1、高中数学辅导- 1 -立体几何专题训练 一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）3.（2011 年高考湖南卷文科 4)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A 942 3618 1 94.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）（A） （B） 28383（C） （D）5.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它23的三视图中的俯视图如右图所示左视图是一个矩形则这个矩形的面积是( )(A)4 (B) (c)2 (D) 23
2、36. 1l， 2， 3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )（A） ,1l/ 2 （B） 12l, / 3l32l（C） 1l/ 2/ 3l ， ， 3共面 （D） ， ， 共点 1， ， 共面7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A. B.2 C. D.628.在空间，下列命题正确的是( )A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行9.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )332正视图 侧视图俯视图图 1高中数学辅导- 2 -（A）372 （B ）360 （
3、C ）292 （D）28010.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )（A）3 a2 （B）6 a2 （C ）12 a2 （D） 24 a211.设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2，下列说法中最合适的是( )A. V1 比 V2 大约多一半 B. V1 比 V2 大约多两倍半C. V1 比 V2 大约多一倍 D. V1 比 V2 大约多一倍半12.下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是
4、( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB =2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF平面AB1C，则线段 EF 的长度等于 _.14一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .15已知四棱椎 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 底面 ，且 ，PABCDPABCD8PA则该四棱椎的体积是 。16.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号).三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱三、解答题（共 74 分）17. （
5、本小题满分 12 分）如图，在四棱台 中， 平面 ，底面 是平行四边形，1ABCD1DABCD， ， 60. =2=高中数学辅导- 3 -（）证明： ；1ABD（）证明： .1C 平 面18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，平面 PAD平面 ABCD，AB=AD，BAD=60，E 、F 分别是PAP、AD 的中点. 求证：（1 ）直线 EF平面 PCD；（2）平面 BEF平面 PAD.19 （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，ABCD平面 ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，且MABCD/PMEGFMBPC.（I）求证：平面 平面 ；2P（II）求三
6、棱锥 与四棱锥 的体积之比.20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，AB AD，点 E 在线段 AD 上，且 CEAB。（1） 求证：CE平面 PAD；（11）若 PA=AB=1，AD=3，CD= ，CDA=45，求四棱锥 P-ABCD 的体积221.如图，在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD，AB=4, BC=CD=2, 1AA =2, E、E 分别是棱 AD、 AA 的中点.11()设 F 是 AB 的中点, 证明：直线 EE /平面 FCC ；11()证明:平面 平面 .1DACB22.如图，在多面体
7、 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 为 BC 的中点，()求证：FH平面 EDB;（）求证：AC 平面 EDB; （）求四面体 BDEF 的体积； ABCDEFHE A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 高中数学辅导- 4 -立体几何答案2012.5.21一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1.D 2.D 3.D4. A5. B6.B7.D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为 ，选 D.3243168.D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂
8、直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。9.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4 个侧面积之和。10.B 【解析】根据题意球的半径 满足 ，所以 R2()6a2=6Sa球.2(1082)830S11.D【解析】设球半径为 R，其内接正方体棱长为 a，则 ，即 由22aR23,a，比较可得应选 D.3331248,9va12.A【 解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13.【解析】由于在正方体 中,AB=2,所以 AC= .又 E 为 AD 中点, EF平面1ABCD2AB1C，EF 平面 A
9、DC,平面 ADC 平面 AB1C=AC,所以 EFAC,所以 F 为 DC 中点,所以 EF= =12AC.214 3【解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，棱柱的高为 1，梯形的上下底面边长分别为 1、2，梯形的高为 2，所以这个几何体的体积为 .(2)315 96【 解析】 考查棱锥体积公式 96831V16.三、解答题（共 74 分）17. （本小题满分 12 分）【解析】 （）证明：因为 ，所以设AB=2DAD=a,则 AB=2a,又因为 60,所以在 中,由余弦定理得：AB,所以 BD= ,所以 ,故22 2()cos603BDaaa3a22ADBBDAD,又因为
10、平面 ，所以 BD,又因为 , 所以 平面 ,故1C111A.A(2)连结 AC,设 AC BD=0, 连结 ,由底面 是平行四边形得:O 是 AC 的中点,由四棱台1AOBCD知: 平面 ABCD平面 ,因为这两个平面同时都和平面 相交,1BCD1 1AC交线分别为 AC、 ，故 ，又因为 AB=2a, BC=a, ，所以可由余弦定11CB=20理计算得 AC= ，又因为 A1B1=2a, B1C1= , ， 所以可由余弦定理计算得7a32a1AA1C1= ，所以 A1C1OC 且 A1C1=OC，故四边形 OCC1A1是平行四边形，所以 CC1A 1O，又 CC12高中数学辅导- 5 -平
11、面 A1BD，A 1O 平面 A1BD，所以 .11CABD 平 面18 （本小题满分 12 分）【解析】证明: （1）因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,所以 EFPD,又因为 EF 平面 PCD,PD 平面 PCD,所以直线 EF平面 PCD；（2）设 AB=AD= ,则 AF= ,又因为BAD=60，2a所以在 中,由余弦定理得： BF= ，AB3a所以 ，所以 BFAF，224FAB因为平面 PAD平面 ABCD，交线为 AD， 平面 ABCD，所以 BF平面 PAD，因为F平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.19 （本小题满分 12 分）【解析】 （I）证明：由已知 M
12、A 平面 ABCD，PD MA，所以 PD 平面 ABCD又 BC 平面 ABCD，因为 四边形 ABCD 为正方形，所以 PD BC又 PDDC=D，因此 BC平面 PDC在PBC 中，因为 G 平分为 PC 的中点，所以 GFBC因此 GF平面 PDC又 GF 平 面 EFG，所以 平面 EFG平面 PDC.（ ）解：因为 PD平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形，不妨设 MA=1，则 PD=AD=2，ABCD所以 V p-ABCD=1/3S 正方形 ABCD，PD=8/3由于 DA面 MAB 的距离所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离，三棱锥 Vp-MAB=1/31/21
13、22=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。20.（本小题满分 12 分）【解析】(1)证明: 因为 PA平面 ABCD,CE 平面 ABCD,所以 PACE,因为 ABAD,CEAB,所以 CEAD,又 PA AD=A,所以 CE平面 PAD.(2)解:由(1)可知 CEAD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ,CE=CD .cos451sin451又因为 AB=CE=1,ABCE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以= = ,又 PA平面 ABCD,PA=1,ABCDEBCDSS12AED2所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 .51336ABCSP21. 【解析】 （） （
14、1）在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，1取 A1B1 的中点 F1，连结 ，1,高中数学辅导- 6 -由于 ,所以 平面 ,1FB1C1F1C因此平面 即为平面 ,连结 A1D，CF 1，由于 CDA1F1 CD,=/ 1D=/ 所以四边形 A1F1CD 为平行四边形，因此 CF1/A1D，又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点，所以 EE1/A1D，1所以 CF1/EE1，又因为 平面 FCC ， 平面 FCC ，CF所以直线 EE /平面 FCC .11()证明:连结 AC,在 中,FC=BC=FB,FBCV又 F 为 AB 的中点,所以 AF=FC=FB,所以 ACBC,又
15、 AC ,且 ,1所以 AC平面 ,又 平面 ,A1D故平面 平面 .1DC1B22.【 解析】 （1）设底面对角线交点为 G，则可以通过证明 EGFH，得 平面 ；FHEDB（2 ）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明 FH平面 ABCD，得 FHBC ，FHAC ，进而得EGAC， 平面 ；（3 ）证明 BF平面 CDEF，得 BF 为四面体 B-DEF 的高，进而求ACEDB体(1) ,/,2,/ /GACEGHBCGHEFABEFHDBEB证 ： 设 与 交 于 点 ， 则 为 的 中 点 ， 连 ， 由 于 为 的 中 点 ， 故又 四 边 形 为 平 行 四 边 形， 而 平 面 ， 平 面0,.,/,9, .FBFGHFHBGCCADCEADEBFBFBFC（ ） 证 ： 由 四 边 形 为 正 方 形 ， 有 。又 E/， 。 而 ， 平 面又 为 的 中 点 ， 。平 面 又 ， 又 ，平 面（ ） 解 ： 平 面为 四 面 体 的 高 ， 又 2,211*2.33DE CV ABH
