1、微 积 分微 分 学 的 主 要 内 容 包 括 ： 极 限 理 论 、 导 数 、 微 分 等 。 积 分 学 的 主 要 内 容 包 括 ： 定 积 分 、 不 定 积 分 等 。 微 积 分 是 与 科 学 应 用 联 系 着 发 展 起 来 的微 积 分 是 与 科 学 应 用 联 系 着 发 展 起 来 的 。 最 初 ， 牛 顿 应 用 微 积 分 学 及 微分 方 程 对 第 谷 浩 瀚 的 天 文 观 测 数 据 进 行 了 分 析 运 算 ， 得 到 了 万 有 引 力 定 律 ，并 进 一 步 导 出 了 开 普 勒 行 星 运 动 三 定 律 。 此 后 ， 微 积 分
2、学 成 了 推 动 近 代 数 学发 展 强 大 的 引 擎 ， 同 时 也 极 大 的 推 动 了 天 文 学 、 物 理 学 、 化 学 、 生 物 学 、 工程 学 、 经 济 学 等 自 然 科 学 、 社 会 科 学 及 应 用 科 学 各 个 分 支 中 的 发 展 。 并 在 这些 学 科 中 有 越 来 越 广 泛 的 应 用 ， 特 别 是 计 算 机 的 出 现 更 有 助 于 这 些 应 用 的 不断 发 展 。 编 辑 本 段 一 元 微 分定 义设 函 数 y = f(x)在 某 区 间 内 有 定 义 ， x0 及 x0 + x 在 此 区 间 内 。 如果 函 数
3、 的 增 量 y = f(x0 + x) f(x0)可 表 示 为 y = A x + o( x)（ 其 中 A 是 不 依 赖 于 x 的 常 数 ） ， 而 o( x)是 比 x 高 阶 的 无 穷小 ， 那 么 称 函 数 f(x)在 点 x0 是 可 微 的 ， 且 A x 称 作 函 数 在 点 x0 相 应 于自 变 量 增 量 x 的 微 分 ， 记 作 dy， 即 dy = A x。 通 常 把 自 变 量 x 的 增 量 x 称 为 自 变 量 的 微 分 ， 记 作 dx， 即 dx = x。 于 是 函 数 y = f(x)的 微 分 又 可 记 作 dy = f(x)d
4、x。 函 数 的 微 分 与 自变 量 的 微 分 之 商 等 于 该 函 数 的 导 数 。 因 此 ， 导 数 也 叫 做 微 商 。 几 何 意 义设 x 是 曲 线 y = f(x)上 的 点 M 的 在 横 坐 标 上 的 增 量 ， y 是 曲 线 在点 M 对 应 x 在 纵 坐 标 上 的 增 量 ， dy 是 曲 线 在 点 M 的 切 线 对 应 x 在 纵 坐标 上 的 增 量 。 当 | x|很 小 时 ， | y dy|比 | x|要 小 得 多 (高 阶 无 穷 小 )，因 此 在 点 M 附 近 ， 我 们 可 以 用 切 线 段 来 近 似 代 替 曲 线 段
5、。 编 辑 本 段 多 元 微 分多 元 微 分多 元 微 分 又 叫 全 微 分 ， 是 由 两 个 自 变 量 的 偏 导 数 相 对 应 的 一 元 微 分 的 增量 表 示 的 。 Z=A* X+B* Y+ ( )为 函 数 Z 在 点 （ x、 y)处 的 全 增 量 ， （ 其 中A、 B 不 依 赖 于 X 和 Y， 而 只 与 x、 y 有 关 ， =（ x 2+y 2) (12),A* X+B* Y 即 是 Z 在 点 的 全 微 分 。 总 的 来 说 ， 微 分 学 的 核 心 思 想 便 是 以 直 代 曲 ， 即 在 微 小 的 邻 域 内 ， 可 以用 一 段 切
6、线 段 来 代 替 曲 线 以 简 化 计 算 过 程 。 积 分 有 两 种定 积 分 和 不 定 积 分 。 积 分 是 微 分 的 逆 运 算 ， 即 知 道 了 函 数 的 导 函 数 ， 反 求 原 函 数 。 在 应 用 上 ，定 积 分 作 用 不 仅 如 此 ， 它 被 大 量 应 用 于 求 和 ， 通 俗 的 说 是 求 曲 边 三 角 形 的 面积 ， 这 巧 妙 的 求 解 方 法 是 积 分 特 殊 的 性 质 决 定 的 。 一 个 函 数 的 不 定 积 分 （ 亦 称 原 函 数 ） 指 另 一 族 函 数 ， 这 一 族 函 数 的 导 函数 恰 为 前 一
7、函 数 。 其 中 ： F(x) + C = f(x) 一 个 实 变 函 数 在 区 间 a,b上 的 定 积 分 ， 是 一 个 实 数 。 它 等 于 该 函 数 的一 个 原 函 数 在 b 的 值 减 去 在 a 的 值 。 定 积 分 和 不 定 积 分 的 定 义 迥 然 不 同 ， 定 积 分 是 求 图 形 的 面 积 ， 即 是 求 微元 元 素 的 累 加 和 ， 而 不 定 积 分 则 是 求 其 原 函 数 ， 它 们 又 为 何 通 称 为 积 分 呢 ？这 要 靠 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 的 贡 献 了 ， 把 本 来 毫 不 相 关 的 两 个 事 物 紧
8、密 的 联 系 起来 了 。 详 见 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 。 一 阶 微 分 与 高 阶 微 分函 数 一 阶 导 数 对 应 的 微 分 称 为 一 阶 微 分 ; 一 阶 微 分 的 微 分 称 为 二 阶 微 分 ; . n 阶 微 分 的 微 分 称 为 (n+1)阶 微 分 即 ： d(n)y=f(n)(x)*dxn (f(n)(x)指 n 阶 导 数 ， d(n)y 指 n 阶 微 分 ,dxn 指 dx 的 n 次 方 ) 含 有 未 知 函 数 yt=f(t)以 及 yt 的 差 分 Dyt， D2yt， 的 函 数 方 程 ， 称为 常 差 分 方 程 (简 称
9、差 分 方 程 )； 出 现 在 差 分 方 程 中 的 差 分 的 最 高 阶 数 ， 称 为差 分 方 程 的 阶 。 n 阶 差 分 方 程 的 一 般 形 式 为 F(t， yt， Dyt， ， Dnyt)=0， 其 中 F 是 t， yt, Dyt， ， Dnyt 的 已 知 函 数 ， 且 Dnyt 一 定 要 在 方 程中 出 现 。 含 有 两 个 或 两 个 以 上 函 数 值 yt， yt+1， 的 函 数 方 程 ， 称 为 (常 )差 分方 程 ， 出 现 在 差 分 方 程 中 未 知 函 数 下 标 的 最 大 差 ， 称 为 差 分 方 程 的 阶 。 n阶 差
10、分 方 程 的 一 般 形 式 为 F(t， yt， yt+1， ， yt+n)=0, 其 中 F 为 t， yt， yt+1， ， yt+n 的 已 知 函 数 ， 且 yt 和 yt+n 一 定 要在 差 分 方 程 中 出 现 。 常 微 分 方 程 与 偏 微 分 方 程 的 总 称 。 含 自 变 量 、 未 知 函 数 和 它 的 微 商 （ 或偏 微 商 ） 的 方 程 称 为 常 （ 或 偏 ） 微 分 方 程 。 未 知 函 数 为 一 元 函 数 的 微 分 方 程 ，称 为 常 微 分 方 程 。 未 知 函 数 为 多 元 函 ， 从 而 出 现 多 元 函 数 的 偏 导 数 的 方 程 ，称 为 偏 微 分 方 程 。
