1、第10章 质点动力学基础,10.1 内容提要 10.2 知识要点 10.3 解题指导,10.1 内容提要,本章在介绍动力学的任务和基本概念的基础上，主要阐述了动力学的基本定律及其应用;惯性力的概念、达朗伯原理与动静法。重点是应用质点动力学基本方程(质点运动微分方程)和动静法这两种方法求解质点动力学的两类问题。按教学大纲要求第一类问题是重点。,返回,10.2 知识要点,1.动力学的任务是研究物体(包括质点与质点系)运动变化与作用力之间的关系 按教学大纲要求，本书所研究的质点系为刚体和刚体的组合系统。 2.动力学基本定律牛顿三定律是动力学的基础 第一定律定性地阐明了力和运动变化(加速度)之间的关系
2、，阐明了任何物体都具有惯性，因此任何物体只有受到力的作用才会改变原有的运动状态(包括速度的大小和方向)，即产生加速度;第二定律则阐明了力和运动变化之间的定量关系;第三定律阐明了两物体间相互作用的关系。,下一页,返回,10.2 知识要点,由于第一、二定律都是在惯性参考系中观察、实验物体运动时总结出来的规律，因此它们以及根据它们所建立起来的动力学理论，仅适用于惯性参考系。所谓惯性参考系是指相对于地球静止或作匀速直线运动的参考坐标系。动力学基本方程是牛顿第二定律的推广，不严格区分的话，牛顿第二定律就是动力学基本方程。但必须指出，动力学基本方程等式右边的力不是某一力，而是作用在质点上所有力的合力。,上
3、一页,下一页,返回,10.2 知识要点,3.质量和重量 质量是物体惯性大小的度量，是物体内所含物质的量，在牛顿力学中是一常量。重量是地球对物体引力大小的度量，即重力的大小，随地理位置的变化而变化，只有在地球引力场(重力场)内才有意义。在重力场内，质量和重量的关系为P=-mg,g为重力加速度，是随地理位置而变化的量，但一般近似取g = 9. 8 m/s2。,上一页,下一页,返回,10.2 知识要点,4.质点的惯性力 惯性力的概念惯性力是质点在力作用下运动状态发生改变时，由于质点的惯性而对施力物体产生的反作用力，它作用在施力物体上，对于施力体来说，这是一个真实的力。如人推车时，车(质点)的惯性力，
4、真实地作用在人的手上。而在应用动静法时，将质点(车)的惯性力加在质点(车)上，这对于运动的质点(车)来说，是一个虚加的力，因为该惯性力并不作用在车上。,上一页,下一页,返回,10.2 知识要点,惯性力的计算 惯性力的定义式为Fg=-ma,即惯性力的方向与质点的加速度方向相反，大小等于质点的质量与加速度的乘积。可见影响惯性力大小的因素是质量和加速度。不能误认为惯性大(质量大)的质点，惯性力就大，只有两个质点的加速度相同时，质量大的惯性力大。若加速度a=0，则惯性力Fg=0。 5.质点的达朗伯原理与动静法 质点的达朗伯原理 在变速运动的质点上除了作用的真实力(主动力和约束力)外，再假想加上质点的惯
5、性力，这些力在形式上构成平衡力系，其方程表达式为F+FN+Fg=0 （1）,上一页,下一页,返回,10.2 知识要点,由达朗伯原理所表述的方程可见，该方程实质上就是动力学基本方程ma=F=F+FN移项的结果。因为Fg=-ma，所以把基本方程等式左边的ma项移到右边，并用Fg表示，则F+FN+Fg=0故质点的达朗伯原理与质点动力学基本方程所提示的质点动力学规律是完全一样的。只不过达朗伯原理中引入了惯性力的概念，而将动力学方程从形式上转换成平衡方程。这样就可以借助于已经熟悉的静力学的解题方法和技巧来求解动力学问题 质点的动静法 根据达朗伯原理、借助于静力学平衡方程的形式，求解质点动力学问题的方法，
6、称为动静法。该方法在工程实际中被广泛应用。,上一页,下一页,返回,10.2 知识要点,6.质点动力学基本方程与质点动静法的应用 无论应用动力学基本方程还是动静法求解质点动力学问题，都需将其矢量方程进行投影，得到投影形式的运动微分方程或平衡方程，现列表10-1总结如下。,上一页,返回,10.3 解题指导,例10-1 如图10-1(a)所示，矿车及矿石总质量为m=700 kg，以速度v= 160 cm/s沿倾角为=15的斜坡等速下滑，动摩擦系数=0.15，求钢丝绳的拉力，并求矿车制动时(制动时间为4s，设在制动过程中，矿车作匀减速运动)钢丝绳的拉力。 本题用质点动力学基本方程和动静法两种方法求解。
7、 解一 应用动力学基本方程 研究对象视矿车和矿石为质点M。 （1）匀速下降时，a=0，受力为重力P，钢绳拉力FT、法向反力FN及摩擦力F如图10-1（b）。,下一页,返回,10.3 解题指导,由动力学基本方程ma=F=P+F+FT+FN 向图示的x轴投影有 max=Fx， 0=-Psin+F+FT （1） 向y轴投影有 may=Fy， 0=-Pcos+FN （2） 由动摩擦定律有F=FN （3） 联立式（2）、（3）得F=Pcos，将F值代入式（1）则有,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,(2)刹车制动时，作匀减速运动，加速度a沿斜坡向上， 且 0.4m/s2。受力如图10-1（c）所
8、示。 由动力学基本方程 ma=F=P+F+FT+FN 向图示的x轴投影有 ma=-Psin+F+FT （4） 向y轴投影有 0=-Pcos+FN （5）F=FN （6） 联立式（4）、式（5）、式（6）可得,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,解二 应用动静法 研究对象 质点M (1)匀速下滑时，由于a=0，所以质点的惯性力Fg=0。质点M受力如图10-1( d)所示，且处于平衡状态。 列平衡方程联立式(1)、式(2)、式(3)解得FT =781.4 N,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,(2)刹车制动时，加速度a沿斜坡向上，则质点的惯性力Fg=-ma，将Fg画在受力 图10-1
9、(e)上，且该力与图示的真实力构成平衡力系。 列平衡方程联立式(4)、式(5)、式(6)解得FT=1 061 N,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,例10-2 单摆的摆长为l，摆球A的质量为m，按 (t以秒计，以弧度计)的规律作微幅摆动，式中0为离开铅垂位置的最大摆角(摆幅)。如图10-2(a)所示，求摆球在运动过程中绳的张力，以及摆球经过最高位置和最低位置时绳的张力。 解一 应用动力学基本方程 研究对象 摆球A 分析力 摆球运动在任意位置时，受主动力P=mg及约束力FT，如图10-2(a)所示。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,分析运动 摆球绕悬点0的摆动规律为 ，其轨迹为
10、圆弧。由给出的运动方程可知，运动开始(t=0)时，= 0，摆球处于运动的最低位置A0。摆球围绕该位置作微幅摆动。 应用自然法，建立自然坐标系。以A0为弧坐标的原点，沿摆球的运动方向，即沿圆弧的逆时针方向取作弧坐标的正向，如图示。 由动力学基本方程 ma=Fi=P+FT 向法向投影有 man=Fn=-mgcos+FT,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,所以式中的速度将其代入FT式，则,上一页,下一页,返回,（1）,10.3 解题指导,式中 。式(1)即为在运动的任意瞬时t（或任意瞬时位置）绳的张力，显然张力FT的大小随时间(位置)的变化而变化 当摆球运动到最高位置时，即摆角达到最大值=0
11、 时，由 可知 ，即 。现将=0及 的数据代入（1），则得到摆球在最高位置时绳的张力，即,上一页,下一页,返回,（2）,10.3 解题指导,当摆球运动到最低位置，即=0时，由 ，可知 ，也即 0，t=0。故将=0及t=0的数据代入式（1），则得到摆球在最低位置时绳的张力，即,上一页,下一页,返回,（3）,10.3 解题指导,解二 应用动静法 研究对象 摆球A 分析力 主动力P=mg及约束力FT，受力如图10-2(b)。 分析运动及惯性力 点A作圆周运动，由 ，可得 ，切向加速度 ，法向加速度 ，则质点A的切向惯性力Fg=-ma，法向惯性力Fgn=-man，将其惯性力画在质点A的受力图上。,上一
12、页,下一页,返回,10.3 解题指导,列法向的平衡方程式(1)与解一所得的结果式(1)完全相同，同样可将最高位置与最低位置的有关数据代入式(1)，即得到这两个特殊位置时的绳子张力。,上一页,下一页,返回,（1）,10.3 解题指导,例10-3 将一质量为m的物体M，自M0处以速度v0水平抛出。设高度h为已知，不计空气阻力，试求物体M的运动方程、轨迹方程及落地时间(图10-3)。 解 研究对象 抛体M 分析力 只受重力P作用 分析运动 运动开始(t=0)时，距地血为h处，抛体M以水平速度v0抛出，作轨迹未知的平面曲线运动。 列运动微分方程 取坐标系Oxy如图。,上一页,下一页,返回,10.3 解
13、题指导,上一页,下一页,返回,由于,所以,由于,所以,由于,10.3 解题指导,上一页,下一页,返回,故抛体M的运动方程为,10.3 解题指导,当抛体落地时y=0，则求得落地的时间为由运动方程消去参数t，则为抛体的轨迹方程(为一抛物线方程),上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,例10-4 上例中其他条件不变，如考虑抛体下落时的空气阻力，且阻力F与抛体的速度v方向相反。而大小成正比，即F=-v，为阻尼系数(图10-4)。试求抛体的运动方程。解 研究对象 抛体M 分析力 重力P及空气阻力F=-v，受力图如图10-4所示。 分析运动 运动的初始条件为t=0时x=0，y=h；vx=v0，vy=0
14、。作未知的平面曲线运动。 列运动微分方程,上一页,下一页,返回,（1）,10.3 解题指导,由于,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,故抛体M的运动方程为,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,解题小结 应用动力学基本方程及动静法两种方法的解题步骤，教材中已作归纳，此处不再复述。求解质点动力学问题可灵活选用其中的一种方法。下面仅就解题时应注意的问题分述如下。 1.应用动力学基本方程解题时应注意的问题 (1)质点的受力分析。在动力学中的受力分析与静力学相同，尽管这时约束反力为动约束反力，但约束性质没有变化，仍需根据约束性质画约束力。对第二类问题
15、要注意分析主动力的性质，是常力或是位置、速度、时间的函数。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,(2)质点的运动分析。一般分析以下两点: 点的运动轨迹是否已知，是直线还是曲线(或圆)，以此确定采用哪种坐标形式的运动微分方程 分析所求解的是哪类问题。如果是第一类问题，加速度必须已知，或根据题目所给出的运动方程(或速度方程)能求出加速度。如果是第二类问题，由于运动是未知的，需通过运动微分方程求运动，因此必须分析和确定运动初始条件，即运动开始(t=0)时，质点的坐标（x0、y0）及速度 。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,(3)建立质点的运动微分方程。必须注意以下几点: 在什么位置建
16、立质点的运动微分方程，要根据题意确定。如题目只需要求某一特殊位置的力或加速度，则在该特殊位置列方程即可。如题目需要任意位置或几个位置的力或加速度时，则必须在一般位置列方程，这个方程适合整个运动过程，即质点无论在何位置、何瞬时，该方程都适用，所求解的结果为一般位置的解。而对某些特殊位置的解，可根据题目的要求，将其特殊位置的参数代入一般位置的解中，来求出特殊位置解的答案(如本书例10-2)。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,选择运动微分方程的坐标形式时，首先要判定质点的运动轨迹是否已知，当质点运动的轨迹已知，特别是作圆周运动时，宜采用自然坐标形式的方程;当轨迹未知时，只能采用直角坐标形式
17、的方程。 列运动微分方程时，一定要根据动力学基本方程的矢量式(ma =F)，将其等式两边的力和加速度向选定的坐标轴投影，并处理好投影的正负号，特别需要指出的是加速度的投影。对第一类问题，加速度是已知的(或经微分运算可求出)，则应按加速度的方向确定投影的正负号(与坐标正向相同为正，否则为负)。对第二类问题，由于加速度是未知的，其投影 均为代数量，所以列写方程时，不需考虑正负号的问题，一律表示为正号，即 或 。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,(4)运动微分方程的解。第一类问题是已知加速度(或根据质点已知的运动，经微分运算求出加速度)，运用运动微分方程直接求得未知力的问题，求解是比较容易
18、的。第二类问题要通过对运动微分方程积分求解，其解算过程是比较麻烦的。在求解中要根据已给出的力的性质(常力或是时间、位置、速度的已知函数)，对微分方程进行分离变量使微分方程变换成可积分的形式，进行积分求解。一般用定积分的方法，解算过程比较简便。下面归纳出分离变量的几种形式，以供参考。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,上一页,下一页,返回,或者,10.3 解题指导,式中 分别为t=0时质点运动的初始坐标和初始速度; 分别为任意时t质点的位置坐标和速度。将初始条件定作积分下限;任意瞬时t的 作为积分上限。 (5)质点运动微分方程的综合问题。在实际中所解的问题，如果是两类问题的综合，一题中既
19、要求运动，又要求某些未知力。对这类问题，通常是先根据已知的力求加速度，然后再用加速度去求未知的反力。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,2.应用动静法解题时应注意的问题 (1)质点的受力分析。除正确地分析质点所受的真实力(包括主动力和约束力)外，关键是在运动质点的受力图上正确地虚加惯性力Fg=-ma而确定惯性力的关键是正确地分析质点的加速度a。对第一类问题加速度a是已知的，则受力图中Fg的方向一定与a反向。对第二类问题，加速度a是未知的，则分别以ax 、ay表示加速度的两个分量，其方向均假设与x、y轴正向相同，即其投影 。Fgx与Fgy则与x、y轴的正向相反，其投影为Fgx= 与Fgy= 。同样，需将Fgx、Fgy虚加在运动质点的受力图上。,上一页,下一页,返回,10.3 解题指导,(2)列形式上的平衡方程。将全部的真实力与虚加的惯性力所构成的假想平衡力系向选定的坐标轴上投影，当运动轨迹已知时，宜采用自然坐标轴。投影时要注意正负号，列出正确的平衡方程。该方程实质上就是质点的运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题，其解法与求解运动微分方程完全相同。,上一页,返回,表10-1,下一页,表10-1,返回,上一页,图10-1,返回,图10-1,返回,图10-1,返回,图10-1,返回,图10-2,返回,图10-2,返回,图10-3,返回,图10-4,返回,
