1、高等数学重积分摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用. 在高等数学中，重
2、积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用
3、，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1 曲面的面积设曲面 的方程为 在 面上的投影为 ，函数 在 上具，yxfz,xoyxyDyxf,D有连续偏导数，则曲面 的面积为： DyxD dxffdxyfxfA ,11 2222若曲面 的方程为 在 面上的投影为 ，则曲面 的面积为：，zyg,ozyz DzyD dyffdyzgyA ,11 2222若曲面 的方程为 在 面上的
4、投影为 ，则曲面 的面积为：，xzh,oxzx DxzD dzffdzxzA ,11 2222例 1：计算双曲抛物面 被柱面 所截出的面积 。y22RyA解：曲面在 面上投影为 ,则xoy:xDyxdzA21即有: 322 22001 113RDAxydrR从而被柱面 所截出的面积 如上所示。22RA例 2:求半径为 的球的表面积.a解:取上半球面方程为 ,22yxaz则它在 面上的投影区域 .xoy2aD又由 ,22yxaxz ,22yxz得 .1 2222 yxayzxz因为这函数在闭区域 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域D为积分区域,算出相应于 的球面面积 后,令aby
5、xD0,221 1D1A取 的极限就得半球面的面积.ab1A1 ,22DdxyaA利用极坐标,得 bD ad022211 于是 .limli221 baAabab 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为 .421.2 质量1.2.1 平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域 ，面密度为 ，则它的质量为 ，Dyx,Ddyxm,其中 称为质量元素.dyxdm,1.2.2 物体的质量若物体占有空间闭区域 ，体密度为 ，则它的质量为zyx,Ddvzyxm,例 3：由螺线 ，与直线 ，围成一平面薄片 ，它的面密度为22，求它的质量。 2yx yox解：如图所示， DD ddxydxym20224514
6、452020d1.3 质心1.3.1 平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域 ，面密度为 ，则它的质心坐标为：Dyx,，其中 为平面薄片的质量.Ddyxmyx,1,m1.3.2 物体的质心若物体占有空间闭区域 ，体密度为 ，则它的质心坐标为：zyx,，其中 为物体的质量.DDdvzyxmzydvx,1,1m例 4：求位于两球面 ，和 之间的均匀物体422yx 122zyx的质心.解：由对称性可知，质心必须位于 轴上 ，故z0,yx由公式 dzdzmz1由面 常数，不妨设 ， 则 ，的 体 积d32814-23zdz20cos61in20cos16cos4si41sininco20542
7、cs4s220220s422ddd所以 ，71538z从而质心坐标为 。,0例 5:求位于两圆 和 之间的均匀薄片的质心。sin2sin4解：如图所示：因为闭区域 对称于轴 轴，所以质心 ，必位于 轴上，于是 。DyyxC,y0x再按公式 DdA1计算 ，由于闭区域 位于半径为 1 和半径为 2 的两圆之间，所以它的面积等于这两圆yD面积之差，即 。再利用极坐标计算积分 3AyDox因此 ,37y所以质心是 。37,0C1.4 转动惯量1.4.1 平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域 ，面密度为 ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量Dyx分别为: dyxIdIdyIDDoyDx 222 ,
8、1.4.2 物体的转动惯量若物体占有空间闭区域 ，体密度为 ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分zx,别为: dzyxIdyxI oz yx 222 22, ,例 6：求半径为 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。 a解:建立坐标系如图所示:0:22yaxDox214sinsin0032232 DD ax adrdrrdxyI又 半圈薄片的质量21aM4sin2 240 056sinsi sin73DDydddd .412MaIx例 7：求均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量。l解:取球心为原点, 轴为 轴,设球所占域为 则z ,:22azyx.34521352sinsincosincoi20
9、043 22222 a aMaadrd drrdxyxI1.5 引力1.5.1 平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域 ，面密度为 ，质量为 的质点位于Dyx,m，设薄片对质点的引力为 ，则0,yx yxF, Dx drxGmF30 Dy dryG30其中 , 为引力常数.2020r1.5.2 物体对质点的引力若物体占有空间闭区域 ，体密度为 ，质量为 的质点位于zyx,m，设薄片对质点的引力为 ，则0,zyx zyxFdrxGmFox3 drGmFoy3 drzGoz3其中 , 为引力常数.202020z例 8：求一高 ，底面半径为 的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。
10、RR解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为 轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为z，zyx2设密度为 ，所求 用微元法讨论，在圆锥任意一点 处取微元zyxF, zyx,，则此小块质量为 ，它对原点处单位质点引力为：dd， 其中rGrF321., 22zyxrzyx由对称性可知 ，0yx cosFdz因为 ，所以 ，rzcos rGdFz3从而 drz3RGGdzGdRzzdzGRRR221220200220021233所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为 。F例 9：求半径为 的均匀球 对位于点 的单位质量R22RzyxRaM,0质点的引力.解：利用对称性知引力分量 0xFdazyxGFz232。
11、为 球 的 质 量 3421212 2220 232232RMaGazdazdzGazrdzazyxzGRRRRRDII.重积分小谈2.1 积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。2.2 浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我
12、们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过 NewTon.Leibniz 公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于 型 型区域去处理。 型区域的特征是嵌套特征，或者是递XYXY推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。 “画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两
13、次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。2.3 浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的） ，则可以回到 NewTon Leibniz 公式。三重积分的先一
14、次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向 平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如 具有明确上下限，而由XOY z所确定的 平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半zzD球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变， （这是尤为要强调记住的） 。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如 ，用直角坐标系表示，对 用平面极坐标表zXY示。强调当 用极坐标表示后， 也要用半径跟角度
15、表示。其主要适用于：圆柱，圆XY锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。以上仅是我个人在学习重积分以后的一些想法，如果有谈的不适的地地方，请大家多多指教，谢谢。参考文献：1 王贵鹏. 数学分析M. 北京：高等教育出版社, 2001, 6.2 田国华. 数学分析辅导及习题全解M. 北京：人民日报出版社, 2007, 8.3 骆一丹. 辅导及习题精解M. 上海：同济大学出版社，2004, 7.4 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书M. 上海：同济大学出版社，1981, 10.5 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解M. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3.6 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法M. 上海：高等教育出版社,1989, 4.7 同济大学数学系. 高等数学M. 北京：高等教育出版社，2007，6.
