1、第五节 含绝对值的不等式,2两数和差的绝对值的性质 |a|b|ab|a|b| 特别注意此式，它是和差的绝对值和绝对值的和差性质应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件 |ab|a|b| ； |ab|a|b| ； |a|b|ab| ； |a|b|ab| .,ab0,ab0,(ab)b0,(ab)b0,3解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式解法如下： (1)|f(x)|a(a0) ； (2)|f(x)|a(a0) ； (3)|f(x)|g(x) ； (4)|f(x)|g(x) ； (5)|f(x)|g(x)| ； (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点
2、分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便,af(x)a,f(x)a或f(x)a,g(x)f(x)g(x),f(x)g(x)或f(x)g(x),f(x)2g(x)2,1解含多个绝对值的不等式时，若用分段讨论法去绝对值，要注意：(1)区间端点处的值不 能遗漏；(2)在两个区间上解出结果应与本区间 求交集；(3)各区间上的解集并起来，才得原不 等式的解集,2要重视绝对值的几何意义、数形结合，快速解出形如|xa|xb|c等这类绝对值不等式的解集 3注意存在性问题与恒成立问题的区别，不等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成立，一定有解
3、 4在应用不等式的性质：|a|b|ab|a|b|解决问题时要注意等号成立的条件.,例1 解关于x的不等式|x23x4|x2. 分析 本例去绝对值可用零点分区间讨论的方法，也可以利用公式法,规律总结 由于|f(x)|a中，a为大于零的常数，而本题中x2正负不确定，故讨论其正负，即得解法一；解法二是不管x2的正负，直接利用公式|f(x)|af(x)a或f(x)a求解，结果是一样的从理论上讲，解法一更合理些.,备选例题 1 解不等式|x24|x3|5.,分析 (1)利用对数函数的性质和不等式的性质进行判断，用排除法解较简便 (2)可从绝对值不等式的性质|ab|a|b|出发，去寻找原不等式成立的充要条
4、件,答案 (1)1 (2)|a|b|,规律总结 (1)放缩法是不等式证明的常用方法放缩的思路主要有两种：利用绝对值不等式的性质放缩，如|a|b|ab|a|b|.利用分数分子分母放缩，分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等号是否还能成立 (2)证明充要条件的问题时，一定要分清充分性和必要性各指什么.,解析：解法一：特殊值法 取x1，y2，则满足xy20， 这样有|xy|12|1，|xy|1(2)|3， |x|y|123，|x|y|12|1， 只有选项C成立，而A、B、D都不成立 解法二：由xy0得x，y异号， 易知|xy|xy|，|xy|x|y|， |
5、xy|x|y|， 选项C成立，A、B、D均不成立,答案：(1)C (2)D,例3 设f(x)ax2bxc，当|x|1时，总有|f(x)|1，求证：|f(2)|8. 分析 欲证|f(2)|8，要充分利用|x|1时总有|f(x)|1这个条件，即对1,1上的每一个值均有|f(x)|1，故可采用特殊值f(0)，f(1)，f(1)，将这些特殊值通过字母系数a，b，c与f(2)联系起来，以达到证题目的,规律总结 证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两种：一是恰当地运用|a|b|ab|a|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法
6、、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法.,备选例题 3 已知f(x)x2xc定义在区间0,1上，x1，x20,1，且x1x2，证明： (1)f(0)f(1)；(2)|f(x2)f(x1)|x1x2|. 证明：(1)f(0)c，f(1)c，故f(0)f(1) (2)|f(x2)f(x1)|xx2cxx1c| |x2x1|x2x11|， 0x11,0x21,0x1x22(x1x2)， 1x1x211，|x2x11|1， |f(x2)f(x1)|x1x2|.,分析 利用M是|f(x)|的最大值，则M不小于x1,1上|f(x)|的任意值，赋值，转化a、b的关系，再利用绝对值的
7、性质证明 解 (1)证明：M|f(1)|1ab|，M|f(1)|1ab|,2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|， M|1b|.,规律总结 关于含绝对值的不等式的综合问题，往往与一次函数，二次函数等紧密联系，它要求学生熟练掌握一次函数，二次函数的性质，以及函数和单调性，奇偶性等性质，并能对含有绝对值不等式的性质灵活运用，此类型题重点考查学生运用知识分析问题和解决问题的能力.,例 求|xx2|x|x2|的解集 解题思路 由|xx2|x|x2|可知x与x2异号， 即xx20即x0 所以解集为x|x0 错因分析 因为|x2|x2可由|xx2|x|x2| 只要x|x|即x0这样分析没有理论根据,
