;iniqueue(Q);for (v=0;vG.vexnum;+v) /保证非连通图的遍历if (!visitedv) visit(v);visitedv=TRUE;Enqueue(Q,v);wh
12、ile(!Queueempty(Q) Dequeue(Q,u);for (w= First_Adj(G,u);w;w=Next_Adj(G,u,w)if (!visitedw) visit(w);visitedw=TRUE;Enqueue(Q,w); ,23,c,a,b,e,h,d,f,g,例如:,深度优先遍历: abdhecfg 广度优先遍历: abcdefgh,24,第五节 生成树 和最小生成树,一 生成树一个连通图的生成树是由 n-1 条边且包含 G 的所有顶点的树组成.可按深度或广度优先遍历来创建生成树.,例如:,深度 生成树1,广度 生成树2,25,c,a,b,e,h,d,f,g,假
13、设采用孩子兄弟链表来表示生成树,则 P23 页 图的生成树 以及 孩子兄弟链表表示分别如下:,c,a,b,e,h,d,f,g,x,x,m,n,m,n,26,void DFS_S_Tree(Graph G,CSTree /从 v 出发,建立以 q 为根的生成树 ,27,void DFS_Tree(Graph G,int v,CSTree /从 w 出发,建立以 q 为根的生成树 ,28,29,prim 算法:1 设U=u0,T= ;2 重复执行如下操作:在所有 uU,v V-U的边 E中找一 条代价最 小的边 ,并入 T中, U=U+v直到 U=V 或 T 中有n-1条边.,30,kruscal
14、 算法:1 设 G=(V,E);T=(v, );2 从 E中选一条最小权值的边,并从 E 中消除此边3 若 属于T中不同的连通分量,则将加入到T 中,重复 2 ,直到T 中有n-1条边.,31,第六节 关键路径,定义:用顶点表示事件,而边表示完成事件所需时间,称这种有 向图为 AOE网.,材料,成品,顶点代表部件,边表示生产活动,整个图称为工程. 问题: 1完成工程至少需要多少时间?2那些活动是影响进程的关键?,32,定义: 从起点到终点间的最长路径叫关键路径.关键路径上的 时间之和即为工程所需的最少时间. 求关键路径的算法讨论假设: Ve(i) 表示每个顶点的最早开始时间VL(i) 表示每个
15、顶点的最晚开始时间t(i,j) 表示活动所需的时间e(i,j) 表示活动最早开始时间L(i,j) 表示活动最晚开始时间存在如下的关系:e(i,j)= Ve(i) L(i,j)= VL(j)- t(i,j) Ve(n)= VL(n),33,求Ve(i) 实质上是求 V1到Vi的最大路径. 求Ve(i)的算法:1 令Ve(1) =0,i=22 Ve(i)=Max Ve(k)+t(k,i) | k为i 的直接前导3 +i,重复 2直到 in求 VL(i)的算法:1 令VL(n) = Ve(n)0,i=n-12 VL(i)=Min VL(j)-t(i,j) | j为i 的直接后继3 - -i,重复 2
16、直到 i=0求出Ve(i) ,VL(i) 后,就可以简单计算出e(i,j) , L(i,j) .凡是e(i,j) = L(i,j) 的边,即为关键路径上的边.,34,计算示例:,s1,s2,s3,s4,s6,s8,s9,s7,s5,5,4,5,1,1,2,9,7,4,2,4,0,0,5,5,6,15,17,13,9,5,7,6,15,17,13,7,5,4,关键路径为: S1S2S5S7S9 最短工期为:S1S2S5S8S9 17个时间单位,35,第六节 最短路径,设V0,V1,V2,Vn -1为n个顶点序列 求V0到各顶点的最短路径.例如:,V=V0,V1,V2,Vn -1,36,Dijks
17、tra 算法:令 disti 表示已经求出的 v0 到 vi 的最短路径,S 表示已求出最短路径的顶点.1)令 distv0 =0; disti= | i v0 S=v0;2)求下一条最短路径:distj=Mindisti+costi,k | viS,vk V-S3)令 S=S+vj;重复2) 直到 S=V.Dijkstra 算法的中心思想是采用路径长度递增产生最短路径.,k,37,V0,v4,v1,v2,v3,10,30,10,20,0,10,50,30,60,Dijkstra算法实现: 为便于理解,引入 Pascal 中的集合类型: Pathi 表示顶点 i 到原点的最短路径上的顶点集合. S 表示已经求出最短路径的顶点.,38,Void Shortestpath ( Graph G, int v0, real /集合加 / 求出v0 经 j 到各 i (i 不属于 S) 点的距离,39,min=Maxvalue;j=v0;for (i=0;iG.vexnum;+i)if (i not in S)/集合加 /for k ,40,
