1、其它展开,一、周期为 2L 的周期函数展开成Fourier 级数,前面我们所讨论的都是以,展开成Fourier 级数，但在科技应用中所遇到的 周期函数大都是以 T 为周期，因此我们需要讨论 如何把周期为T = 2 l 的函数展开为Fourier 级数,若f ( t )是以T = 2 l 为周期的函数，在 -l , l )上满足Dirichlet 条件,代入傅氏级数中,定理,在连续点处 级数收敛于f ( x ) 本身,在间断点处 级数收敛于,则有,则有,证明,解,二、非周期函数的展开,前面我们研究了周期为T = 2 l 的函数展开成 Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在 无限区间上
2、，但在实际应用中却需要对非周期函数，或定义在有限区间上的函数展开成Fourier 级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形讨论,1。 周期延拓的情形,设函数 f ( t ) 在 -l , l )上满足Dirichlet 条件 为了将其展开为Fourier 级数，需要将 f ( t ) 在 -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期,为 l 的函数 F (t ) 使得F (t ) 在 -l , l ) 上与 f ( t )恒等，将F (t ) 展开成Fourier 级数,而在 -l , l ) 的连续点处， 有,若 t 0 是 -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级数收敛于,
3、需要注意的是区间的两个端点，,虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续，右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在,就不一定连续，由收敛定理 ，,级数收敛于,因此若 f ( t ) 在 -l , l ) 上 左端点的右极限等于 右端点的左极限，即,展开式在,此时Fourier 级数的收敛域包括区间的端点，否则 Fourier 级数的收敛域不包括区间的端点,应该指出，这里所要展开的是 f ( t ) 要得到的是 第二个级数，在实际计算中并不需要得到第一个级数，虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的收敛域不同， F (t ) 是延拓到整个数轴上的情形，而f ( t ) 的展开式只局限于 -
4、l , l ，因此在讨论 f ( t ) 的展开式的收敛域时，不要扩展到 f ( t ) 的定义域之外,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 .,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,解,另解,2。正弦级数和余弦级数,定义,非周期函数的周期性开拓,如果函数 f ( t ) 只是定义在 0 , l 上，且 在 0 , l 上满足Dirichlet 条件，需要展开成 Fourier 级数，就要先在 -l , 0 ）上 补充,定义，或者说构造一个新函数 F ( t ) 使得在区间 0 , l 上有F ( t ) = f ( t ) 然后按照周期延拓
5、的方法将F ( t ) 展开成 Fourier 级数 ，当限制自变量在 0 , l 上时，就得到 f ( t ) 的Fourier 展开式,从理论上讲，构造函数 F ( t ) 时，所补充的在 -l , 0 ）上有定义的函数可以任意给出，只要它满足Dirichlet 条件，但往往由于所给函数的不同会使得计算变得烦琐，因此在实际应用中常采用 偶延拓和奇延拓的方法,则有如下两种情况,奇延拓:,偶延拓:,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数.,一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点,三、小结,1 以2L为周期的傅氏系数;,2 利用变量代换求傅氏展开式;,3 求傅氏展开式的步骤;,（1）.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);,（2）.求出傅氏系数;,（3）.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,4 非周期函数的展开 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;,5、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确),a.只有周期函数才能展成傅氏级数;,
