《点集拓扑讲义》第七章 紧致性 学习笔记.doc

1、1第 7 章 紧致性7.1 紧致空间本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法（这些方法哪些是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的在5.3 中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff 空间现在来仿照这种做法，即将 Lindeloff 空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间读者在数学分析中早已见过的 HeineBorel 定理断言：实数空间 R 的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖（在7.3 中我们将要推广这个定理）因此我们现在作的事也应当在意料之中定义

2、 7.1.1 设 X 是一个拓扑空间如果 X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个紧致空间明显地，每一个紧致空间都是 Lindeloff 空间但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindeloff 空间，但它不是一个紧致空间例 7.1.1 实数空间 R 不是一个紧致空间这是因为如果我们设A（n，n） R|bZ+,则 A 的任何一个有限子族 ,由于它的并为第 2 页 * 共 27 页(-max ,max )所以不是 R 的一个子覆盖因此 R 的开覆盖 A 没有任何一个有限子覆盖定义 7.1.2 设 X 是一个拓扑空间，Y 是 X 中的一个子集,如果 Y 作为

3、 X的子空间是一个紧致空间，则称 Y 是拓扑空间 X 的一个紧致子集根据定义，拓扑空间 X 中的一个子集 Y 是 X 的紧致子集意味着每一个由子空间 Y 中的开集构成的 Y 的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由 X 中的开集构成的每一个 Y 的覆盖都有有限子覆盖所以陈述以下定理是必要的定理 7.1.1 设 X 是一个拓扑空间，Y 是 X 中的一个子集则 Y 是 X 的一个紧致子集当且仅当每一个由 X 中的开集构成的 Y 的覆盖都有有限子覆盖（此定理表明开覆盖中的开子集可以是 X 的，也可以是 Y 的）证明 必要性设 Y 是拓扑空间 X 中的一个紧致子集, A 是 Y 的一个覆盖，它由

4、 X 中的开集构成则容易验证集族 A也是 Y 的一个覆盖，它由 Y 中的开集构成因此 A 有一个有限子覆盖，设为 ,于是 A 的有限子族 覆盖 Y充分性，假定每一个由 X 的开集构成的 Y 的覆盖都有一个有限子覆盖设 A 是 Y 的一个覆盖，它由 Y 中的开集构成则对于每一个 A A 存在 X中的一个开集 使得 A= Y因此 A是由 X 中的开集构成的Y 的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 3此时易见 A 的子族 覆盖 Y这证明 Y 是 X 的一个紧致子集下面介绍关于紧致性的一个等价说法定义 7.1.3 设 A 是一个集族如果 A 的每一个有限子族都有非空的交（即如果 是 A 的一个有限子

5、族，则 ），则称 A 是一个具有有限交性质的集族定理 7.1.2 设 X 是一个拓扑空间则 X 是一个紧致空间当且仅当 X 中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交证明 :设 X 是一个紧致空间用反证法设 F 是 X 中的一个具有有限交性质的闭集族设 F 如果，则令 A= F由于所以 A 是 X 的一个开覆盖于是 A 有一个有限子覆盖，设为 从而这说明 F 不具有有限交性质矛盾“ ”，设 X 中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交为证明 X 是一个紧致空间，设 A 是 X 的一个开覆盖我们需要证明 A 有一个有限子覆盖如果 A= ，则 ，这蕴涵 X= 以及 A 的每一个子族都是 X的

6、覆盖以下假定 A 此时 F= |A A便是 X 中的一个非空闭集族，并且 第 4 页 * 共 27 页因此，它不具有有限交性质也就是说，它有一个有限子族其交为空集设 F 的这个有限子族为 ，则是 X 的一个有限子覆盖如果 B 是紧致空间 X 的一个基，那么由 B 中的元素构成的 X 的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖定理 7.1.3 设 B*是拓扑空间 X 的一个基，并且 X 的由 B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖则 X 是一个紧致空间证明 A* 设是 X 的一个开覆盖对于每一个 A

7、 A*存在 B*的一个子族使得令 由于故 是一个由 B*的元素构成的 X 的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 ,对于每一个 ，i=1,2,，n，于是对于 A*的有限于族 有也就是说 A*有一个有限子覆盖 这证明 X 是一个紧致空间5定理 7.1.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:XY 是一个连续映射如果A 是 X 的一个紧致子集，则 f（A）是 Y 的一个紧致子集证明 设 C*是 f（A）的一个覆盖，它由 Y 中的开集组成对于每一个C C*，由于 f 是一个连续映射， （C）是 X 中的一个开集所以 A (C)|C C*是 A 的一个开覆盖由于 A 是 X 的一个紧致子集，所以 A

8、有一个有限子族，设为 ，覆盖 A即 是 C*的一个子族并且覆盖 f（A）这证明 f（A）是 Y的一个紧致子集由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质由此可见，由于实数空间 R 不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间定理 7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集证明 设 Y 是紧致空间 X 中的一个闭子集如果 A 是 Y 的一个覆盖，它由 X 中的开集构成则 是 X 的一个开覆盖设 B1 是 B 的一个有限子族并且覆盖 X则 B1- 便是 A 的一个有限子族并且覆盖 Y这证明Y 是 X

9、的一个紧致子集定理 7.1.6 每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间证明:设(X, T)是一个拓扑空间令为任何一个不属于 X 的元素令X*=X第 6 页 * 共 27 页T*=T X*其中 =E X*|X*-E 是拓扑空间(X, T)中的一个紧致闭集首先验证 T*是集合 X*的一个拓扑(略)其次证明(X*, T*)是一个紧致空间:设 C*是 X*的一个开覆盖则存在 C C*使得C于是 C ,因此 X*-C 是紧致的,并且 C*-C是它的一个开覆盖于是 C*-C有一个有限子族,设为 C1,覆盖 X*-C易见 C1C是 C*的一个有限子族,并且覆盖 X*最后,我们指出拓扑空间(X, T)是

10、拓扑空间(X*, T*)的一个开子空间这是因为 T = 及 X 是 X*的一个开集在以上定理的证明中由拓扑空间(X, T)构造出来的紧致空间(X*, T*),通常称为拓扑空间(X, T)的一点紧化由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质但由定理 7.1.5 可知紧致性是闭遗传的以下定理表明紧致性是可积性质定理 7.1.7 设 是 n1 个紧致空间则积空间 是一个紧致空间证明(略)作业:P188 1457.2 紧致性与分离性公理7本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握 Hausdorff 空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离

11、性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到 Hausdorff 空间的连续映射的一个十分重要的性质定理 7.2.1 设 X 是一个 Hausdorff 空间如果 A 是 X 的一个不包含点xX 的紧致子集，则点 x 和紧致子集 A 分别有开邻域 U 和 V 使得 UV= 证明 设 A 是一个紧致子集，x 对于每一个 yA，由于 X 是一个Hausdorff 空间，故存在 x 的一个开邻域 和 y 的一个开邻域集族 |yA明显是紧致子集 A 的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 ，覆盖 A令 ，它们分别是点 x 和集

12、合 A 的开邻域此外，由于对于每一个 i=1，2，n 有：所以推论 7.2.2 Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集证明 设 A 是 Hausdorff 空间 X 的一个紧致子集对于任何 xX，如果x A，则根据定理 7.2.1 可见 x 不是 A 的凝聚点因此凡 A 的凝聚点都在 A 中，从而 A 是一个闭集推论 7.2.2 结合定理 7.1.5 可见：第 8 页 * 共 27 页推论 7.2.3 在一个紧致的 Hausdorff 空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集为了加强读者对定理 7.1.5，推论 7.2.2 和推论 7.2.3 中的几个简单而常用的结论

13、的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集 紧致子集Hausdorff 空间：闭集 紧致子集紧致的 hausdorff 空间：闭集 紧致子集推论 7.2.4 每一个紧致的 Haudorff 空间都是正则空间证明 设 A 是紧致的 Hausdorff 空间 X 的一个闭子集，x 是 X 中的一个不属于集合 A 的点由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理 7.1.5），所以 A 是一个紧致子集又根据定理 7.2.1，点 x 和集合 A 分别有开邻域 U 和 V使得 UV= 这就证明了 X 是一个正则空间定理 7.2.5 设 X 是一个 Hausdorff 空间如果 A 和 B 是 X 的两个无交

14、的紧致子集，则它们分别有开邻域 U 和 V 使得 UV= 证明 设 A 和 B 是 X 的两个无交的紧致子集对于任何 xA，根据定理7.2.1，点 x 和集合 B 分别有开邻域 集族 |xA是紧致子集 A 的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 ，覆盖A令由于对于每一个 i1，2，n 有 V= ，所以 UV= 由于 Hausdorff 空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理 7.2.5立即有：推论 7.2.6 每一个紧致的 Hausdorff 空间都是 的，9这个结论也可以根据推论 7.2.4 和定理 6.4.3 直接推出根据这个推论联系着表 6.1 并且留意到每一个紧致空间都是 Lind

15、eloff 空间这一事实，我们可有图表 7.1从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单图表 7.1：紧致空间中的分离性公理定理 7.2.7 设 X 是一个正则空间如果 A 是 X 中的一个紧致子集，U 是A 的一个开邻域，则存在 A 的一个开邻域 V 使得 证明 设 A 是正则空间 X 中的一个紧致子集，U 是 A 的一个开邻域对于任何 xA，点 x 有一个开邻域 使得 集族 |xA是紧致子集 A 的一个开覆盖，它有有限子族，设为 ，覆盖 A令 ，它是 A 的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是 L

16、indeloff 空间，所以它明显地蕴涵于定理 6.4.3 中然而紧致的正规空间可以不是正则空间例子见于例 623在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的定理 7.2.8 从紧致空间到 Hausdorff 空间的任何一个连续映射都是闭映射第 10 页 * 共 27 页证明 设 X 是一个紧致空间，Y 是一个 Hausdorff 空间，f:XY 是一个连续映射如果 A 是紧致空间 X 中的一个闭子集则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集 f（A）是 Hausdorff 空间 Y 中的一个紧致子集（参见定理 7.1.4），所以又是闭集（参见推论 7.2.

17、2）这证明 f 是一个闭映射因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论 7.2.9 从紧致空间到 Hausdorff 空间的任何一个既单且满的（即 一的）连续映射都是同胚作业:P192 1.2. 7.3 n 维欧氏空间 中的紧致子集定义 7.3.1 设（X，）是一个度量空间，A X如果存在实数 M0 使得 （x，y）M 对于所有 x，yA 成立，则称 A 是 X 的一个有界子集；如果 X 本身是一个有界子集，则称度量空间（X，）是一个有界度量空间定理 7.3.1 紧致度量空间是有界的证明 设（X，）是一个紧致度量空间由球形邻域构成的集族B（x，1）|xX是 X 的一个

18、开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为B（x1，1），B（x2，1），B（xn，1）令Mrnax(xi，xj）|1i，jn十 2如果 x，yX，则存在 i，j，1i，jn，使得 xB（xi，l）和yB（xj，l）于是11（x，y）（x，xi）（xi，xj）十 （xj，y）M因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集特别 n 维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的下面作为引理给出单位闭区间0,1是一个紧致空间的证明尽管读者可能早已熟知这个结论引理 7.3.2 单位闭区间0,1是一个紧致空间 证明 设 A 是0，1的一个开覆盖令Px0，l| A 有一个有限子族覆盖0，x它是0，1的一个子集对于集合 P，我

19、们依次证明，（l）P 因为显然 0P;（2）P 是一个开集设 xP则 A 有一个有限子族，设为 ，覆盖0，x当x=1 时，易见 P0，l，它是一个开集因此 x 是 P 的一个内点下设x1这时对于某一个 i0,1i0n,有 x .由于 是0，1中的一个开集，所以存在实数 0 使得x，x+) 于是0，x) .这蕴涵0，x+) P由于0，x）是0，1中的一个包含 x 的开集，所以 x 是 P 的一个内点以上证明了集合 P 中的任何一个点都是 P 的内点，所以它是一个开集.（3）P 是一个闭集设 x =0,1-P根据集合 P 的定义可见，x，1 另外根据(1)可见0x.选取选取 A A 使得 xA由于

20、 A 是一个开集，所以存在实数0 使得（x，x A假如（x,xP ，设 z（x，xP则 A 有一个有限子族 A1 覆盖0,z，因此 A 的有限子族 A1A覆盖0，x，这与 x P 矛盾所以（x，xP= ，即（x,x ,从而第 12 页 * 共 27 页(x-,1 ,因此 x 是 的一个内点这证明 是一个开集，即 P 是一个闭集根据上述三条，P 是0，l中的一个既开又闭的非空子集由于0,1是一个连通空间，所以 P=0,1，特别，1P这也就是说 A 有一个有限子族覆盖0，1以上证明了0，1的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故0，1是一个紧致空间任何一个闭区间a，b（ab），由于它和单位闭区间0，1同胚

21、，所以是紧致的并且作为紧致空间的积空间，可见 n 维欧氏空间 中任何一个闭方体 （ab）也是紧致空间定理 7.3.3 设 A 是 n 维欧氏空间 中的一个子集则 A 是一个紧致子集当且仅当 A 是一个有界闭集证明 设 是 n 维欧氏空间 的通常度量“ ”:如果 A 是一个紧致子集，则根据定理 7.3.1，它是有界的；由于 是一个 Hausdorff 空间，根据推论 7.2.2，它是一个闭集“ ”:设 A 是一个有界闭集如果 A= ，则 A 是紧致的下设 A 于是存在实数 M0 使得对于任何 x，yA 有 (x，y）M任意选取 x0A，并且令 N=M 十 （0，x0），其中 0=（0，0，0）

22、容易验证（根据三角不等式）A 因此 A 作为紧致空间 中的一个闭子集必定是紧致的定理 7.3.4 设 X 是一个非空的紧致空间，f:XR 是一个连续映射则存在 x0，x1X 使得对于任意 xX 有f（x0）f(x)f(x1)换言之,从非空的紧致空间到实数空间 R 的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点13证明 由于 X 紧致，故根据定理 714 可见 f（X）是实数空间 R 中的一个紧致子集由于 R 是一个 Hausdorff 空间，所以 f(X)是一个闭集设 m和 M 分别为集合 f（X）的下，上确界，则 m，Mf(X)因此存在 x0，x1X使得 f(x0)m 和 f(x1)=M根据上，

23、下确界的定义立即可见，对于任何 xX有 f（x0）f(x)f(x1).此外，由于 m 维单位球面 是一个有界闭集，所以是紧致的，n 维欧氏空间 不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：定理 7.3.5 设 m，nZ+则 m 维单位球面 与 n 维欧氏空间 不同胚这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子作业:P196 1. 2.7.4 几种紧致性以及其间的关系本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间 中的一个子集A 如果满足以下条件（l）（4）中的任何一条，则满足其他的几条（l）A 是一个有界闭集；（2）A 的每一

24、个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中的每一个无限子集都有凝聚点在 A 中；第 14 页 * 共 27 页（4）A 中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于 A 中的点这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了不难发现这四条中以惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（3）和（4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事本节我们研究这个问题为了研究问题时的方便，引进以下条件（5）作为讨论的中间站（5）A 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖定义 7.4.l 设 X 是一个拓扑空

25、间如果 X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个可数紧致空间以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证定理 7.4.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间定理 7.4.2 每一个 Lindeloff 的可数紧致空间都是紧致空间定义 7.4.2 设 X 是一个拓扑空间如果 X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 X 是一个列紧空间定理 7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间证明 设 X 是一个可数紧致空间为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点假设 X 有一个可数无限子集 A 没有凝聚点首先这蕴涵 A 是一个闭

26、集此外对于每一个 aA，由于 a 不是 A 的凝聚点，所以存在 a 的一个开邻域 使得 A=a于是集族 |aA 是 X 的一个开覆盖由15于 X 是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为 由于 与 A 无交，所以 必定覆盖 A因此，A=( )A=a1,a2,an是一个有限集这是一个矛盾定义 7.4.3 设 是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：对于每一个 iZ+成立，即则称序列 是一个下降序列在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列引理 7.4.4 设 X 是一个拓扑空间则拓扑空间 X 是一个可数紧致空间当且仅当由 X 中任何一个非空闭集下降序列 ，有非

27、空的交，即证明 设可数紧致空间 X 中的非空闭集下降序列 使得于是是 X 的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为由此可得这是一个矛盾另一方面，设拓扑空间 X 中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交如果 X 不是一个可数紧致空间，则 X 有一个可数开覆盖，设为 ，没有有限子覆盖对于每一个 iZ+，令第 16 页 * 共 27 页则 也是 X 的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：因此 是一个非空闭集下降序列，所以 由此可见 也就是说 不是 X 的一个覆盖，这是一个矛盾定理 7.4.5 每一个列紧的 空间都是可数紧致空间证明 设 X 是一个列紧的 空间如果 X 不是一个可数紧致空间，则根据引

28、理 7.4.4，X 中有一个非空闭集下降序列 ,使得 在每一个 中选取一点 ，并且考虑集合 A= 如果 A 是一个有限集，则必有一点 xA 和一个正整数的严格递增序列n1，n2，使得 于是对于任何 iZ+有 x 这是因为，于是 x ，这与反证假设矛盾设 A 是一个无限集由于 X 是一个列紧空间，所以 A 有一个凝聚点，设为 y由于 X 是一个 空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个 iZ+，点 y 也是集合 的一个凝聚点；又由于这也与反证假定矛盾定义 7.4.4 设 X 是一个拓扑空间如果 X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称拓扑空间 X 是一个序列紧致空间定理 7.4.6

29、每一个序列紧致空间都是可数紧致空间17证明 设 X 是一个序列紧致空间， 是 X 中的一个非空闭集下降序列在每 对于每一个iZ+， 根据引理 7.4.4X 是一个可数紧致空间定理 7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间证明 设 X 是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设 对于每一个 iZ+，令 和 于是是拓扑空间 X 中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理 7.4.4，我们有 由于 X 满足第一可数性公理，根据定理 5.1.8，在点 x 处有一个可数邻域基 满足条件： 对于任意 jZ+成立令对于每一个 il，令,于是 是一个严格递增的正整数序列并且 对于每一个

30、iZ+成立我们来证明序列 的子序列 收敛于 x：设 U 是 x 的一个邻域存在某一个 kZ+,使得 ，于是当 ik 时我们有根据本节中的各个定理，我们可以得到图表 7.2第 18 页 * 共 27 页根据这个表立即可以知：推论 7.4.8 设 X 是一个满足第二可数性公理的 空间，A 是 X 的一个子集则下列条件等价：（l）A 的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（2）A 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中的每一个序列都有子序列收敛于 A 中的点；（4）A 中的每一个无限子集都有凝聚点在 A 中特别，对于 n 维欧氏空间 的子集以上推论成立，并且推论中的每一个条件都等价于 A 是一个有界

31、闭集作业:P201 17.5 度量空间中的紧致性本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是 空间，所以上一节中的讨论（参见表 7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间但由于度量空间不一定就是19Lindeloff 空间，因此从定理 7.4.2 并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间本节研究这个问题并给出肯定的回答定义 7.5.1 设 A 是度量空间（X，）中的一个非空子集集合 A 的直径 diam（A）定义为diam(A)=sup(x,y)|x,yA若 A

32、是有界的 diam(A)= 若 A 是无界的定义 7.5.2 设（X，）是一个度量空间， A 是 X 的一个开覆盖实数0 称为开覆盖 A 的一个 Lebesgue 数，如果对于 X 中的任何一个子集 A，只要 diam（A），则 A 包含于开覆盖 A 的某一个元素之中Lebesgue 数不一定存在例如考虑实数空间 R 的开覆盖(-,1)(n-1/n,n+1+1/n) |nZ+则任何一个正实数都不是它的 Lebesgue 数（请读者自补证明）定理 7.5.1Lebesgue 数定理 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个 Lebesgue 数证明 设 X 是一个序列紧致的度量空间， A 是 X

33、的一个开覆盖假若开覆盖 A 没有 Lebesgue 数,则对于任何 iZ+,实数 1/i 不是 A 的 Lebesgue 数，所以 X 有一个子集 E,使得 diam（E）1/i 并且 Ei 不包含于 A 的任何元素之中在每一个 之中任意选取一个点 ,由于 X 是一个序列紧致空间，所以序列 有一个收敛的子序列 由于 A 是 X 的一个开覆盖，故存在 A A 使得 yA，并且存在实数 0 使得球形邻域 B（y，）A由于 ，所以存在整数 M0 使得当 iM第 20 页 * 共 27 页时 令 k 为任意一个整数，使得 kM+2/,则对于任何有（x，y）（x， ） （ ，y）这证明A与 的选取矛盾定

34、理 7.5.2 每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间证明 设 X 是一个序列紧致的度量空间， A 是 X 的一个开覆盖根据定理7.5.1，X 的开覆盖 A 有一个 Lebesgue 数，设为 0令 B=B(x,/3)它是 X 的一个开覆盖我们先来证明 B 有一个有限子覆盖假设 B 没有有限子覆盖任意选取一点 X对于 i1，假定点已经取定，由于不是 X 的覆盖,选取 按照归纳原则，序列已经取定易见对于任何 i,jZ+,ij，有 ( )/3序列没有任何收敛的子序列（因为任何 yX 的球形邻域 B(y,/6)中最多只能包含这个序列中的一个点）这与 X 是序列紧致空间相矛盾现在设 是开覆盖 B 的一个

35、有限子覆盖由于其中每一个元素的直径都小于 ，所以对于每一个 i=1,2,n 存在使得21B( ,/3) 于是 是 A 的一个子覆盖因此，根据定理 7.5.2 以及前一节中的讨论可见：定理 7.5.3 设 X 是一个度量空间则下列条件等价：（1）X 是一个紧致空间；（2）X 是一个列紧空间；（3）X 是一个序列紧致空间；（4）X 是一个可数紧致空间我们将定理 7.5.3 的结论列为图表 7.3 以示强调作业:P205 1本章总结：（1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系（2）度量空间（特别是 ）中的紧致性性质要掌握（3）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵涉到的闭集要注意是

36、哪个空间的闭集7.6 局部紧致空间,仿紧致空间本节重点:第 22 页 * 共 27 页掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系定义 7.6.1 设 X 是一个拓扑空间,如果 X 中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间 X 是一个局部紧致空间由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域n 维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的定理 7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间证明 设 X 是一个局部紧致的 H

37、ausdorff 空间,设 xX,U 是 x 的一个开邻域令 D 是 x 的一个紧致邻域,作为 Hausdorff 空间 X 的紧致子集,D 是 X 中的闭集由推论 7.2.4,D 作为子空间是一个紧致的 Hausdorff 空间,所以是一个正则空间 是 x 在子空间 D 中的一个开邻域,其中 是集合 D在拓扑空间 X 中的内部从而 x 在子空间 D 中有一个开邻域 V 使得它在子空间 D 中的闭包包含于 W一方面 V 是子空间 D 中的一个开集,并且又包含于 W,因此 V 是子空间 W 中的一个开集,而 W 是 X 中的一个开集,所以 V 也是 X 中的开集另一方面,由于 D 是 X 的闭集

38、,所以 V 在 D 中的闭包便是 V 在 X 中的闭包 因此点 x 在 X 中的开邻域 V 使得 因此 X 是一个正则空间定理 7.6.2 设 X 是一个局部紧致的正则空间,xX,则点 x 的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间 X 在点 x 处的一个邻域基证明 设 U 是 xX 的一个开邻域令 D 为 x 的一个紧致邻域,则是 x 的一个开邻域因为 X 是正则空间,所以存在 x 的开邻域 V 使得23闭集 是 x 的一个闭邻域,并且作为紧致空间 D 中的闭子集,它是紧致的以上证明了在 x 的任何开邻域 U 中包含着某一个紧致邻域 从前面两个定理立即可以推出:推论 7.6.3 设 X 是一个局部紧

39、致的 Hausdorff 空间,xX则点 x 的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间 X 在点 x 处的一个邻域基定理 7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间证明 设 X 是一个局部紧致的正则空间我们验证 X 是一个完全正则空间如下:设 xX 和 B 是 X 中的一个闭集,使得 是 x 的一个开邻域由定理 7.6.2,存在 x 的一个紧致闭邻域 V,使得 V 作为 X 的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正则的因而存在连续映射 g:V0,1,使得 g(x)=0,和对于任何 有 g(y)=1定义映射 h: 使得 显然 h 是一个连续映射定义映射 f:X0,1,使得

40、对于任何 zX首先,映射 f 的定义是确切的,因为如果 ,则有 g(z)=1=h(z)其次, 都是 X 中的闭集,从而根据黏结引理,f 是连续的最后,显然有 f(x)=0 及对于根据定理 7.6.1,定理 7.6.4 及图表 6.1,立即可得图表 7.4第 24 页 * 共 27 页定义 7.6.2 设集族 A 和 B 都是集合 X 的覆盖,如果 A 中的每一个元素包含于 B 中的某一个元素之中,则称 A 是 B 的一个加细显然,如果 A 是 B 的一个子覆盖,则 A 是 B 的一个加细定义 7.6.3 设 X 是一个拓扑空间, A 是 X 的子集 A 的一个覆盖如果对于每一个 xA,点 x

41、有一个邻域 U 仅与 A 中有限个元素有非空的交,即:A A|AU 是一个有限集,则称 A 是集合 A 的一个局部有限覆盖有限覆盖当然是局部有限覆盖定义 7.6.4 设 X 是一个拓扑空间,如果 X 的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称 X 是一个仿紧致空间紧致空间自然是仿紧致的离散空间也是仿紧致的,因为所有单点集构成的集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加细定理 7.6.5 每一个仿紧致的正则空间都是正规空间证明:设 X 是一个仿紧致的正则空间,A 是 X 中的一个闭集,U 是 A 的一个开邻域对于每一个 aA,点 a 有一个开邻域 ,使得 从而集

42、族是 X 的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为 ,令25则 是 A 的一个局部有限的开覆盖于是是 A 的一个开邻域以下证明 如果 ,由于 是局部有限的,所以 x 有一个邻域 W 只与 中有限个元素 有非空的交,于是这证明了定理 7.6.6 每一个仿紧致的 Hausdorff 空间都是正则空间,因而也是正规空间证明:设 X 是一个仿紧致的 Hausdorff 空间,兹验证 X 是一个正则空间如下:设 xX,B 是 X 中的一个不包含点 x 的闭集,对于每一个 bB,存在 x 的一个开邻域 和 b 的一个开邻域 ,使得 特别, 集族是 X 的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为 令集族

43、是 B 的一个局部有限的开覆盖令V 是闭集 B 的一个开邻域我们有 (x 有一个邻域 W 只与 中有限个元素有非空的交,因此 W 也只与 中有限个元素,设为有非空的交如果 则第 26 页 * 共 27 页因此存在某一个 然而易见 于是得到矛盾)因此 是 x 的一个开邻域此外显然根据定理 7.6.5,定理 7.6.6 及图表 6.1 我们有图表 7.5:引理 7.6.7 设 X 是一个满足第二可数性公理的局部紧致的 Hausdorff 空间则 X 有一个开覆盖 满足条件:对于每一个 ,闭包 是一个包含于 的紧致子集证明(略)定理 7.6.8 每一个满足第二可数性公理的局部紧致的 Hausdorff 空间都是仿紧致空间证明(略)推论: 是一个仿紧致空间根据定理 7.6.8,可得图表 7.627作业：P212 12