1、第五节 齐次线性方程组的解法,齐次线性方程组解的性质,基础解系及其求法,一.齐次线性方程组解的性质,设有齐次线性方程组,（1,写成矩阵形式为,其中,为（1）的系数矩阵，,解向量的概念,称为方程组（1）的解向量，亦即方程组（1）的解。,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则也是 的解,证明,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,定理 若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩 R(A)=rn(未知量的个数），则（1）必有基础解系； 且基础解系中含有n-r个解向量. 证明 因R(A)=rn,则A可经有限次初等行变换和列 的换法变换化为B型阵,即 ,现
2、对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系.,注意,.基础解系是不唯一的,2若 是 的基础解系，则 其通解为,(3)对齐次线性方程组,：,),(,1,2,2,1,1,2,1,k,k,k,k,k,x,r,n,n,r,A,R,r,n,r,n,r,n,r,n,+,+,+,=,-,=,-,-,-,-,L,L,L,x,x,x,x,x,x,为任意实数.,其中,方程组的解可表示为,此时,基础解系,个向量的,方程组必有含,时,当,当R(A)=n时，方程组只有零解，此时无基础解系；,例1 求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,解,对系数矩阵 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,齐次线性方程组基础解系的求法,三、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为阶梯型矩阵,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,
