1、微 积 分 初 等 化 的 几 个 问 题张 景 中经过多年的探讨研究，特别是近一年的准备，微积分的初等化即将进入教学实践。这是高等数学教学一次大的改革。数学教学活动是一个复杂的系统工程，每一个细节的处理都关乎成败。不少老师提出了宝贵的见解，这里就几个关键问题向大家汇报请教。教学实践中会遇到这样一些具体问题：(1)首先，如何让下面这个导数定义显得自然直观？本来的自然表述是：也就是说，当 h 无限接近于 0 时有：如何用数学语言表示“无限接近” ，曾经是百年难题。现在，我们用一个不等式，就轻松地实现了这个目标：目前这样刻画“无限接近”还是充分而不必要的。理解了这个不等式，很容易把它发展为充分必要
2、的描述“无限接近”的不等式。(2)如何从这个导数定义展开？首先要证明唯一性。再推出下面这个微分学最基本的定理：于是立刻得到一个推论：这就有了(3)中值定理的代替之物：（4）进一步得到柯西定理的代替物，也是泰劳公式的基础（5）用“差商有界”代替连续性（6）泰劳公式的引入和证明的关键(7) 如何定义定积分？直接用定义验证，得到强可导函数和积分体系的关系：(8)微积分的基本定理(9)定积分的应用(10) 新旧系统，何时接轨？(11)多元微分，如何处理？这样大的改革，教学实践中还会发现新的问题。这些新的问题给我们提供研究的活力和素材，使微积分的教育数学研究更加深入。易 懂 易 学 的 微 积 分 教
3、学李 尚 志微积分基本概念（一）导数路程 s（t） 速度 v（t）速度=路程/时间时刻 t 的瞬时速度：瞬时=？tt+d 的平均数速度（s(t+d)-s(t)）/d,d 0微积分基本概念（二）定积分速度 v（t） 路程 s（t）路程=速度*时间速度变化怎么办？分段计算： *iist各段相加： , t 01i微积分基本概念（三）微积分基本定理飞檐走壁之电影实现 2024.9.88?1sttvtvsaatv函数图像Sin(x)及其 Tylor 逼近 4 6 5 1 Sin(x)+ Sin(3x)/3+ 65 5 5 n = 6 电子琴为什么能模拟不同乐器的声音 不同乐器的声音区别 音色。 y= A
4、 sin(kt). k 音调,A 响度， ？ 音色 sin(x)+sin(3x)/3+ 的图象 y=a1sin(wt+b1)+a2sin(2wt+b2)+ 音色 波形 系数 a1 , a2 , . . .比例sin (1/x) 在 x=0 附近-1,1 -0.01,0.01sin x 与 lg x 的导数 sin x 在 x=0 的导数 以 10 为底的对数 y=lg x 在 x=1 处的导数k = lg(1+t)/t = ?0limt 函数 y = (lg x)/k = logb x 在 x=1 处的导数等于 1, 其中 b = = ? 1k调和级数 H（n）= 1+1/2+ +1/n 的图
5、象 与 ln x 相比较 c = (H(n) - ln n) 称为欧拉常数 limn多元微积分的线性代数模型 微积分的基本思想: 非线性 线性 线性代数: 研究线性 多元函数: z = f(x,y) Dz=aDx+bDy+d(Dx,Dy)的计算 想一想：怎样算 当一回祖冲之 1 圆的面积无穷基数法 3579arctn/xxx /4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9- 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan 1/2 + arctan1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239蒙特卡洛法 6 4 6 球面
6、镜的反射2 4 6 8 2 6 4 8 5 1 2球面镜的反射 正确的聚光镜形状1 2 3 41234网上资源http:/ 精品课程 国家级 数学实验(2003),线性代数(数学专业)(2004) http:/ 常用连接 网上数学实验线性代数(非数学专业 )(2006)http:/ 个人主页http:/ 比梦更美好比梦更美好之二 - 名师培养了我数学聊斋二则数学诗选http:/ 峨嵋山的佛光之二 指鹿为马之幼儿版博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪5 5 234狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少 3 位)原码: 010011101011 传输错码: 0100101010
7、11 纠错最接近的合法码如 何 将 数 学 教 的 更 明 白韩 云 瑞一、用教育数学指导数学教学教育数学思想对于数学教学的启示1什么是教育数学“教育数学”是张景中院士根据欧几里德的几何原本 、柯西的分析教程和布尔巴基的数学原理等教育数学大师的著名范例，创造性地提出并倡导的一个全新的理论。这门科学的任务是：基于数学教育的需要，根据教育数学的规律，对于数学研究成果进行数学上的再创造，提供教学法加工的材料。教育数学是介于数学和教育学之间的、以数学为主体的新兴的交叉学科。教育数学是一个全新的理论，一门新兴的学科。 数学的三种形态：原始形态，学术形态，教育形态“教育数学”是具有教育形态的数学或者说：教
8、育数学的任务就是构建具有教育形态的数学数学教育的任务是使教育适合于数学；教育数学的任务是使数学适合于教育数学家的研究成果很难直接成为教学内容，需要进行数学上的再创造，才能将这些成就成为符合教育基本规律的教材这是衔接数学成就和数学教育的不可或缺的链条，这就是教育数学的任务教育数学研究那些问题？1）对于已有数学知识在体系结构的简约性和知识传播的有效性上进行再创造，以最简洁明了、易于接受的逻辑体系向学生提供最值的传授的数学知识2）优化数学知识的表述方式，使得教材更加科学、更加平易，更加符合教育规律从数学本身化解教学难点，而不是通过教学法化解难点3）研究适合于现代教育技术和传播技术的数学知识的表现方式
9、，发挥现代技术的优势2研究得越透彻，呈现的就越简单有些知识点之所以成为教学难点，是因为我们研究得不够透彻数学教育的任务是由数学本身的研究来化解教学难点，而不是用教学法化解难点1）严格的极限概念和 表述的极限概念是微积分的难点之一。怎样化解这个教学难点NA、正确理解严格极限概念出现的历史背景和在微积分中的作用和 方法对于微积分的主要作用是：以科学的方法阐述导数和积分等重要概念，化解了微积分面临的巨大危机。在微积分中引入严格的演绎推理，使微积分摆脱了对于几何直观与物理意义的以来。B、另一方面这种方法的功能仅仅是对于又有知识的正确陈述，不是创造新知识的途径。2）揭示极限概念包含的哲学内涵和美学意境有
10、限与无限的辩证法：看起来是一个近在咫尺的过程，极限概念将其拉长成为一个无限变化过0limxfA程。然后用算术化的方法描述这个过程：用常数 、 和不等式刻画这个过程的特点。0fx方法的基本特征：算术化；颠倒因果关系实现的基本目标：可观测数列极限的意境：lim0,|.n naANaA意境：无限追求，义无反顾3）了解直观极限概念缺陷不可观测，因而不能由于演绎推理不能运算，因而不能赋予代数结构不可靠，因而可能得出错误的结论语言建立的极限论成功地建立了微积分的基础。成功地关键是避开了“无穷小量”，而使用算术化的方法、用有限表述无限，用“任意小”描述“无穷小”. 但是对于数学上的“无穷小世界” 的性质和结
11、构的认识，这种方法是无能为力的后来产生的 “非标准分析”和其他数理逻辑领域中有关于无穷小的概念和逻辑体系，试图从另外的角度解释微积分的问题，并且企图使数学上的无穷小集合与物理学上的微观世界相联系，则是另外一个研究领域4）恰当的教学定位，合理的教学要求用简单的例题、简洁的过程，诠释极限概念体现的思维方式和论证方法避免繁杂的技巧和计算的枝节冲淡主要的思想阿基米德公理： ,0Z,abnstab例 1 用极限概念证明 10lim2n证明：第一步 对于 进行恒等变形和适当放大：|aA10922(1)nn第二步 对于任意给定的 ，求满足要求的 ，对于任意给定的正数 ，取自然数 ，NN满足 ，只要， ，就有
12、 50NnN102n5n.0于是由极限概念得到 lim.1n例 2 2如何表述傅里叶级数收敛条件？局部化原理狄尼判别法 狄利克雷判别法f (x) 逐段光滑 f (x) 逐段单调对于非数学专业的学生，逐段单调要比逐段光滑更加直观、平易而且在数学上也更切中要点3追求体系的简约和表述的平易张景中对于数学知识结构和表现方法提出的标准：1.逻辑结构尽可能简单；2.概念引入要平易直观；3.要建立有力而通用的解题工具。张景中院士的教学目的和教学三原则：一个目的：把数学变得容易些！教学三原则：1. 在学生头脑里找概念 2. 从概念里产生方法 3. 方法要形成模式在科学性基础上追求逻辑系统的简约，能够达到系统简
13、明、条理清晰和易于掌握的效果例如：多元函数微分假设在点 存在两个偏导数 . 是 和 的线性函0(,)xyxyf、 xffyxy数。 00(,)f如果 ，则称 在点 可微.00(,)xyfxy(,)fxy0(,)xyf和 的 线 性 函 数 0(,)fx称 为 在 点 的 微 分这种表述方式的优点：1 平易而不失科学性；2简约；3有效概念本身明确了微分与偏导数的关系，解决了相关的计算问题，省去了有关可微性、偏导数存在性的多余讨论 可微性的充分条件、复合函数微分法证明都变得简单判定函数可微性题目也简单了适当放松对于抽象度和形式化的追求，可以使数学更加容易和有效，并且不影响科学性4澄清误解，科学准确
14、地把握概念两个不同的微分概念牛顿和莱布尼茨及其以后的很长的一段时期中， “微分” dx 和 dy 都是所谓的“无穷小的数”不等于零、但是小于任意正数函数 y=f (x) 的导数就是函数微分 dy 与自变量微分 dx 的比值基于这种理解，莱布尼兹将导数称为微商，并将导数表示为 ，这个“微分”x已经被抛弃了。现在教科书中的“微分” 是另外一个不同的概念这两个概念经常被人们互相混淆在微积分发展的很长一段历史时期， “对函数进行微分”，就是指求函数的导数微分运算就是指导数运算微分法就是指对于函数求导数的法则直到现在，西方的许多教材仍然以沿袭这种处理方法 微分学和积分学的划分微积分学的两大基本问题：求导
15、数，求(定) 积分求原函数问题属于微分学范畴 “不定积分”是一个不甚确切的名称 什么是微分和积分的互逆关系第一、 先微分（求导数）后积分则还原：（牛顿莱布尼茨公式）()d()baFtbFa第二、 先积分后微分（求导数）则还原：（变上限积分求导公式）()()xaftfx柯朗说，由 求积分导致 的过程可以通过对于 求微分（即求导数）()x()Fx使之还原，这就是微积分基本定理二、 提高数学教学的文化品位,揭示数学的哲学内涵数学，特别是微积分具有丰富的文化内涵包括数学的创新思维方式、哲学内涵与美学意境、历史发展和数学家创造精神教师通过数学研究和学习的积累，可以使自己的数学文化修养逐步沉淀于数学教学之
16、中教师的文化修养越是深厚，课堂教学就会更多地浸润文化气息这种文化气息能够为感染学生、使他们受到启示，受到学生的欢迎揭示数学的哲学内涵.从古希腊时代开始，数学与哲学、美学就结下不解之缘。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，辩证法进入了数学 ”作为人类文明的重要成果，微积分的原理和方法包含丰富的辩证思想.在教学过程中阐明微积分中的辩证思想和方法，不仅能够帮助学生从更高、更深的角度理解掌握微积分的原理和方法，而且能够提高运用微积分的方法的自觉性，有助于培养创造能力。在教学中揭示各种概念之间的辩证关系，是提高教学水平的有效途径之一。1)有限和无限的辩证关系：无限和有限是相反的概念，但
17、是无限的概念是借助有限表述的两个概念之间的桥梁是极限。2)函数的局部性质和全局性质是两个相反的概念，在一定条件下，局部性质可以转化为全局性质3)极限是因变量随自变量的变化趋势，但是极限概念必须用常量和不等式表述，颠倒变量的因果关系才能够使极限概念具有可观测性 4)微积分主要研究非线性、非多项式的函数，但是用线性函数和多项式近似地表示函数是研究函数的重要方法5)数学的体系结构和证明必须符合逻辑，但是数学的创造发明是非常不合逻辑的. 数学方法论中的辩证法：繁与简、难和易、一般与特殊的关系及处理方法。在数学问题中， “繁” 与“ 简”、 “难”和“ 易”是相反的概念，但是借助于一定的方法， “繁”可
18、以转化为“ 简” ；“ 难”可以转化为“易”。笛卡尔创造了一整套寻求真理的方法。其中第二条原则是“ 把大问题分解为一些小难点”，第三条原则是“由简到繁”。笛卡尔的方法论对于数学产生了深刻的影响。为了达到抽象性和一般性的目标，首先必须追求平易和自然张景中先生有一句著名的话： “从学生头脑中找概念” 。在数学教学过程中，不管是概念的引入方式，还是定理证明的思路，应当尽量自然，尽量与学生已有的经验衔接。 对于纯数学来说，抽象化和形式化是一个重要特征，但是数学教学应当避免对于抽象和形式化的过度追求。 演绎推理与归纳的辩证关系：数学不承认直观感觉和归纳得到的结论。但是基于直观观察的归纳推理是数学创造的重
19、要途径。张景中先生指出：在某些情形，归纳推理也可以证明定理在数学王国的某些角落里，归纳法可以有效地证明一般性的命题，甚至可以用一个特例证明一般的命题张景中、杨路提出的举例证明几何定理的方法：为了判定某个几何命题真假，只需检验若干普通的例子 （张景中：数学与哲学 ）体验数学美著名数学史家克莱因指出：“在判定数学的价值方面方面，美的满足与实用的、科学的标准并驾齐驱。 ”数学美：简约、清晰、井然有序，对称与和谐，数学的奇异之美。数学之美不仅是可供欣赏的艺术，启发创造思维的工具。在微积分中，数学的奇异之美往往可以激发学生的学习兴趣和创造意识。数学餐桌上的文化甜点提高文化素养定义：文化的内涵：思维方式
20、行为准则 价值取向 审美情趣深厚的文化底蕴，特别是中国古典文化底蕴，可以使人避免浮躁，善于思考不仅能够提高做人的境界，也有助于事业的成功。科学家的价值观：德谟克里特: 宁肯找到一个因果解释，不要十个波斯王位 三、 开启培养创造能力的窗口 非逻辑思维能力的培养 用图形思考问题， 在类比中发现定理 证明过程中的合情推理 用研究的方式解决问题 直觉判断与猜测， 数学软件辅助探索与发现 演绎推理证明， 数值模拟进行验证数学的二元性归纳和演绎归纳是发现和创造的途径，演绎推理能够确定种发现的正确性。数学定理从哪里来？怎样发现可能的定理？1. 经验是追最主要的、最能导出成果的经验如果能够被证明，就会成为定理
21、；微积分的许多定理都是由经验得到的2. 归纳在相似中发现规律，在个别中发现一般；科学家处理经验的方法，通常称作归纳法归纳常常从观察开始3 类比根据两个对象内部属性、关系的某些方面相似，推出它们在其它方面也可能相似的推理触景生情,移花接木；数学家常常用数的性质说明图形的事实，也用图形的性质来说明数的事实，因此数与形有多方面的类比 （据说 90的数学家用图形思考问题）与极限有关的，无限和有限的类比，无穷级数与有限和，级数与积分，瑕积分与无穷积分，微分法与差分法，线性微分方程与线性代数方程的类比其中，有限与无限的类比特别吸引人，因为这种类比有其特有的困难和危险，它既可以引向发现，也可以导致错误。4
22、论证推理与合情推理波利亚：我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据论证本身并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识我们所学到的关于世界的任何新知识都包含着合情推理波利亚：对于有才干的工科学生来说，比起严格的证明来，他们更容易接受阐述得很好的合情推理论证法，并且他们对这样的证明都留下了良好的印象5 合理猜想波利亚：在数学教学中必须有猜想的地位教学必须为发明作准备，或者至少给一点发明的尝试解决任何简单的、但不仅仅是套用公式的数学问题，都会给你带来紧张和发现的喜悦。对一些教师来说，教学是一套严格的证明系统，对于正在积极搞研究的数学家来说，数学也许往往像是猜想游戏：在你证
23、明一个数学定之前，你必须猜想到这个定理；在你清楚证明细节之前，你必须先猜出证明的主导思想。6 探索与发现借助于数学软件研究问题和应用案例.设计数学问题和应用案例，指导学生对于问题作必要的理论分析，猜想可能的结论和解决问题的方向运用数学软件（Mathematica 等）进行数值分析和图形观察，发现规律与答案如有可能，最后用演绎推理进行严格证明四、 驾驭课堂教学的艺术数学基础课程，特别是大班教学，很难做到以学生为中心，采取启发讨论式教学教师主导、师生互动的模式可以取得较好效果自信而从容不迫，热情、幽默能够帮助教师树立良好的形象，有利于学生的注意力集中板书清晰，如果有条件，可以用多媒体搭配黑板，例如
24、作图和一些定理和概念的陈述如果多媒体运用得当，清楚、美观的大屏幕能够使人赏心悦目，情绪放松制作不精、使用不当则起反作用增强课堂的节奏感根据有关的研究，最多 20 分钟学生就会感觉疲劳，这时需要通过各种方式调节课堂气氛提问，转换话题，展示一个准备好的小栏目，或故意出现一个明显的错误将学生的精力重新拉回来如果出现某种失误，例如思路中断、计算错误要果断地、尽量巧妙地转换话题否则会使教师被动，课堂涣散，甚至失控合理的心理引导：过分依赖教师，百分之百听懂某些不能讲透的内容明确告知学生，留给他们自己。适时地转换教学方式，避免单调多用类比、图形、实例和演示重新激发兴趣结 束 语教育数学是数学教学的一面镜子。
25、教育数学的研究能够提高数学教育水平和效率。在教育数学领域可以开展许多有意义的研究工作。浅 谈 微 积 分 初 等 化 与 职 业 学 院 高 等 数 学 教 学 改 革鲁 东 大 学 唐 瑞 娜尊敬的各位领导、专家、学者、同行、朋友们：大家好!本人三十多年来一直在鲁东大学教书，不曾在高职高专任过教，只是在 04 年主编了两套 21 世纪高职高专理工类和经管类高等数学的规划教材，并在教材编写之前，对高职高专的高等数学教材及教学情况做过一定范围的调查，所以对职业学校高等数学的教学改革应该是没有太多的发言权的，有点认识也是粗浅的，因此对微积分初等化与职业学校高等数学的教学改革的问题的探讨，只能是浅谈
26、了，不当之处，敬请大家批评、指正。怎样将微积分的初等化与职业学校高等数学的教学改革联系起来呢？首先让我们来一、浅析（一下）职业学校高等数学教学的现状高职、高专教育是我国高等教育的重要组成部分，它的根本任务是培养生产、建设、管理和服务第一线需要的德智体美全面发展的高等技术应用型专门人才，所培养的学生应重点掌握从事本专业领域实际工作的基本知识和职业技能。要达到这个目的，就要掌握相应的专业知识，而高等数学就是服务于各类专业的一门重要的先修课和必须的基础课。基础不牢，难有深造。微积分是高等数学的主要内容，是现代工程技术和科学管理的主要数学支撑，也是高职、高专各类专业学习高等数学的首选。要进行高职高专的
27、高等数学的教学改革，对微积分的教学的研究当然就应该列在首位了。怎样改革微积分的教学？首先应是教材问题。过去专科教学往往用的都是本科教材。到了九十年代初，国内开始有了专科层次的高等数学教材，但从本质上讲，仍旧是本科的压缩。在我当时的调查中，就发现有的职业学校的高等数学教材很不实用，有些比某些本科院校的高数教材内容都难、都全。进入二十一世纪后，教育部先后召开了三次全国高等职业教育产学研经验交流会，明确了高等职业教育要“以服务为宗旨，以就业为导向，走产学研结合的发展的道路” ，这为高职办学指明了方向，也为高职高专数学教育的改革指明了方向。在教育部的指导下，成立了“21 世纪高职高专教育教材研究与编审
28、委员会” ，推出了一系列的各类高职高专教材，其中也包括了各种各样的高职高专的高等数学教材。现在的高职高专的高等数学教材都注重了教材的定位与实用性。从许多申报高职高专高等数学优质课的材料中可以看出，多数学校在高等数学课程体系的构建中，一般都采用了模块式的分层次教学，选用了相应的适用的教材。在我们编写的高职高专教材中，就特别注意了教材的针对性及定位的准确性以高职高专院校的培养目标为依据，以适用、够用、好用为指导思想，在体现数学思想为主的前提下删繁就简，深入浅出，做到既注重高等数学的基础性，适当保持其学科的科学性与系统性，同时更突出它的工具性；另外注意教材编排模块化，为方便分层次、选择性教学服务。在
29、高等数学的教学上，现在的高职高专院校都基本改变了过去重理论轻应用的思想和现象，确立了数学为专业服务的教学理念，强调理论联系实际，突出了“应用”的主旨；增加了数学实验内容，提高了学生运用数学及计算机技术解决实际问题的能力，增加了数学建模的内容，引导学生去怎样用数学。有的院校还提出了“项目法教学” ，以实际项目带动教学，让学生在干中学，学中干等等。事物都是一分为二的。由于强调学生应用能力的培养及实践活动的增多，所以许多职校的基础课时被普遍削减，高等数学课也不例外。理论教学被淡化，定理不用证明；许多概念被弱化；只要记住公式，会计算、会应用即可。这样以来，就出现了一个问题：学生的数学思想的培养大打折扣
30、了。我们知道，数学在形成人类理性思维方面起着核心的作用，许多数学系的毕业生都有这样一个体会：在工作中真正需要用到的具体数学分支、具体的数学定理、公式和结论，其实并不很多，学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处，但所受到的数学训练、所领会的数学思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。因此，如果忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生的数学素质的提高，那么学生即便记住了数学公式和定理，也难免沦为一堆僵死的教条，难以谈什么灵活应用了。另外，数学概念的抽象性决定了数学应用的广泛性，弱化了数学概念，何以谈应用？何以谈数学建模？要知道，要把实际问题转化为一个数学问题
31、，主要靠的是数学的抽象，靠的就是对数学概念的深刻理解。所以，在微积分的教学中，能尽可能多的渗透一些数学思想，让学生尽可能多的掌握一些数学思想，应该是我们教学改革的目标之一吧。另外数学是工具，是服务于社会各行各业的工具，作为工具，它的特点应该是简单的。能把复杂问题简单化，才应该是真数学。因此，若能在高职高专的微积分教学中，用简单的初等的方法解决相应问题，让学生了解同一个实际问题，可以从不同的角度、用不同的数学方法去解决，这对开阔学生的学习视野，提高学生运用数学的兴趣与能力都是很有帮助的，这也应该是我们教改的又一个目标吧。而微积分初等化就可以在一定程度上实现上述两个目标二、微积分初等化利弊的探讨什
32、么是微积分的初等化？所谓微积分的初等化，简单的说就是不讲极限，而直接学习导数与积分。1、利（1）符合人们的认知规律与数学的发展过程。纵观微积分的发展史，是先有了导数和积分，后有的极限理论。因为实际生活中的大量事物的变化率问题的存在，有各种各样的求积问题的存在，才有了导数和定积分的产生；为使微积分理论严格化，才有了极限的理论。而我们现在向学生介绍的顺序正好是倒过来了，学生往往会误以为是先有了极限，才有的导数与积分。这与人们的认知过程是不符的。（2）顺应了当前提倡的“问题驱动的数学研究”思想与方向。李大潜院士在 2006 年全国数理科学部科学基金项目研究成果报告会上的报告中，提出了关于大力提倡和推
33、动以问题驱动的应用数学研究的建议。我认为，不仅数学研究应如此，数学教学也应如此。学习微积分，就是要由实际问题驱动，通过为解决实际问题而引入、建立起来的导数与积分概念的过程，使学生学会数学地处理实际问题的思想与方法，提高他们举一反三用数学知识去解决实际问题的能力。按传统的微积分内容的教学处理，数学的这种强烈的应用性被滞后了，因为它要先讲极限理论，而在初等化的微积分中，上来就从实际问题入手，撇开了极限讲导数、讲积分，正好顺应了用“问题驱动数学的研究、学习数学 ”的时代潮流。（3）有利于培养、提高学生的公理化的数学思想我们一直强调要对学生进行数学素质的培养，其中重要的是对学生数学思想的培养。数学思想
34、包括两个部分：论证的思想和公理化的思想。论证的思想和公理化的思想是数学最重要的特点之一。论证的思想学生在中学时就已经接触到了，也比较熟悉了。在传统的微积分教学里，也不乏论证的思想。而对公理化的数学思想，学生虽然在学习平面几何时有所认识，但总的说来，对于公理化体系的如何建立还是比较是陌生的。什么是公理化的思想呢？公理化思想是对一些在实践或理论中得到的零散、不系统的知识和方法进行分析，找出一些不证自明的前提（公理） ，从这些前提出发，进行逻辑地论证，形成严密的体系。这种思维模式不仅对于数学的发展，而且对于科学的发展和人类思想的进步都起了重要的作用。在西方，公理化的数学思想已经融入到了文化传统中了。
35、西方的科学家和思想家常常以这种思维模式来思考和研究科学、社会、经济以至政治问题。例如，牛顿从他著名的三定律出发，演绎出了经典力学系统；美国的独立宣言的作者也试图借助公理化的模式使人们对其确实性深信不疑；马克思从商品出发，一步步演绎出资本主义经济发展的过程和重要结论，这个过程也受到了公理化思想的影响，但对这么重要的公理化的数学思想，在我们高职高专乃至在许多本科院校非数学专业的数学教学中是接触不到的。因此，若能在微积分教学中，进行公理化数学思想的教育与渗透是件十分有益的事情。这一点，在初等化的微积分中就可以得到了实现。在初等化的微积分中,积分概念就是建立在公理化的体系之上的.由积分学的建立,学生可
36、以了解数学的公理化体系的建立过程，学习公理化方法的本质，学习如何用分析的方法，从纷繁的事实中找出基本出发点，用讲道理的逻辑的方式将其它事实演绎地陈述出来,这对学生将来用数学是大有益处的，也为将来进一步学习打下了基础。（4）有利于培养学生的发散思维及探索精神在初等微积分中，通过对实际问题的分析引入了强可导函数的概念，使学生清楚的看到，问题是怎样提出的，数学概念是如何形成的。类比中学已经接触到的用导数描述曲线切线斜率的问题，使学生了解到同一个实际问题可以用不同的数学方式去解决的事实，从而可以有效的培养学生的发散思维及探索精神。（5）有利于掌握用已知的简单的知识去解决新问题的方法在高职高专的高等数学
37、教学中，极限的讲述是描述性的，是不用 语言的，这就使学生减少了一个培养逻辑推理、论证思想的机会，而在初等微积分中，导数的概念完全用学生已经熟悉的不等式和绝对值的知识来严格定义的，与 理论相比，难度大大下降，体现了数学的简单美。2、弊(1)从学生毕业继续深造角度看，高职高专中微积分完全初等化不太现实我国的高等教育已经从精英化走向了大众化，这个变化使得现在高校毕业生就业形势越来越严峻，就业压力越来越大，用人单位对应聘人员的学历要求越来越高，针对这一现实状况，不少的高职高专的学生毕业后还要继续深造，可能要升本、以后还可能要读研，这些目标的实现，都是需要参加考试的，所以高职高专所开设的高等数学课还要与
38、现实接轨，与实现上述目标尽可能的挂上钩，接上碴儿。由于微积分的初等化现在还只是刚刚开始、没有普及，所以升本、考研的数学题目必然是传统的内容与思想方法，如果高职高专的高等数学中的微积分的教学完全初等化的话，那么势必要影响学生的考试分数及升学率。毕竟在升学问题上，现在分数还是决定一切的。（2）从高职高专高等数学教学计划课时看，微积分完全初等化也是不太现实的若要考虑（1）的情况，最好是既讲传统微积分，又能讲初等化的微积分。但高职高专高等数学的教学课时比本科的要少的多，因此上要做到这一点是不大可能的。（3）从高职高专的学生数学基础看，微积分完全初等化也是行不大通的。近几年来，随着国家对职业教育的重视和
39、政策的调控以及社会对专业技术人才的需求形势的变化，职业学校的规模得到了快速发展，招生范围也大大扩大，同时也带来了一个问题，就是学生的文化基础参差不齐，有的二百来分就上了学。这些学生成绩不高的背后，往往反映出他们的数学思维能力低、数学思想差的特点。让这样的学生学习突出强调数学思想的初等微积分是比较困难的。那么，鉴于以上原因，高职高专的微积分教学怎样与初等化联系起来进行改革呢？对此，我谈谈自己的想法。三、对职业学校微积分初等化教学的设想我觉得在高职高专中微积分的教学中，一方面要渗透数学思想，同时也要兼顾学生继续深造的实际情况。所以职业学校高等数学中微积分初等化的教学可以这样进行：设想一：1、微分学
40、部分采取：传统的“头”初等化的“尾” 的讲法即“头”是传统的，按传统的方法，依次讲授“极限连续导数微分微分学的应用”，其中极限理论抓住无穷小这个重点，使学生掌握将极限问题的论证化为对无穷小的讨论的方法；“尾” 引进强可导的概念，简单介绍强可导函数的性质及与点态导数的关系，把“微分的初等化”作为微分学的后缀，为后面积分概念的引进及积分的计算奠定基础，架起桥梁。此举不仅在于使学生获得又一种定义导数的方法，更重要的是，可以揭去数学概念神秘的面纱，开阔学生的眼界，丰富学生的数学思维，激发学生敢于思考、探索、创造的自信心，2、积分学部分采取：初等化的头传统的尾的讲法积分学的“头”通过实际问题驱动，引入、
41、建立公理化的积分概念，再利用强可导函数的相关性质推出 NL 公式，解决积分的计算问题。最后从求曲边梯形面积外包、内填的几何角度，介绍传统的积分定义的思想。这样处理的结果，不但使学生学习了积分知识，而且能够使学生学到数学的公理化思想，学到解决实际问题的不同数学方法，对培养、提高学生的数学素质是大有好处的。设想二：由于导数、积分等概念只不过就是一种特殊的极限，若将极限初等化了，导数、积分等自然就可以初等化了，所以可以不改变原来的传统的微积分讲授顺序，只是重点将极限概念初等化一下即可，也就是不用 语言，而是用绝对值不等式及张景中院士创造的 D语言来讲极限（这个问题，后面我们的邹慧超老师将要介绍） ，
42、这样的讲法，虽然与传统的微积分教学相比没有太大的改动，但却能使学生对极限有关知识的学习，不仅有了描述性的、直观的认识，而且还能对与极限有关问题进行证明了，达到了培养、提高学生论证的数学思想与能力的目的。上述就是我对高职高专高等数学教学改革的几点想法，很不成熟。抛砖引玉，供大家参考。至于它是否合理?是否可行？这还有待于同行的讨论、批评与指正。谢谢大家！ 2007.8.7中 学 数 学 中 的 微 积 分 教 学鲁 东 大 学 范 永 顺为了使微积分入门教学变得容易，张景中院士等学者进行了深入的研究，引入强可导的概念，不用极限概念，而用一个不等式来定义函数的导数，实现了微积分学的初等化。并用此方案
43、变革高等学校中的高等数学。我们应考虑到学生学习微积分是从中学开始的，要变革大学中的高等数学应考虑与中学数学衔接的问题。一全日制普通高级中学教学大纲(修订版)中的导数与微分微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过度的新时期，为研究函数提供了重要的方法和手段导数概念是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用把微积分引入到中学，几乎是世界上所有各先进国家中学数学教材改革时，都这样做了.例如英国普通中等教育证书水平考试中有微分、积分、微分方程等内容。又如1998年出版的俄罗斯国家数学课程标准中规定：全面、熟练掌握导数的概念，掌握其几何和力学意义。掌握微分的
44、技能，会将微分计算的方法应用到函数研究中。全面、熟练掌握微分和原函数的概念，掌握他们之间的联系；全面、熟练掌握积分计算的简单技巧，学会应用积分解决几何问题，获得关于其他可能的应用微积分计算的知识。我国全日制普通高级中学教学大纲(修订版)规定：“导数与微分：导数的概念.导数的几何意义几个常见函数的导数.两个函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数基本导数公式微分的概念与运算利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值。积分:定积分的概念定积分的简单性质微积分的基本公式原函数与不定积分的概念不定积分的线性性质基本积分公式平面图形的面积旋转体的体积路程问题变力作功微积分学建立的时代背景和历史意
45、义”教材中这部分内容的呈现方式是：数列的极限函数的极限连续用极限概念定义导数微分积分。二新课程标准中的微积分高中新课程从2004年进入试验，到2007年秋季有15个省、市进入新课程试验。计划2010年高中全面实施新课程。高中数学课程标准要求导数及其应用模块中，通过大量实例，使学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础，通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值内容与要求1导数及其应用(1)导数概念及其几何意义通
46、过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵通过函数图象直观地理解导数的几何意义(2)导数的运算能根据导数的定义求函数 的导数231,ycxyxyx能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 的导数)(fab会使用导数公式表(3)导数在研究函数中的应用结合实际，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超三次的多项式函数的单调区间结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的
47、多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性(4)生活中的优化问题举例例如，通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用(5)定积分与微积分基本原理通过实例(如求曲边梯形的面积、变力作功等)，从问题情景中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义(6)数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值教材中这部分内容的呈现方式是：变化率问题高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 (单位: )与起跳后的时hm间 (单位: )存在函数关系ts 2()4.96.510.htt如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态，那么
