1、课时跟踪检测（五十三） 审题上4 大策略找到解题突破口1已知椭圆 C 经过点 ，且与椭圆 E： y21 有相同的焦点(1，32) x22(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动直线 l： y kx m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 交于点 Q，问：以线段 PQ 为直径的圆是否经过一定点 M？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)椭圆 E 的焦点为(1,0)，设椭圆 C 的标准方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2则Error! 解得Error!所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)联立Error!消去 y，得(34 k2)x28
2、kmx4 m2120，所以 64 k2m24(34 k2)(4m212)0，即 m234 k2.设 P(xP， yP)，则 xP ， yP kxP m m ， 4km3 4k2 4km 4k2m 3m即 P .假设存在定点 M(s， t)满足题意，( 4km ， 3m)因为 Q(4,4k m)，则 ， MQ(4 s,4k m t)，MP ( 4km s， 3m t)所以 (4 s) (4k m t) (1 s)MP MQ ( 4km s) (3m t) 4km t( s24 s3 t2)0 恒成立，(3m m 4k)故Error! 解得Error!所以存在点 M(1,0)符合题意2已知椭圆 C
3、： 1( a b0)的短轴长为 2 ，离心率为 ，点 A(3,0)， P 是x2a2 y2b2 2 63C 上的动点， F 为 C 的左焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 在 y 轴的右侧，以 AP 为底边的等腰 ABP 的顶点 B 在 y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值解：(1)依题意得Error!解得Error!椭圆 C 的方程是 1.x26 y22(2)设 P(x0， y0)( y0 ， y00， x00)，2 2设线段 AP 中点为 M，又 A(3,0)， AP 中点 M ，直线 AP 的斜率为 ，(x0 32 ， y02) y0x0 3由 ABP 是以 AP 为底边的
4、等腰三角形，可得 BM AP，直线 AP 的垂直平分线方程为y ，y02 x0 3y0 (x x0 32 )令 x0 得 B ，(0，y20 x20 92y0 ) 1， B ，x206 y202 (0， 2y20 32y0 )由 F(2,0)，四边形 FPAB 的面积S 5 ，52(|y0| | 2y20 32y0 |) 52(2|y0| 32|y0|) 3当且仅当 2|y0| ，即 y0 时等号成立，32|y0| 32四边形 FPAB 面积的最小值为 5 .33椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别是 F1， F2，离心率为 ，过点 F1且x2a2 y2b2 32垂直于 x 轴的直线被
5、椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1， PF2，设 F1PF2的角平分线 PM交 C 的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围解：(1)由于 c2 a2 b2，将 x c 代入椭圆的方程 1，得 y .由题意知x2a2 y2b2 b2a1，故 a2 b2.2b2a又 e ，则 ，即 a2 b，所以 a2， b1，ca 32 ba 12故椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)由 PM 是 F1PF2的角平分线，可得 ，即 .|PF1|F1M| |PF2|F2M| |PF1|PF2| |F1M|F2M|设点 P
6、(x0， y0)(2 x02)，又点 F1( ，0)， F2( ，0)， M(m,0)，3 3则| PF1| 2 x0， 3 x0 2 y2032|PF2| 2 x0. 3 x0 2 y2032又| F1M| m |，| F2M| m |，3 3且 m ，所以| F1M| m ，| F2M| m.3 3 3 3所以 ，化简得 m x0，2 32x02 32x0 3 m3 m 34而2 x02，因此 m .32 32所以 m 的取值范围为 .(32， 32)4(2019贵阳检测)已知椭圆 C1的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点；抛物线 C2的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点在 C1， C2上各取
7、两个点，将其坐标记录于表格中：x 3 2 4 2y920 8 22(1)求 C1， C2的标准方程；(2)已知定点 C ， P 为抛物线 C2上一动点，过点 P 作抛物线 C2的切线交椭圆 C1(0，18)于 A， B 两点，求 ABC 面积的最大值解：(1)设 C1： 1( a b0)，x2a2 y2b2由题意知，点(2,0)一定在椭圆上，则点 也在椭圆上，分别将其代入，(2，22)得Error! 解得Error! C1的标准方程为 y21.x24设 C2： x22 py(p0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线 C2的方程，得 p1， C2的标准方程为 x22 y.(2)设 A
8、(x1， y1)， B(x2， y2)， P ，(t，12t2)由 y x2知 y x，12故直线 AB 的方程为 y t2 t(x t)，12即 y tx t2，代入椭圆方程 y21，12 x24整理得(14 t2)x24 t3x t440，则 16 t64(14 t2)(t44)4( t416 t24)0，x1 x2 ， x1x2 ，4t31 4t2 t4 41 4t2| AB| 1 t216t6 1 4t2 2 4 t4 4 1 4t2 1 4t2 2 ，21 t2 t4 16t2 41 4t2设点 C 到直线 AB 的距离为 d，(0，18)则 d ，| 18 12t2|1 t2 1 4t281 t2 S ABC |AB|d12 12 21 t2 t4 16t2 41 4t2 1 4t281 t218 t4 16t2 4 ，18 t2 8 2 68 1868 174当且仅当 t2 时，取等号，此时满足 0.2综上， ABC 面积的最大值为 .174
