1、近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 对于普通乘法来说是一个群.1,G3. 证明, 我们也可以用条件 1,2 以及下面的条件来作群的定义:5,4. 至少存在一个右单位元 ,能让 对于 的任何元 都成立GeaGa. 对于 的每一个元 ,在 里至少存在一个右逆元 能让 5aG,1e1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由 得e因为由 有元 能使4 e1所以 )()(11eaa1即 1(2) 一个右恒等元 一定也是一个左恒等元,意即e由 得 aeaea)()(11即 这样就
2、得到群的第二定义.(3) 证 可解bx取 a1be)(这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到 是不困难的.5,42 单位元,逆元,消去律1. 若群 的每一个元都适合方程 ,那么 就是交换群.Gex2G证 由条件知 中的任一元等于它的逆元,因此对 有 .GGba, baab11)(2. 在一个有限群里阶大于 2 的元的个数是偶数.证 (1) 先证 的阶是 则 的阶也是 .an1neen11)(若有 使 即 因而 这与 的阶mem)(am1)(eamma是 矛盾. 的阶等于 的阶n1(2) 的阶大于 , 则 若 这与 的阶大于 矛盾221 2(3) 则 ba1b总起来可知阶大于 的元 与 双双
3、出现,因此有限群里阶大于 的元的个数一a定是偶数3. 假定 是个数一个阶是偶数的有限群,在 里阶等于 的元的GG2个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群 里的元大于 的个数是偶数;因此阶2的元的个数仍是偶数,但阶是 的元只有单位元,所以阶21的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 Ga故 anm ,2由于 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:故 n)(eamn是整数,因而 的阶不超过它.n4 群的同态假定在两个群 和 的一个同态映射之下, ， 和 的阶是不是一定相同?G a证 不一定相同例如 231,1ii对普通乘法 都作成群,且 (这里 是)x的任意元, 是
4、的元)G由 可知 但 的阶都是 .231,ii而 的阶是 .15 变换群1. 假定 是集合的一个非一一变换, 会不会有一个左逆元 ,使得 ?11证 我们的回答是回有的 ,321A: 11 111221 23 32 3443 45 显然是一个非一一变换但 12. 假定 是所有实数作成的集合.证明.所有 的可以写成 是有理数,AAbax形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?0a证 (1) :baxdc: dcbax)(是有理数 是关闭的.bc, 0(2) 显然时候结合律(3) 则 1a:x(4) :x)(ab而 所以构成变换群.1又 : 1x2:1 )(2x故 因而不是交换群.113.
5、 假定 是一个集合 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号 : SA)(a来说明一个变换 .证明,我们可以用 : 来规定一个 的21)()(2121aaS乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说 还是 的单位元.S证 :1)(1a22那么 :1 )(211显然也是 的一个变换.A现在证这个乘法适合结合律:)(:)(321321aa)(321a故 321321再证 还是 S的单位元: )(a:4 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证 设 是是变换群 的单位元G， 是变换群，故 是一一变换，因此对集合的任意元 ，有 的元 ，AaAb:)(b=)(a)(另证 1x根据 习题 知.73)
6、(x)(5. 证明实数域上一切有逆的 矩阵乘法来说，作成一个群。n证 =实数域上一切有逆的 矩阵G则 是 的逆BA,1AB从而 ,对矩阵乘法来说， 当然适合结合律且 （ 阶的单位阵） 是 的单位元。EnG故 作成群。6 置换群1. 找出所有 的不能和 交换的元.3S)(123证 不能和 交换的元有 这是难验证的.)(,)(1231232. 把 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积3解: 的所有元用不相连的循环置换写出来是:3S(1), (12), (13), (23), (123), (132).3. 证明:(1) 两个不相连的循环置换可以交换(2) )()(1121iikk 证(1) =m
7、)123nmkiii )(121213nmkiiii =( 1212133niiiik 又 ) =()(2k (121213nkmiiii 1213nmkiii = ,故1212133nmkiiii )()k(2) ,故 .1ik 112ii 3. 证明一个 K 一循环置换的阶是 K.证 设 )()(21321kiki3i)(1kik 1ki设 , 那么 h )(11ikhih 证明 的每一个元都可以写成 这 个循环置换nS)1(,3,2n 中的若干个乘积。证 根据 定理。 的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积.62nS而我们又能证明)()(132121 kkiii 同时有 , 这样就
8、得到所要证明的结论。ll则 13ni1ki 7 循环群1 证明 一个循环群一定是交换群。证 ，)(aGmGn则 mnma2 假设群的元 的阶是 ，证明 的阶是 这里 是 和 的最大公因子nrdn),(nr证 因为 所以 而 dnr),( ,11dnr1),(r3.假设 生成一个阶 是的循环群 。aG证明 也生成 ，假如 (这就是说 和 互素)r ),rr证 生成一个阶 是的循环群 ，可得生成元 的阶是 ，这样利用上题即得所证，nan或者，由于 有1),(ts即 rtsrtnsraa )(r故 )4 假定 是循环群，并且 与 同态，证明 也是循环群。GG证 有 2。4。定理 1 知 也是群，设
9、且 ( 是同态满射 ) a)则存在 使 因而 bb)kaG故 即 ka(k因而 即 =（）5假设 是无限阶的循环群， 是任何循环群，证明 与 同态。GG证 ）设 是无限阶的循环群，令)(a)(aa)(且ssss所以 ）设 而 的阶是 。)(Gn令 ： 当且只当 ,11kha11kqh易 知 是 到 的一个满射n012kha22kq20设 则11)(knkqn)(21那么 kha21 1aG8 子群1找出 S3 的所有子群证 S3= 的子群一定包含单位元 。)132(,)(,13)2(, )1(）S3 本身及只有单位元 都是子群）包含 和一个 2 一循环的集合一定是子群因 ,)(2ijij= ，
10、 = ， = 亦为三个子群2H)(,3)(,4H3,）包含 及两个 3循环置换的集合是一个子群1， = 是子群， 有以上 6 个子群，)(2ijkij)1()(ikj5H)132(,)(3S今证只有这 6 个子群，）包含 及两个或三个 2循环置换的集合不是子群因 不属于此集)1( )()(ijkij合)若一集合中 3循环置换只有一个出现一定不是子群因 )(2ikjij)一个集合若出现两个 3循环置换及一个 2循环置换不是子群因 iji）3循环置换及 2循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若 出现 则)(,ikj )(0)(jkij故 有且只有 6 个子群。3S2.证明；群 的两个子群的交集也
11、是 的子群。GG证 是 的两个子群，21,H21H显然非空 则 同时ba, 2,ba因 是子群，故 ，同时2,1 1所以 12故 是 的子群G3取 的子集 ， 生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的S)3(,S子集不会生成相同的子群？证 S)1(23从而 )()( 3S群的两个不同的子集会生成相同的子群生成的子群为 12S )12(,)(生成的子群为 )3(2S4证明，循环群的子群也是循环群。证 =（ ）是循环群， 是 的子群GaHG设 ，而 时 。kkh0a任意 则 因而 bmbrkqk0rkqrkm因 ， 所以 是循环群.Hamqka)()(kaH5. 找出模 12 的剩余类加群的所有
12、子群证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.= G1,0() G)(7)5(1() H() 即22 10,86,4,0() 即)9(339() 即844,() (6) 即 5有且只有以上 6 个 子群.6.假定 是群 的一个非空子集,并且 的每一个元的阶都有限,证明, 作成子群的HGHH充要条件: 推出 ba,证 必要性 显然充分性 推出 ,(*)所以只证 推出即可. ,aba, 的阶有限 设为 m即 eame1所以 1由(*) 可知 ,因而Ha1这样 作成 的子群.G9 子群的陪群1. 证明阶是素数的群一定是循环群证：设群 的阶是素数 ,P则可找到 而 , 则 的阶 ,Gaeap根据 定理
13、3 知 , 但 是素数,故,.92pnn那么 是 的 个不同元,所以恰是 的不同元,故 .110, Ppn2. 证明阶是 的群( 是素数 )一定包含一个阶是 的子群 .m p证：设阶是 的群为 , 是正整数, 可取 , 而 ,pGGae根据 定理 3, 的阶是 而 , 进一步可得 的阶为 92anpm1np是阶为 的 的子群.)(1nH3. 假定 和 是一个群 的两个元,并且 ,又假定 的阶是 ，abGbam的阶 是并且 .证明: 的阶是n1)(mmn证 .eabemnn,设 .)(r则 1),(rabrmr故 .nnenn故 又 1),(因此 的阶是 .4. 假定是一个群 的元间的一个等价关
14、系,并且对于 的任意三个元 来说,GGxa证明与 的单位元 等价的元所作成的集合为xaxeH证 由于是等价关系,故有 即 ,则baH,. eb,因而 11,be由题设可得由对称律及推移律得 1a再由题设得 ea1即 Hb这就证明了 是 的一个子群.G5. 我们直接下右陪集 的定义如下: 刚好包含 的可以写成aaGh)(的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证 任取 则GHe这就是说, 的每一个元的确属于一个右陪集若 则bxHa, .,21bhxa则 ,因而h21 1221,故 Ha=Hb这就证明了, 的每一个元只属于一个右陪集.G6. 若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是 的群,4
15、它们都是交换群.证 设 是阶为 的群.那么 的元的阶只能是4.,211若 有一个元的阶为 ,则 为循环群;G4G2. 若 有一个元的阶为 ,则除单位元外,其他二元的阶亦均未 .22就同构的观点看阶为 的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确存在. 循环群 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2非循环群循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10 不变子群、商群1. 假定群 的不变子群 的阶是 ,证明, 的中心包含 .GN2GN证 设 ,ne是不变子群,对于任意 有Naa1若 则 ， 矛盾een则 即 是中心元.n1又 是中心元显然.故 的中心包含 .
16、GN2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令 证 ,则 是 的子群.21G及 ，n2 NananN 1211,故 是不变子群.N3. 证明:指数是 的子群一定是不变子群 .2e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e证 设群 的指数是H2则 的右陪集为 ae,的左陪集为e由 易知 aH因此不论 是否属于 均有xHx4. 假定 是 的子群, 是 的不变子群,证明 是 的子群。GNNG证 任取 nh21nh,)( )()(2 311 .1H至于 HN 非空是显然的!HN 是 G 的子群 .5. 列举证明,G 的不变子群 N 的不变子群 1 未必是 G
17、 的不变子群(取 G=!)证 取 4S231, 234,N易知 N 是 G 的子群, 是 N 的子群1我们说 N 是 G 的不变子群,这是因为4321 4321432 421i iiiii此即说明 .,1nan因为 N 是阶为 4 的群,所以为交换群 ,故其子群 是不变子群.1N但 却不是 G 的不变子群,原因是 :112436. 一个群 G 的可以写成 !形式的元叫做换位子.证明:ab1i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合 C 是 G 的一个不变子群;ii)G/C 是交换群;iii)若 N 是 G 的一个不变子群,并且 G/N 是交换群,那么 N证 i) 显然是有限个换位子的乘积;e故1e
18、(有限个换位子的乘积) (有限个换位子的乘积)=有限个换位子的乘积,故 C 对 G 的乘法是闭的.由于 1 是换位子,故(有限个换位子的乘积) 的逆仍为(有限个baab1换位子的乘积)即有 故 C 是子群;cCgc,由 有1g1即 所以 C 是不变子群 .(ii) 、 xGyc就有1yx故 1因而 yx即 )()(C所以 是交换子群;NG(iii)因 G/N 是交换子群就有 )()(xNyxyxn因此 1又由于 是子群,所以 包含有限个换位子的乘积,N即 .C11 同态与不变子群1 我们看一个集合 到集合 的满射 ,证明,若 是 的逆象, 一定是 的象;但若ASS的 的象, 不一定是 的逆象.
19、SS证 ) 在 之下的象一定是 ;S若有 的元 在 之下的象 ,则 有两个不同的象,故矛盾ss又 的逆象是两者合起来,即得所证)设 ,6543,21A2,1A :4令 ,S在 之下 1但 的逆象是 5,32. 假定群 与群 同态, 是 的一个不变子群, 是 的逆象.证明:GNGN证 设 是 到 的同态满射;x:1是 到 的同态满射.2规定 : )(,)(2x则 是 到 的同态满射.N事实上, ,:21Nyyy则 xx)()(1x(22故 y:这就是说, NG现在证明同态满射 的核是则 xx)(1由于 是 的逆象 故 x)(1因而2另一方面,若 Nx则 ( 是 的逆象)根据 1 定理 2G3 假定 和 是两个有限循环群,它们的阶各是 和 证明 与 同态,当而且只mnG当 的时候mn证 （） N令 为同态满射的核心, 的阶一定整除 的阶G但G故 的阶一定整除 的阶.即 .mn（）mn.设 )(,a令 )0,: rqiri 在 下 1k ,11nn2ra(22h而 1 )(r2121)qnk(rhkkaa)(21 2121rraa即G4 假定 是一个循环群, 是 的一个子群,.证明, 也是循环群.NNG证 设 )(a则 bm另证 是循环群,由 习题 1 知:G.02G 是交换群,又由!.例 3 知 是 是一个不变子群,由这一节定理 1 得NG再由 习题 4 知 是循环群72
