1、第6章 树和二叉树,6.1 树的定义和基本术语 6.2二叉树 6.3遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.5 哈夫曼树和应用,6.2.1二叉树的定义 定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 特点 每个结点至多有二棵子树 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 五种基本形态,6.2 二叉树,基本术语 结点(node)表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 结点的度(degree)结点拥有的其子树分支个数 叶子(leaf)度为0的结点 树的度一棵树中最大的结点度数 分支结点度0的结点
2、左孩子、右孩子(child)该结点子树称为该结点的根的孩子 双亲(parents)孩子结点的上层结点,结点A的度：2 结点B的度：2 结点M的度：0,叶子：K，L，F，M，J,结点A的孩子：B，D 结点B的孩子：E，F,结点J的双亲：D 结点L的双亲：E,树的度：2,基本术语 兄弟(sibling)同一双亲的孩子 祖先、子孙如果有一条路径从结点M到结点N，那么M就称为N的祖先，N成为M的子孙 结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层 深度(depth)树中结点的最大层次,结点B，D为兄弟 结点K，L为兄弟,结点A的层次：1 结点M的层次：4,树的深度：4,结点F，H为
3、堂兄弟 结点A是结点F，H的祖先,6.2.2 二叉树的主要性质,性质1：, 第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即 故命题得证,证明：用归纳法证明之,假设对所有j(1ji)命题成立， 即第j层上至多有 个结点,那么，第i-1层至多有 个结点,又二叉树每个结点的度至多为2,性质2：深度为k的二叉树至多有 个结点(k1),证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是,性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1,证明：n1为二叉树T中度为1的结点数因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2所以：其结点总数n=n0+n1+n2又二叉树中，除根结点外
4、，其余结点都只有一个分支进入设B为分支总数，则n=B+1又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1,几种特殊形式的二叉树,满二叉树 定义：,特点：每一层上的结点数都是最大结点数 完全二叉树 定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为 特点 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1,证明：根据完全二叉树的定义和性质2可知，当一棵完全二叉树的深度为k、结点个数为n时，有,
5、2 k-1-1n2k-1,2 k-1 n 2k,K-1 log2n k,性质4：,性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：(1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2(2) 如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i(3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1,完全二叉树的存储实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素 特点：结点间关系蕴含在其存储位置中,6.2.3 二叉树的存储结构,1.顺序存储结构,一般二叉树的顺序存储：将一般二叉树添加虚结点转为
6、完全二叉树，然后进行存储,特点： 结点间关系蕴含在其存储位置中 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树,存储结构描述： #define MAXNODE typedef structdatatype dataMAXNODE;int last; SqBiTree SqBiTree bt;,2.链式存储结构 二叉链表,typedef struct BiTNode datatype data;struct BiTNode *lchild, *rchild; BinTNode,*BinTree;,在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域,带头结点的二叉链表,三叉链表,头指针bt,6.2.4 二叉树的基本
7、运算及实现,建立一棵带头结点的空二叉树 Initiate(bt) 创建二叉树 Create(x,lbt,rbt) 插入左孩子 InsertL(bt,x,parent) 插入右孩子 InsertR(bt,x,parent) 删除指定结点的左子树DeleteL(bt,parent) 删除指定结点的右子树 DeleteR(bt,parent) 查找数据元素Search(bt,x) 遍历树Traverse(bt),typedef struct BiTNode datatype data;struct BiTNode *lchild, *rchild; BinTNode; Typedef BinTNod
8、e *BinTree; 建立一棵带头结点的空二叉树 BiTree Initiate() BinTree bt;bt=(BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode);bt-lchild=NULL;bt-rchild=NULL;return bt; ,typedef struct BiTNode datatype data;struct BiTNode *lchild, *rchild; BinTNode; Typedef BinTNode *BinTree;/创建二叉树 Create(x,lbt,rbt) BinTree Creat(datatype x,BinTree
9、lbt,BinTree rbt) BinTree p;if(p=(BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode)=NULL) return NULL;p-data=x;p-lchild=lbt;p-rchild=rbt;return p; ,typedef struct BiTNode datatype data;struct BiTNode *lchild, *rchild; BinTNode; Typedef BinTNode *BinTree; /插入左孩子 InsertL(bt,x,parent) BinTree InsertL(BinTree bt,dataty
10、pe x,BinTree parent) /插入成功返回根结点指针，失败返回空指针BinTree p;if(parent=NULL) return NULL;if(p=(BinTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)=NULL) return NULL;p-data=x;p-lchild=NULL;p-rchild=NULL;if(parent-lchild=NULL)parent-lchild=p;else p-lchild=parent-lchild;parent-lchild=p;return bt; ,typedef struct BiTNode datatype
11、data;struct BiTNode *lchild, *rchild; BinTNode,*BinTree; Typedef BinTNode *BinTree; /删除指定结点的左子树 BinTree DelteL(BinTree bt,BinTree parent) /删除成功返回根结点指针，失败返回空指针BinTree p;if(parent=NULL|parent-lchild=NULL) return NULL;p=parent-lchild;parent-lchild=NULL;free(p);return bt; ,6.3遍历二叉树和线索二叉树,6.3.1 二叉树的遍历及递归
12、实现 6.3.2 二叉树的遍历及非递归实现 6.3.3 二叉树遍历的应用 6.3.4 线索二叉树,6.3.1遍历二叉树,二叉树的遍历定义：按某种顺序访问二叉树中的每个结点，使每个结点被访问一次且仅被访问一次。,二叉树的遍历方法 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树 中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树 后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点 按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点,D L R,先序遍历序列：A B D C,先序遍历:先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树,递归遍历二叉树的算法先序： void PreOrder(BiTr
13、ee bt) if(bt=NULL) return;printf(“%3d“,bt-data);PreOrder(bt-lchild);PreOrder(bt-rchild); ,L D R,中序遍历序列：B D A C,中序遍历:先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树,递归遍历二叉树的算法 中序： void InOrder(BiTree bt) if(bt=NULL) return;InOrder(bt-lchild); printf(“%3d“,bt-data);PreOrder(bt-rchild); ,L R D,后序遍历序列： D B C A,后序遍历:先后序遍历左、右
14、子树，然后访问根结点,后序void PostOrder(BiTree bt) if(bt=NULL) return;PostOrder(bt-lchild); PreOrder(bt-rchild);printf(“%3d“,bt-data); ,先序遍历：,中序遍历：,后序遍历：,层次遍历：,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,6.3.2二叉树遍历的非递归算法,（1）先序遍历的非递归实现,可利用堆栈将递归算法改写成非递归的形式 BinTree stack
15、MAXNODE;,非递归先序遍历二叉树的主要操作： p=bt; while(!(p=NULL ,访问：ABC,访问：ABCD,while(p)visit(p-data);push(p,stack); p=p-lchild; ,p=pop(stack); p=p-rchild;,访问：ABCDE,访问：ABCDEG,访问：ABCDEGF,栈空结束,6.3.2二叉树遍历的非递归算法,（2）中序遍历的非递归实现,可利用堆栈将递归算法改写成非递归的形式 BinTree stackMAXNODE;,p=bt; while(!(p=NULL ,（2）中序遍历的非递归实现,访问：CB,while(p) pu
16、sh(p,stack); p=p-lchild; ,p=pop(stack); visit(p-data); p=p-rchild;,（3）后序遍历的非递归实现,结点要入两次栈，出两次栈，在第二次出栈时访问。,p=bt; While(!(p=NULL ,while(p!=NULL)push(p,stack); p=p-lchild; ,if(stacktop）0p=stacktop-rchild;stacktop=-stacktop;,C第一次出栈,C第二次进栈,C第二次出栈 访问C,B第一次出栈 第二次进栈,访问C G,访问C G E,访问C G E F D B,访问C G E F D B
17、A,6.3.3 二叉树遍历的应用,1 先序遍历查找数据元素,BiTree Search(BinTree bt,datatype x) if（空树）return NULL；if(bt-data=x)return bt;if(bt-lchild) p=Search(bt-lchild,x) ；if（p）return p；if(bt-rchild) p=Search(bt-rchild,x) ；if（p）return p； ,2 统计二叉树中叶子结点个数算法,Int Sum=0 int countleaf(BinTree bt) if（bt=NULL）return 0；if(bt-lchild=NU
18、LLreturn(countleaf(bt-lchild)+countleaf(bt-right)；,3 按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为：ABC00DE0G00F000,#typedef char datatype; BinTree createBinTree(BinTree t) scanf(“%d”,4 由中序和先序遍历序列建立二叉树的二叉链表,已知先序序列为： ABCDEGF中序序列为： CBEGDFA,设先序序列的序号范围为ij（初始情况为1n）， 中序序列的序号范围为kh （初始情况为1n） ；,算法过程：创建根结点；找到先序序列的i对应的中序序列中的位置m；划定
19、左、右子树的范围；创建左子树；创建右子树；,练习：前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I； 中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F，,定义： 前驱与后继：在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为 线索：指向前驱或后继结点的指针称为 线索二叉树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫 线索化：把二叉树改造成线索二叉树的过程叫 实现 在有n个结点的二叉链表中必定有n+1个空链域,6.3.4线索二叉树,1 线索二叉树的定义及结构,typedef struct BiThrNode datatype data;unsigned ltag, rtag;struct BiThr
20、Node *lchild, *rchild;BiThrNodeType,*BiThrTree;,在线索二叉树的结点中增加两个标志域 ltag :若 ltag =0, lchild 域指向左孩子；若 ltag=1, lchild域指向其前驱 rtag :若 rtag =0, rchild 域指向右孩子；若 rtag=1, rchile域指向其后继 结点定义：,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,先序线索二叉树,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,中序线索二叉树,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,后序线索二叉树,T,中序序列：BCAED,头结点： ltag=0, lchild指向根结
21、点 rtag=1, rchild指向遍历序列中最后一个结点遍历序列中第一个结点的lchild域和最后 一个结点的rchild域都指向头结点,带头结点的中序线索二叉树,2 线索二叉树的构建及遍历 1）建立一棵中序线索化二叉树,pre=*head; InThreading(T, ,中序序列：BCAED 带头结点的中序线索二叉树,int InorderThr(BiThree *head) BiThrNodeType *pre;建立不带头结点的二叉链表T，并赋值ltag、rtag；,创建头结点*head并初始化;,void InTreading(BiThrTree p, BiThrNodeType *
22、pre) if(p=NULL)return;InTreading(p-lchild,pre);if(p-ltag=1) p-lchild=*pre;if(*pre-rtag=1) *pre-rchild=p;*pre=p;InTreading(p-rchild,pre); ,3）在中序线索二叉树中找结点后继的方法： （1）若rtag=1, 则rchild域直接指向其后继 （2）若rtag=0, 则结点的后继应是其右子树的左链尾（ltag=1)的结点,2）在中序线索二叉树中找结点前驱的方法： （1）若ltag=1, 则lchild域直接指向其前驱 （2）若ltag=0, 则结点的前驱应是其左子树
23、的右链尾（rtag=1)的结点,4）在中序线索二叉树上查找值为x的结点（带头结点）,BiThrTree Search(BiThrTree head,datatype x)BiThrNodeType *p=head-lchild;if(p=head)return NULL;找到中序遍历的第一个结点；从该结点开始顺着后继进行查找、比较；if(找到)return p;else return NULL;,5）在中序线索二叉树上查找任意结点在先序下的后继,情况一：该结点p为分支结点,情况二：该结点p为叶子,后继为由右线索向上直到某个结点有右孩子或头结点为止,if（有左孩子）,p-lchild为后继;,e
24、lse p-rchild为后继/有右孩子无左孩子,先序的前驱？,6）在中序线索二叉树上查找任意结点在后序下的前驱,情况一：该结点p为分支结点,情况二：该结点p为叶子,后继为由左线索向上直到某个结点有左孩子或头结点为止,p-lchild为前驱;,if（有右孩子）,p-rchild为前驱;,else /有左孩子无右孩子,6.5 哈夫曼树及应用,5.5.1 问题的引入,判定树一,判定树二,问题：哪一种的比较算法较好？,设有学生100，000个,平均比较次数WPL2=（各等级的比例*比较次数）=0.10*2+0.30*2+0.40*2+0.15*3+0.05*3 =2.2 总比较次数S2 =220,0
25、00(次),怎样找出平均比较次数最少的算法？,平均比较次数WPL2=（各等级的比例*比较次数）= 0.10*4+0.30*4+0.40*3+0.15*2+0.05*1=3.15 总比较次数S1 =315000(次),哈夫曼树（最优树）是指对于一组带有确定权值的叶子结点、构造的具有最小的带权路径长度的二叉树。 路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的 路径长度：路径上的分支数 二叉树的路径长度：从树根到所有叶子结点的路径长度之和,6.5.2 哈夫曼树的基本概念,平均比较次数WPL= （各等级的比例*比较次数）= （各叶子结点的权值*根到叶子结点的路径长度）,二叉树的带权路径长
26、度：二叉树中各个叶子结点的路径长度与相应权值的乘积之和,哈夫曼树（Huffman树）设有n个权值w1,w2,wn，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树叫，也称最优二叉树。,例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树,WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46,WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36,WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35,构造Huffman树思想：权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点。,构造Huffman树步骤 根据给定的n个权值w1,w2,wn，构造n棵只有根结点的二叉树
27、，令权值为wj 在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权值为其左右子树根结点权值之和 在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入森林中 重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即哈夫曼树,6.5.3 构造Huffman树的方法Huffman算法,例2 w=5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11,Huffman算法实现,采用顺序存储结构一维结构数组 一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点，为什么？ 结点类型定义,#define n 10 typedef struct int weight;int parent,lchil
28、d,rchild; HNodeType; HNodeType HuffNode2*n-1,算法：初始化数组HuffNode；输入n个叶子结点权值放在数组0n-1；for（i=0；in-1;i+) 找根结点权值最小的两个结点合并;合并产生的新结点放在n+i;,x1=2,x2=3 m1=2,m2=4,x1=1,x2=4 m1=5,m2=6,x1=0,x2=5 m1=7,m2=11,课堂完成：根据哈夫曼算法画出 w=5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11对应的存储表示以及哈夫曼树,编码：数据通信中将传送的文字转换为的二进制字符的二进制串,例 要传输的电文为：CAST;CAT;AST;A
29、,6.5.4 哈夫曼树在编码问题中的应用,要求:任何一个字符的编码都不是另一个编码的前缀。使电文总长最短；,等长编码,不等长编码,电文总长：3*14=42,2*2+2*4+2*2 +2*3+3*3=31,3*2+2*4+3*2 +2*3+2*3=32,Huffman编码：根据字符出现频率构造Huffman树，然后将树中结点引向其左孩子的分支标“0”，引向其右孩子的分支标“1”；每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的0、1序列,字符集 D=C,A,S,T, ; 字符出现频率 w=2,4,2,3,3,T : 00 ; : 01 A : 10 C : 110 S : 111,特征： 哈夫曼编
30、码可以使总长度最短； 无二义性,例 要传输的电文为：CAST;CAT;AST;A,1.数据结构,哈夫曼编码算法,#define MAXLEAF 15 #define MAXBIT 4 typedef struct /哈夫曼编码类型 int bitMAXBIT;int start; HCodeType; HCodeType HuffCodeMAXLEAF;,typedef struct /哈夫曼树类型 int weight;int parent,lchild,rchild; HNodeType; HNodeType HuffNode2*MAXLEAF-1,字符集 D=C,A,S,T, ; 字符出
31、现频率 w=2,4,2,3,3,3）在哈夫曼树上求叶子结点的编码；for(i=0;in;i+)HuffCodei.start=n-1；c=i;p=c的双亲；while（双亲p 存在）if(c是p的左孩子) 代码为0；else 代码为1；HuffCodei.start-；c=p;p=c的双亲；,字符集 D=C,A,S,T, ; 字符出现频率 w=2,4,2,3,3,2.算法,1）输入叶子数n，权值 2）构造哈夫曼树HuffNode；,译码：从Huffman树根开始，从待译码电文中逐位取码。若编码是“0”，则向左走；若编码是“1”，则向右走，一旦到达叶子结点，则译出一个字符；再重新从根出发，直到电
32、文结束,例 电文是CAS;CAT;SAT;AT其编码 “11010111011101000011111000011000”电文为“1101000”译文只能是“CAT”,6.6 树,定义：树(tree)是n(n=0)个结点的有限集，在一棵非空树T有： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) 特点： 树中至少有一个结点根 树中各子树是互不相交的集合,6.6.1 树的概念,根,子树,叶子：K，L，F，G，M，I，J,结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟,结点F
33、，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先,其它术语:有序树和无序树、森林,3,2,0,D,E,4,1,4,3,B，C，D,E，F,术语回顾,6.6.2 树的基本操作,初始化一个空树 Initiate(t) 求结点x所在树的根结点Root(x) 求树t中结点x的双亲结点Parent(t,x) 求树t中结点x的第i个孩子Child(t,x,i,s) 求树t中结点x的第一个右边兄弟结点RightSibling(t,x) 把以s为根结点的树插入到树t中作为结点x的第i棵子树Insert(t,x,i,s) 在树t中删除结点x的第i棵子树Delete(t,x,i) 树的遍历操作Tranverse(t),6.
34、4 树和森林,6.4.1 树的存储结构 6.4.2 树、森林和二叉树之间的转换 6.4.3 树和森林的遍历,6.4.1 树的存储结构,1.双亲链表存储法 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域： 数据域：存放结点本身信息 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置,#define MAXNODE 1000 typedef struct datatype data;int parent; NodeType; NodeType tMAXNODE;,0,1,1,2,4,4,4,0,-1表示无双亲,如何找孩子结点,2.指向孩子的链表存储法,多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根 结
35、点同构：结点的指针个数相等，为树的度D 结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d,孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表,孩子结点：typedef struct ChildNode int child; /该结点在表头数组中下标struct ChildNode *nextchild; /指向下一孩子结点; 表头结点：typedef struct datatype data; /数据域struct ChildNode *firstchild; /指向第一个孩子结点NodeType;NodeType tMAXNODE;,如何找双亲结点,3. 双亲孩子
36、链表存储法,4.孩子兄弟链表存储法（二叉树表示法）,实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点,typedef struct TreeNode datatype data;struct TreeNode *lchild, *nextsibling; NodeType,*CSTree;,typedef struct TreeNode datatype data;struct TreeNode *lchild, *nextsibling; NodeType,*CSTree;,特点 操作容易 破坏了树的层次,6.4.2 树和森林与二叉树转换,将
37、树转换成二叉树 加线：在兄弟之间加一连线 抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系 旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45,树转换成的二叉树其右子树一定为空,将二叉树转换成树 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 调整：将结点按层次排列，形成树结构,森林转换成二叉树 将各棵树分别转换成二叉树 将每棵树的根结点用线相连 以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构,二叉树转换成森林 抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，
38、及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树 还原：将孤立的二叉树还原成树,6.4.3 树和森林的遍历,1 树的遍历,遍历按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列,常用方法 先根（序）遍历 后根（序）遍历 按层次遍历,先序遍历：,A,B,E,F,I,G,先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树,根 子树B 子树D,D,后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点,后序遍历：,E,I,F,G,B,D,子树B 子树D 根,A,层次遍历：,A,B,D,E,F,G,I,按层次遍
39、历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，第n层的结点,第1层,第2层,第3层,第4层,为什么没有中序遍历？,先序遍历：,后序遍历：,层次遍历：,A,B,E,F,I,G,C,D,H,J,K,L,N,O,M,E,I,F,G,B,C,J,K,N,O,L,M,H,D,A,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,例,树：,对应二叉树：,先序遍历：,A,B,E,F,I,G,C,D,H,J,K,L,N,O,M,中序遍历：,E,I,F,G,B,C,J,K,N,O,L,M,H,D,A,树的先序遍历与对应二叉树的先序遍历结果相同！ 树的后序遍历与对应二叉树的中序遍历结果相同！,2森林的遍
40、历,常用方法 先根（序）遍历 后根（序）遍历,先根（序）遍历：（1）先访问森林中第一棵树的根结点；（2）先根遍历第一棵树的根结点的子树森林；（3）先根遍历去掉第一棵树后的子森林,先序遍历：,B,E,F,I,G,A,C,D,H,J,K,L,N,O,M,后序遍历：,E,I,F,G,B,C,D,A,J,K,N,O,L,后根（序）遍历：（1）后根遍历第一棵树的根结点的子树森林；（2）访问第一棵树的根结点；（3）后根遍历去掉第一棵树后的子森林,M,H,先序遍历：,后序遍历：,F,I,A,B,C,D,H,K,L,N,O,M,I,F,B,C,D,A,K,N,O,L,M,H,例,森林：,对应二叉树：,先序遍历：,F,I,A,B,C,D,H,K,L,N,O,M,中序遍历：,I,F,B,C,D,A,K,N,O,L,M,H,森林的先序遍历与对应二叉树的先序遍历结果相同！ 森林的后序遍历与对应二叉树的中序遍历结果相同！,问题：,已知树（森林）的先序遍历序列和后序遍历序列，是否可以唯一确定该树（森林）？,
