1、 1 / 8中考数学压轴题型研究（一）动点几何问题例 1：在ABC 中，B=60,BA=24CM,BC=16CM,(1)求ABC 的面积；(2)现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射线 CB 也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，PBQ 的面积是ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？例 2: ()已知正方形 ABCD 的边长是 1， E 为 CD 边的中点， P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A点出发，沿
2、A B C E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x， APE 的面积为函数 y， （1）写出 y 与 x 的关系式 (2)求当 y 时， x 的值等于多少？ 3例 3：如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中，B=90，DCAB ，动点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由 BC D A 运动，设点 P 运动的路程为 x ,ABP 的面积为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所示 ，那么ABC 的面积为（ ）A32 B18 C16 D10 例 4：直线 364y与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点 Q、 同时从O点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q沿线段 O运动，速度
3、为每秒1 个单位长度，点 P沿路线 O B 运动 （1）直接写出 、 两点的坐标；（2）设点 Q的运动时间为 t秒， P 的面积为 S，求出 与 t之间的函数关系式；（3）当 485S时，求出点 的坐标，并直接写出以点 OPQ、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标例 5：已知：等边三角形 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 在 的边 上沿 方向ABCMNABC AB以 1 厘米 /秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止） ，过点A分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒MN、 PQ、 t（1 ）线段 在运动的过程中， 为何
4、值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；t（2 ）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 求四边形 的面积MNStNQP随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围St tACBxAO QPByCPQBA M N2 / 8例 6：如图（3） ，在梯形 ABCD中， 906ABAD ， ， 厘米， 4C厘米， B的坡度4i ，动点 P从 出发以 2 厘米/秒的速度沿 方向向点 运动，动点 Q从点 出发以 3 厘米/秒的速度沿BCD方向向点 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t秒（1 ）求边 的长；（2 ）当 t
5、为何值时， PC与 BQ相互平分；（3 ）连结 ， 设 的面积为 y， 探求 与 t的函数关系式，求 t为何值时， y有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。例 7：如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为ABC 108BCD的中点AB（1 ）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与P是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度
6、为多少时，能够使 与BPD全等？P（2 ）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇？ABC AC例 8：如图，在梯形 中， 动点 从 点ABCD35425BADCAB ， ， ， ， MB出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位NCD长度的速度向终点 运动设运动的时间为 秒t（1）求 的长（2）当 时，求 的值MN t（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tN例 9：（如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，AB
7、C 90，AB 12cm ，AD 8cm，BC22cm，AB 为O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的图（3 ）CcDcAcBcQcPcEcAQCDB P3 / 8ABOCDPQ速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t(s)(1)当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？(2)当 t 为何值时， PQ 与O 相切？例 10. 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A， B，C，D
8、 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm( )，则 AP=2xcm，CM =3xcm，DN=x 2cm0（1 ）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2 ）当 x 为何值时，以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3 ）以 P，Q， M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 ?如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由练习 11如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子动点 ， 同时从点 出发，点 沿ABCD2
9、cmOPQAP方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点ACAD1cm停止 ， 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设 秒后橡皮筋扫过的面积为 DPQx2y（1 ）当 时，求 与 之间的函数关系式；01x yx（2 ）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值；（3 ）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子2 到运动停止时 的变化范围；POQ（4 ）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图0x yx 象解 （1）当 时， ， ， ，1 2APxQ212AP即 2yx（2 ）当 时，橡皮筋刚好触及钉子，ABCDABPQSS正 方 形四 边 形， ， ，
10、 xx2112x4xOA P DB Q CABDCPQ MN（第 25 题）B CPODQAB P CODQA y321O2x4 / 8（3 ）当 时， ，413x 2AB， ，2PBQ，322Axy即 3x作 ， 为垂足OEB当 时， ， ， ，42 2PxAQx1OE，即 BEOEAQyS梯 形 梯 形 132xyx或9080 70 （4 ）如图所示：2.如图,平面直角坐标系中,直线 AB 与 轴, 轴分别交于 A(3,0),B(0, )两点, ,点 C 为线段 AB 上的一动xy3点,过点 C 作 CD 轴于点 D.x(1)求直线 AB 的解析式;(2)若 S 梯形 OBCD ,求点 C
11、 的坐标;43(3)在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的三角形与 OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.解 （1 ）直线 AB 解析式为： y= x+ 3（2 ）方法一：设点坐标为（x ， x+ ） ，那么 ODx ，CD x+ 3 OBCDS梯 形 2C632由题意： ，解得 （舍去）362x44,21x （， ）方法二： , ， 2321OBASAOBOBCDS梯 形 3463ACDS由 OA= OB，得BAO30，AD= CD3321O2xy435 / 8 CDAD 可得 CD ACDS2123CD63 AD=，ODC（， ）
12、 （）当OBPRt时，如图若BOPOBA ，则 BOPBAO=30，BP= OB=3，3 （3， ） 1P若BPOOBA ，则 BPOBAO=30,OP= OB=13 （1， ） 2P3当OPBRt时 过点 P 作 OPBC 于点 P(如图) ，此时PBOOBA，BOPBAO30过点 P 作 PM OA 于点 M方法一： 在 RtPBO 中，BP OB ，OP BP 21323 在 RtPO 中，OPM30 ， OM OP ；PM OM （ ， ） 214343P4方法二：设（x ， x+ ） ，得 OMx ，PM x+33由BOPBAO,得POM ABOtanPOM= = ，tanABOC=
13、 = OMPx3OBA3 x+ x，解得 x 此时， （ ， ） 343P4若POBOBA(如图)，则OBP=BAO30，POM30 PM OM 3 （ ， ） （由对称性也可得到点 的坐标） 4P4P当OPBRt时，点 P 在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：6 / 8（3， ） ， （1， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 1P23P434P33如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点 P 为 x 轴上的个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D(1)求点
14、 B 的坐标；(2)当点 P 运动什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标；(3)当点 P 运动什么位置时，使得CPD=OAB，且 = ，求这时点 P 的坐标。ABD85解 (1)作 BQx 轴于 Q. 四边形 ABCD 是等腰梯形,BAQCOA60在 RtBQA 中,BA=4,BQ=ABsinBAO=4sin60= 32AQ=ABcosBAO=4cos60=2,OQ=OA-AQ=7-2=5点 B 在第一象限内,点 B 的的坐标为(5, )32(2)若 OCP 为等腰三角形,COP=60,此时 OCP 为等边三角形或是顶角为 120的等腰三角形若 OCP 为等边三角形,OP=OC
15、=PC=4,且点 P 在 x 轴的正半轴上,点 P 的坐标为(4,0)若 OCP 是顶角为 120的等腰三角形,则点 P 在 x 轴的负半轴上,且 OP=OC=4点 P 的坐标为(-4,0)点 P 的坐标为(4,0)或(-4,0)(3)若CPD=OABCPA=OCP+COP而OAB=COP=60,OCP=DPA此时 OCPADP APOCD 85B7 / 8 ,258ABDAD=AB-BD=4- = 3AP=OA-OP=7-OP OP742得 OP=1 或 6点 P 坐标为(1,0)或(6,0).4 已知：如图，在 RtABC 中，C=90 0，AC=4cm， BC=3cm，点 P 由 B 出
16、发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为t（s ） （ 0t2） ，解答下列问题：（1 ）当 t 为何值时，PQBC ？（2）设 AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接 PC，并把 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形PQPC ，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边
17、长；若不存在，说明理由解：（1）在 RtABC 中， 52ABC，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若 PQ BC，则APQ ABC， QBP，542tt， 710 （2 ）过点 P 作 PHAC 于 HAPH ABC， BCHA， 35t， tP53， tttPHAQy 35)3(2121 2 （3 ）若 PQ 把 ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ 4)5(ttt， 解得： 1t若 PQ 把 ABC 面积平分，则 ABCPQS21， 即 253t3t=3 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 RtACB 的周长和面积同时平分 （4 ）过点 P 作 PMAC 于 ，PNBC 于 N，若四边形 PQP C 是菱形，那么 PQPCPM AC 于 M，QM=CMPNBC 于 N， 易知 PBN ABC ABPC， 54t，图BA QPCHP BA QPC图MN8 / 8 54tPN， 54tCMQ， 2tt，解得： 910t当 910t时，四边形 PQP C 是菱形 此时 375tPM， 9854tM，在 RtPMC 中， 95081642P，菱形 PQP C 边长为 950
