1、第 1 页（共 138 页）1如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴相交于点 A（0，3） ，与 x 正半轴相交于点 B，对称轴是直线 x=1（1）求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标（2）动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达 A 点时，M、N 同时停止运动过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形当 t0 时， BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若
2、不能，请说明理由【分析】 （1）由对称轴公式可求得 b，由 A 点坐标可求得 c，则可求得抛物线解析式；再令 y=0 可求得 B 点坐标；（2）用 t 可表示出 ON 和 OM，则可表示出 P 点坐标，即可表示出 PM 的长，由矩形的性质可得 ON=PM，可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；由题意可知 OB=OA，故当BOQ 为等腰三角形时，只能有 OB=BQ 或 OQ=BQ，用 t 可表示出 Q 点的坐标，则可表示出 OQ 和 BQ 的长，分别得到关于 t 的方程，可求得t 的值【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 对称轴是直线 x=1， =1，解得 b=2，抛物线过 A（0，
3、3） ，第 2 页（共 138 页）c=3，抛物线解析式为 y=x2+2x+3，令 y=0 可得 x2+2x+3=0，解得 x=1 或 x=3，B 点坐标为（3，0） ；（2）由题意可知 ON=3t，OM=2t ，P 在抛物线上，P（2t，4t 2+4t+3） ，四边形 OMPN 为矩形，ON=PM，3t=4t 2+4t+3，解得 t=1 或 t= （舍去） ，当 t 的值为 1 时，四边形 OMPN 为矩形；A（0，3） ，B（3，0 ） ，OA=OB=3，且可求得直线 AB 解析式为 y=x+3，当 t0 时， OQOB，当BOQ 为等腰三角形时，有 OB=QB 或 OQ=BQ 两种情况，
4、由题意可知 OM=2t，Q （ 2t，2t+3） ，OQ= = ，BQ= = |2t3|，又由题意可知 0t1，当 OB=QB 时，则有 |2t3|=3，解得 t= （舍去）或 t= ；当 OQ=BQ 时，则有 = |2t3|，解得 t= ；综上可知当 t 的值为 或 时，BOQ 为等腰三角形【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定第 3 页（共 138 页）系数法的应用，在（2）中用 t 表示出 PM 和 ON 的长是解题的关键，在中用 t 表示出 Q 点的坐标，进而表示出 OQ 和 BQ 的长是
5、解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中2如图，直线 y=2x+4 交 y 轴于点 A，交抛物线 y= x2+bx+c 于点 B（3，2） ，抛物线经过点 C（1，0 ） ，交 y 轴于点 D，点 P 是抛物线上的动点，作 PEDB交 DB 所在直线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）当PDE 为等腰直角三角形时，求出 PE 的长及 P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接 PB，将PBE 沿直线 AB 翻折，直接写出翻折点后 E 的对称点坐标【分析】 （1）把 B（3，2） ，C（ 1，0）代入 y= x2+bx+c 即可得到结论；（2）由 y= x2 x2 求得
6、 D（0，2） ，根据等腰直角三角形的性质得到 DE=PE，列方程即可得到结论；（3）当 P 点在直线 BD 的上方时，如图 1，设点 E 关于直线 AB 的对称点为E，过 E作 EHDE 于 H，求得直线 EE的解析式为 y= x ，设 E（m， m ） ，根据勾股定理即可得到结论；当 P 点在直线 BD 的下方时，如图 2，设点 E 关于直线 AB 的对称点为 E，过 E作 EHDE 于 H，得到直线 EE的解析式为y= x3，设 E（m， m3） ，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）把 B（ 3， 2） ，C（ 1，0）代入 y= x2+bx+c 得，第 4 页（共 138 页）
7、， ，抛物线的解析式为 y= x2 x2；（2）设 P（m， m2 m2） ，在 y= x2 x2 中，当 x=0 时，y= 2，D（0，2） ，B（3，2 ） ，BDx 轴，PEBD ，E （m，2） ，DE=m，PE= m2 m2+2，或 PE=2 m2+ m+2，PDE 为等腰直角三角形，且 PED=90 ，DE=PE，m= m2 m，或 m= m2+ m，解得：m=5， m=1，m=0（不合题意，舍去） ，PE=5 或 1，P（1 ，3） ，或（5，3） ；（3）当 P 点在直线 BD 的上方时，如图 1，设点 E 关于直线 AB 的对称点为E，过 E作 EH DE 于 H，由（2）知
8、，此时，E（5， 2） ，DE=5 ，第 5 页（共 138 页）BE=BE=2，EEAB，设直线 EE的解析式为 y= x+b，2= 5+b，b= ，直线 EE的解析式为 y= x ，设 E（m， m ） ，EH=2 m+ = m， BH=3m，EH 2+BH2=BE2，（ m） 2+（3m） 2=4，m= ，m=5（舍去） ，E（ ， ） ；当 P 点在直线 BD 的下方时，如图 2，设点 E 关于直线 AB 的对称点为 E，过 E作 EH DE 于 H，由（2）知，此时，E（1， 2） ，DE=1 ，BE=BE=2，EEAB，设直线 EE的解析式为 y= x+b，2= 1+b，b= ，直
9、线 EE的解析式为 y= x ，第 6 页（共 138 页）设 E（m， m ） ，EH= m +2= m ，BH=m 3，EH 2+BH2=BE2，（ m ） 2+（m3） 2=4，m=4.2，m=1（舍去） ，E（4.2，0.4） ，综上所述，E 的对称点坐标为（ ， ） ， （4.2 ，0.4） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键3已知，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4 ，BC=2，D 是 AC 边上的一个动点，将ABD 沿 BD 所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处第 7 页（共 138 页
10、）（1）如图 1，若点 D 是 AC 中点，连接 PC写出 BP，BD 的长；求证：四边形 BCPD 是平行四边形（2）如图 2，若 BD=AD，过点 P 作 PHBC 交 BC 的延长线于点 H，求 PH 的长【分析】 （1）分别在 RtABC ，RtBDC 中，求出 AB、BD 即可解决问题；想办法证明 DPBC，DP=BC 即可；（2）如图 2 中，作 DNAB 于 N，PEAC 于 E，延长 BD 交 PA 于 M设BD=AD=x，则 CD=4x，在 RtBDC 中，可得 x2=（4x） 2+22，推出 x= ，推出DN= = ，由 BDNBAM，可得 = ，由此求出 AM，由ADMA
11、PE，可得 = ，由此求出 AE= ，可得 EC=ACAE=4 = 由此即可解决问题【解答】解：（1）在 RtABC 中，BC=2 ，AC=4，AB= =2 ，AD=CD=2，BD= =2 ，由翻折可知，BP=BA=2 如图 1 中，第 8 页（共 138 页）BCD 是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=135 45=90，BCD=PDC=90，DPBC， PD=AD=BC=2，四边形 BCPD 是平行四边形（2）如图 2 中，作 DNAB 于 N，PEAC 于 E，延长 BD 交 PA 于 M设 BD=AD=x，则 CD=4x，在 RtBDC 中，BD 2=CD2
12、+BC2，x 2=（4x） 2+22，x= ，DB=DA，DNAB，BN=AN= ，第 9 页（共 138 页）在 RtBDN 中，DN= = ，由BDNBAM，可得 = ， = ，AM=2，AP=2AM=4，由ADMAPE，可得 = ， = ，AE= ，EC=ACAE=4 = ，易证四边形 PECH 是矩形，PH=EC= 【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题4如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动点，连结 CE
13、并将其绕点 C 顺时针旋转 90得到 CF，连结 DF，以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与AD、AC 分别交于点 H、M，GF 交 CD 延长线于点 N（1）证明：点 A、D 、F 在同一条直线上；（2）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结 EF、MN，当 MNEF 时，求 AE 的长第 10 页（共 138 页）【分析】 （1）由DCFBCE，可得CDF=B=90，即可推出CDF+CDA=180，由此即可证明（2）有最小值设 AE=x，DH=y ，则 AH=1y，BE=1x，由ECBHEA，推出= ，可得 = ，推出 y
14、=x2x+1=（x ） 2+ ，由 a=10，y 有最小值，最小值为 （3）只要证明CFN CEM，推出FCN= ECM，由MCN=45，可得FCN= ECM=BCE=22.5，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设 BE=BG=a，则 GC=GE= a，可得 a+ a=1，求出 a 即可解决问题；【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，CD=CB，BCD= B= ADC=90，CE=CF， ECF=90，ECF=DCB，DCF=BCE，DCFBCE，CDF=B=90，CDF+CDA=180，点 A、D、 F 在同一条直线上（2）解：有最小值第 11
15、 页（共 138 页）理由：设 AE=x，DH=y ，则 AH=1y，BE=1 x，四边形 CFGE 是矩形，CEG=90，CEB+AEH=90CEB+ECB=90，ECB=AEH，B= EAH=90 ，ECBHEA， = ， = ，y=x 2x+1=（x ） 2+ ，a=10，y 有最小值，最小值为 DH 的最小值为 （3）解：四边形 CFGE 是矩形，CF=CE ，四边形 CFGE 是正方形，GF=GE， GFE=GEF=45，NMEF，GNM=GFE，GMN=GEF，GMN=GNM，GN=GM，FN=EM，第 12 页（共 138 页）CF=CE， CFN=CEM ，CFN CEM，FC
16、N= ECM，MCN=45，FCN= ECM=BCE=22.5，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设 BE=BG=a，则GC=GE= a，a + a=1，a= 1，AE=ABBE=1（ 1）=2 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题5如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（3，0） ，D （ 1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 B
17、在 y 轴正半轴上，且 OB=OD（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，抛物线的顶点为点 E，对称轴交 x 轴于点 M，连接 BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点 Q，使QBA=BEM，求出点 Q 的坐标；（3）如图 2，过点 C 作 CFx 轴，交抛物线于点 F，连接 BF，点 G 是 x 轴上一点，在抛物线上是否存在点 N，使以点 B，F ，G ，N 为顶点的四边形是平行四第 13 页（共 138 页）边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题；（2）首先证明 BEAB，分两种情形求解作 BQEM 交 EM 于 Q，由ABQ+
18、EBQ=90，EBQ+BEM=90，推出ABQ=BEM，满足条件，此时Q（ 1，1） 当点 Q 在 AB 的下方时，设 Q（1，m） ，AB 交 EM 于 K易知 K（1， ） ，由QBKQEB，可得 QB2=QKQE，列出方程即可解决问题；（3）由题意可知当点 N 的纵坐标为2 时，以点 B，F ，G，N 为顶点的四边形是平行四边形，当 N 与 E 重合，G 与 M 重合时，四边形 BNFG 是平行四边形，由此即可解决问题；【解答】解：（1）把 A（3，0） ，D （1，0）代入 y=x2+bx+c 得到 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3（2）如图 1 中，第 14 页（共 1
19、38 页）y= （ x1） 2+4，E （1 ，4 ） ， A（3 ，0） ，B（0，1） ，直线 BE 的解析式为 y=3x+1，直线 AB 的解析式为 y= x+1，3（ ）=1，BE AB，作 BQEM 交 EM 于 Q，ABQ+EBQ=90，EBQ+BEM=90，ABQ=BEM，满足条件，此时 Q（1，1） 当点 Q 在 AB 的下方时，设 Q（1，m） ，AB 交 EM 于 K易知 K（1， ）QBK=BEM，BQK=BQE，QBKQEB，QB 2=QKQE，1 2+（m1） 2=（ m）（4 m） ，解得 m= ，Q （ 1， ） ，综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（1，1）或
20、（1， ） （3）如图 3 中，第 15 页（共 138 页）由题意可知当点 N 的纵坐标为2 时，以点 B，F ， G，N 为顶点的四边形是平行四边形，当 y=2 时， x2+2x+3=2，解得 x=1 ，可得 N1（1+ ，2） ，N 4（1 ，2） ，当 y=2 时，x 2+2x+3=2，解得 x=1 ，可得 N2（ 1+ ，2） ，N 3（1 ， 2） ，当 N 与 E 重合， G 与 M 重合时，四边形 BNFG 是平行四边形，此时 N5（1，4） ，综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（1+ ，2 ）或（1 ，2）或（1+ ，2 ）或（1 ， 2）或（1，4） 【点评】本题考查二次
21、函数的综合题、一次函数的应用、两直线垂直的判定、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题6如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0） ，经过点 A（1，0） ，B（3，0 ） ，C（ 0，3）三点（1）求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标；（2）连接 AC、BC ，N 为抛物线上的点且在第四象限，当 SNBC =SABC 时，求 N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点 C 作直线 lx 轴，动点 P（m，3）在直线 l 上，动点 Q（m ，0 ）在 x 轴上，连接 PM、PQ 、NQ，当 m 为何值时
22、，PM+PQ +QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值第 16 页（共 138 页）【分析】 （1）将点 A、B、C 坐标代入解析式，解关于 a、b、c 的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点 M 坐标；（2）设 N（t，t 2+2t+3） （t0 ） ，根据点 N、C 坐标用含 t 的代数式表示出直线CN 解析式，求得 CN 与 x 轴的交点 D 坐标，即可表示 BD 的长，根据 SNBC =SABC，即 SCDB +SBDN = ABOC 建立关于 t 的方程，解之可得；（3）将顶点 M（1，4 ）向下平移 3 个单位得到点 M（1，1） ，连接 MN 交 x轴于点 Q，
23、连接 PQ，此时 M、Q 、N 三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN 取最小值，由点 M、N 坐标求得直线 MN 的解析式，即可求得点 Q 的坐标，据此知 m 的值，过点 N 作 NEx 轴交 MM延长线于点 E，可得ME=6、NE=3、MN= =3 ，即 MQ+QN=3 ，据此知 m= 时，PM+PQ+QN 的最小值为 3 +3【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（1，0） ，B（3，0 ） ，C（ 0，3） ， ，解得： ，y= x2+2x+3=（x1） 2+4，则抛物线的顶点 M 坐标为（ 1，4） ；（2）N 是抛物线上第四象限的点，设 N（t，t
24、 2+2t+3） （t 0） ，第 17 页（共 138 页）又点 C（0，3） ，设直线 NC 的解析式为 y=k1x+b1，则 ，解得： ，直线 NC 的解析式为 y=（ t+2）x +3，设直线 CN 与 x 轴交于点 D，当 y=0 时，x= ，D（ ，0） ，BD=3 ，S NBC =SABC ，S CDB +SBDN = ABOC，即 BD|yCyN|= 3（1）3，即 （3 ）3（t 2+2t+3）=6，整理，得：t 23t4=0，解得：t 1=4，t 2=1（舍去） ，当 t=4 时，t 2+2t+3=5，N（4，5） ；（3）将顶点 M（1，4 ）向下平移 3 个单位得到点
25、M（1，1） ，连接 MN 交 x轴于点 Q，连接 PQ，第 18 页（共 138 页）则 MM=3，P（m，3） 、 Q（m，0） ，PQ x 轴，且 PQ=OC=3，PQ MM，且 PQ=MM，四边形 MMQP 是平行四边形，PM=QM，由作图知当 M、Q 、N 三点共线时，PM+PQ +QN=MQ+PQ+QN 取最小值，设直线 MN 的解析式为 y=k2x+b2（k 20 ） ，将点 M（1， 1） 、N（4， 5）代入，得： ，解得： ，直线 MN 的解析式为 y=2x+3，当 y=0 时，x= ，Q （ ，0） ，即 m= ，此时过点 N 作 NEx 轴交 MM延长线于点 E，在 R
26、tMEN 中，ME=1（ 5）=6，NE=4 1=3，MN= =3 ，MQ +QN=3 ，当 m= 时， PM+PQ+QN 的最小值为 3 +3【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数第 19 页（共 138 页）法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点 P、Q 的位置7如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2，OB=8，OC=6 （1）求抛物线的解析式；（2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时
27、，点 N 从 B 出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当MBN 存在时，求运动多少秒使MBN 的面积最大，最大面积是多少？（3）在（2）的条件下，MBN 面积最大时，在 BC 上方的抛物线上是否存在点 P，使 BPC 的面积是MBN 面积的 9 倍？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由线段的长度得出点 A、B 、C 的坐标，然后把 A、B、C 三点的坐标分别代入 y=ax2+bx+c，解方程组，即可得抛物线的解析式；（2）设运动时间为 t 秒，则 MB=63t，然后根据BHNBOC，求得NH=
28、 ，再利用三角形的面积公式列出 SMBN 与 t 的函数关系式 SMBN = （t ） 2+ ，利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 y= x+6由二次函数图象上点的坐标特征可设点 P 的坐标为（m， m2+ m+6） 过点 P 作 PEy 轴，交 BC第 20 页（共 138 页）于点 E结合已知条件和（ 2）中的结果求得 SPBC = 则根据图形得到 SPBC=S CEP+SBEP = EPm+ EP（8 m） ，把相关线段的长度代入推知： m2+12m= = 【解答】解：（1）OA=2，OB=8 ，OC=6，根据函数图象得 A（2，0） ，B（8
29、，0） ，C （0 ，6） ，根据题意得 ，解得 ，抛物线的解析式为 y= x2+ x+6；（2）设运动时间为 t 秒，则 AM=3t，BN=tMB=103t 由题意得，点 C 的坐标为（ 0，6） 在 RtBOC 中，BC= =10如图，过点 N 作 NHAB 于点 HNHCO，BHNBOC， = ，即 = ，HN= tS MBN = MBHN= （10 3t） t= t2+3t= （t ） 2+ ，当MBN 存在时， 0t ，当 t= 时，SMBN 最大 = 答：运动 秒使MBN 的面积最大，最大面积是 ；第 21 页（共 138 页）（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c（k0 ）
30、 把 B（8，0） ，C （0，6）代入，得 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x+6点 P 在抛物线上设点 P 的坐标为（ m， m2+ m+6） ，如图，过点 P 作 PEy 轴，交 BC 于点 E，则 E 点的坐标为（ m， m+6） EP= m2+ m+6（ m+6）= m2+3m，当MBN 的面积最大时，S PBC =9 SMBN = ，S PBC =SCEP +SBEP = EPm+ EP（8m）= 8EP=4（ m2+3m）= m2+12m，即 m2+12m= 解得 m1=3，m 2=5，P（3， ）或（5， ） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用
31、了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式，依据题意列出关于第 22 页（共 138 页）SMBN 与 t 的函数关系式以及 SPBC 的面积与 m 的函数关系式是解题的关键8如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3，0） 与 y轴交于点 C（ 0，3 ） （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 y=x+m 与直线 BC 交于点 E，与 y 轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值；（3）点 D 为抛物线对称轴上一点当BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标；若BCD 是锐角三角
32、形，求点 D 的纵坐标的取值范围【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得 BC 的解析式为 y=x+3，先证明ECF 为等腰直角三角形，作 PHy轴于 H，PGy 轴交 BC 于 G，如图 1，则EPG 为等腰直角三角形，PE= PG，设 P（t ，t 24t+3） （1t3） ，则 G（t ， t+3） ，接着利用 t 表示PF、 PE，所以 PE+EF=2PE+PF= t2+3 t+ ，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）如图 2，抛物线的对称轴为直线 x= =2，设 D（2，y） ，利用两点间的距离公式得到 BC2=18，DC 2=4+（y3） 2，BD 2=1+y2
33、，讨论：当BCD 是以 BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时，18+4+（y 3） 2=1+y2；当BCD 是以 BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，4+（y 3） 2=1+y2+18，分别解方程求出 t 即可得到对应的 D 点坐标；第 23 页（共 138 页）由于BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形有 4+（ y3） 2+1+y2=18，解得 y1=，y 2= ，得到此时 D 点坐标为（2， ）或（2， ） ，然后结合图形可确定BCD 是锐角三角形时点 D 的纵坐标的取值范围【解答】解：（1）把 B（ 3，0） ，C （0，3）代入 y=x2+bx+c 得 ，解得 ，抛物线
34、的解析式为 y=x24x+3；（2）易得 BC 的解析式为 y=x+3，直线 y=xm 与直线 y=x 平行，直线 y=x+3 与直线 y=xm 垂直，CEF=90，ECF 为等腰直角三角形，作 PH y 轴于 H，PG y 轴交 BC 于 G，如图 1，EPG 为等腰直角三角形，PE=PG，设 P（ t，t 24t+3） （1t 3） ，则 G（t，t+3） ，PF= PH= t，PG=t+3（t 24t+3）= t2+3t，PE= PG= t2+ t，PE+EF=PE +PE+PF=2PE+PF= t2+3 t+ = t2+4 = （t2） 2+4 ，当 t=2 时，PE+EF 的最大值为
35、 4 ；（3）如图 2，抛物线的对称轴为直线 x= =2，设 D（2，y） ，则 BC2=32+32=18，DC 2=4+（y3） 2，BD 2=（32） 2+y2=1+y2，当BCD 是以 BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时， BC2+DC2=BD2，即18+4+（ y3） 2=1+y2，解得 y=5，此时 D 点坐标为（2，5） ；当BCD 是以 BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB2=DC2，即第 24 页（共 138 页）4+（y3） 2=1+y2+18，解得 y=1，此时 D 点坐标为（2，1） ；当BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形时，DC 2+D
36、B2=BC2，即 4+（y 3）2+1+y2=18，解得 y1= ，y 2= ，此时 D 点坐标为（2， ）或（2， ） ，所以BCD 是锐角三角形，点 D 的纵坐标的取值范围为 y5 或1y【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题9如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B （0，2） ，并与 x 轴交于点C，点 M 是抛物线对称轴 l 上任意一点（点 M，B ，C 三点
37、不在同一直线上） （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点 P1，P 2，使得MP 1P2 与MCB 全等，并求出点P1，P 2 的坐标；（3）在对称轴上是否存在点 Q，使得BQC 为直角，若存在，作出点 Q（用尺规作图，保留作图痕迹） ，并求出点 Q 的坐标第 25 页（共 138 页）【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）分三种情况：当P 1MP2CMB 时，取对称点可得点 P1，P 2 的坐标；当BMC P2P1M 时，构建 P2MBC 可得点 P1，P 2 的坐标；P 1MP2 CBM，构建 MP1P2C，根据平移规律可得 P1，P 2 的坐
38、标；（3）如图 3，先根据直径所对的圆周角是直角，以 BC 为直径画圆，与对称轴的交点即为点 Q，这样的点 Q 有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明BDQ1Q 1EC，列比例式，可得点 Q 的坐标【解答】解：（1）把 A（ 1，0） ，B（0， 2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得：，解得： ，抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x 2x2；（2）如图 1，P 1 与 A 重合，P 2 与 B 关于 l 对称，MB=P 2M，P 1M=CM，P 1P2=BC，P 1MP2 CMB，y=x 2x2=（x ） 2 ，此时 P1（ 1，0） ，B（0，2 ） ，对称轴：直线 x= ，第 26
39、 页（共 138 页）P 2（ 1，2） ；如图 2，MP 2BC，且 MP2=BC，此时，P 1 与 C 重合，MP 2=BC，MC=MC，P 2MC=BP 1M，BMC P2P1M，P 1（ 2，0） ，由点 B 向右平移 个单位到 M，可知：点 C 向右平移 个单位到 P2，当 x= 时，y=（ ） 2 = ，P 2（ ， ） ；如图 3，构建MP 1P2C，可得P 1MP2CBM ，此时 P2 与 B 重合，由点 C 向左平移 2 个单位到 B，可知：点 M 向左平移 2 个单位到 P1，点 P1 的横坐标为 ，当 x= 时，y=（ ） 2 =4 = ，P 1（ ， ） ，P 2（0，
40、2） ；（3）如图 3，存在，作法：以 BC 为直径作圆交对称轴 l 于两点 Q1、Q 2，则BQ 1C=BQ 2C=90；过 Q1 作 DEy 轴于 D，过 C 作 CEDE 于 E，设 Q1（ ，y ） （y 0 ） ，易得BDQ 1Q 1EC， ，第 27 页（共 138 页） = ，y2+2y =0，解得：y 1= （舍） ， y2= ，Q 1（ ， ） ，同理可得：Q 2（ ， ） ；综上所述，点 Q 的坐标是：（ ， ）或（ ， ） 第 28 页（共 138 页）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判
41、定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；（3）分类讨论本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键10如图 1，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（4，0） ， （0，6） ，直线 AD交 B C 于点 D，tanOAD=2，抛物线 M1：y=ax 2+bx（a 0）过 A，D 两点第 29 页（共 138 页）（1）求点 D 的坐标和抛物线 M1 的表达式；（2）点 P 是抛物线 M1 对称轴上一动点，当 CPA=90时，求所有符合条件的点 P 的坐标；（3）如图
42、2，点 E（0，4） ，连接 AE，将抛物线 M1 的图象向下平移m（m0）个单位得到抛物线 M2设点 D 平移后的对应点为点 D，当点 D恰好在直线 AE 上时，求 m 的值；当 1xm（m1）时，若抛物线 M2 与直线 AE 有两个交点，求 m 的取值范围【分析】 （1）如图 1 中，作 DHOA 于 H则四边形 CDHO 是矩形在 RtADH 中，解直角三角形，求出点 D 坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图 11 中，设 P（2，m） 由CPA=90，可得 PC2+PA2=AC2，可得22+（m6） 2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）求出 D的坐标；构建方程组，利用判别式0，求出抛物线与直线AE 有两个交点时的 m 的范围；求出 x=m 时，求出平移后的抛物线与直线 AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断【解答】解：（1）如图 1 中，作 DHOA 于 H则四边形 CDHO 是矩形第 30 页（共 138 页）四边形 CDHO 是矩形，OC=DH=6，tanDAH= =2，AH=3，OA=4，CD=OH=1，D（1，6） ，把 D（1，6） ，A（4，0）代入 y=ax2+bx 中，则有 ，解得 ，抛物线 M1 的表达式为 y=2x2+8x（2）如图 11 中，设 P（2，m）
