1、2001 年普通高等学校招生全国统一考试(02)（1） 若 ，则 在( ) 0cosin（A）第一、二象限 （B）第一、三象限 （C）第一、四象限 （D）第二、四象限（2）过点 且圆心在直线 上的圆的方程是( ) 1,、 02yx（A） （B）4322yx4132（C） （D）12yx（3）设 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是( ) na（A）1 （B）2 （C） 4 （D）6（4）若定义在区间 内的函数 满足 ，则 的取值范围是( ) 01，1log2xfa0)(xfa（A） （0， ） （B） （0 ， （C） （ ，+ ） （D） （0，+ ）2(5)
2、极坐标方程 的图形是( ) 4sinoo oxxxx1111（A） （B） （C） （D）（6）函数 的反函数是( ) 0(1cosxy（A） （B ）2)ar )20)(1arcosxy（C） （D ）(csxy （7）若椭圆经过原点，且焦点为 ，则其离心率为( ) 0,3),1(2F（A） （B） （C ） （D）43324（8）若 ， ， ，则( ) 40acosinbcosin（A） （B） （C ） （D ）baba12（9）在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为( ) 1A1B1ABC（A）60 （B）90 （C）105 （D）75（10）设 都是单调函数，有如下四个命题：
3、)(xgf、若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；)( )(xgf若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；xf)(x若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；)(g)(xf若 单调递减， 单调递减，则 单调递减； 4 xf)(xg其中，正确的命题是（A） （B） （C） （D） 1 3 1 4 2 3 2 4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法： 单向倾斜； 双向倾斜； 四向倾斜.记三种盖法屋顶 1 2 3面积分别为 .321P、 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则( ) （A） （B ） （C） （D）123P123P123P123P（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线
4、表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点 向结点 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同AB时传递。则单位时间内传递的最大信息量为( ) （A）26 （B）24（C）20 （D）19（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个椭圆的侧面积是 3（14）双曲线 的两个焦点为 ，点 在双曲线上.若 ，则点 到 x 轴的距离1692yx21F、 P1F2P为 .（15）设 是公比为 的等比数列， 是它的前 n 项和.若 是等差数列，则 .naqnSnSq（16）圆周上有 2n 个等分点（ ） ，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .1(1
5、7) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 中，ABCDS ， 面 ， ，90ABCSA1.21D()求四棱锥 的体积；D()求面 与面 所成的二面角的正切值 .(18) (本小题满分 12 分)已知复数 .31(iz()求 及 ；arg()当复数 满足 ，求 的最大值.z1z（19）(本小题满分 12 分)设抛物线 的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 两点. 点 在抛物线的准线上，0(2pxy BA、 C且 x 轴. 证明直线 经过原点 .BCACO（20）(本小题满分 12 分)已知 是正整数，且 .nmi, nmi1()证明 ；iniP()证明 .m)()1(21) (本小题满分 12
6、 分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 . 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对51旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 41()设 n 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元. 写出 的表达式；nanbnba,()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?(22) (本小题满分 14 分)设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ，都有)xfR1x21,0,1x，且 .)(2121xff0)1(af()求 及 ;)
7、4()证明 是周期函数；(xf()记 ，求 .)21nan)(limna2001 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四. 只给整数分数选择
8、题和填空题不给中间分一.选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分（13）2 （14） （15）1 （16）2n (n1) 516三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分 12 分解：（）直角梯形 ABCD 的面积是M 底面 ， 2 分43125.021ABDC 四棱锥 SABCD 的体积是M 底面V341 4 分（）延长 BA、CD 相交
9、于点 E，连结 SE 则 SE 是所求二面角的棱 6 分 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面 ABCD，得 SEB面 EBC，EB 是交线，又 BCEB， BC面 SEB，故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影， CSSE，所以BSC 是所求二面角的平面角 10 分 ，BC =1，BC SB，2ABS tanBSC C即所求二面角的正切值为 12 分2（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力满分 12 分解：（）z 1 = i (1i) 3 = 22i，将 z1 化为三角形式，得，47sinco21 z ， 6 分ar
10、g121z（）设 z = cos i sin ，则zz 1 = ( cos 2)(sin 2) i ，2221sincos( )， 9 分494当 sin( ) = 1 时， 取得最大值 21z29从而得到 的最大值为 12 分z（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力满分 12分证明一：因为抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F ( ，0)，所以经过点 F 的直线的方程可设为2p； 4 分myx代入抛物线方程得y2 2pmy p 2 = 0，若记 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1，y 2 是该方程的两个根，所以y1y2 = p 2
11、 8 分因为 BCx 轴，且点 c 在准线 x = 上，所以点 c 的坐标 为（ ，y 2） ，p故直线 CO 的斜率为12xypyk即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O12 分证明二：如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E，过 A 作 ADl，D 是垂足则ADFEBC 2 分连结 AC，与 EF 相交于点 N，则，ABFCDE6 分，B根据抛物线的几何性质， ，DF， 8 分CF ，NABCDEN即点 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O 12 分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满
12、分 12 分（）证明： 对于 1im 有= m(mi1)，ip ，i i1同理 ， 4 分npin1i由于 mn，对整数 k = 1，2，i1，有 ，mkn所以 ，即 6 分iipiminp（）证明由二项式定理有，ininC01， 8 分imi0由 ()知 (1i mn，inpi而 ， ， 10 分!iCimi!iiin所以， (1imniinC因此， iimini22又 ， ， 100mn nmn1nimCin0 iiiniC00即 (1m) n(1n) m 12 分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力满分 12 分解：（）
13、第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800（1 ）万元，第 n 年投入为5800（1 ） n1 万元5所以，n 年内的总投入为an = 800800（1 ） 800（1 ） n155kk1)(80= 40001( )n； 3 分54第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400（1 ）万元，第 n 年旅游业收4入为 400（1 ） n1 万元4所以，n 年内的旅游业总收入为bn = 400400（1 ） 400（1 ） n144kk1)5(40= 1600 ( )n1 6 分（）设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bna n0，即 1600（
14、 ） n 1 40001 （ ） n04554化简得 5（ ） n2（ ） n 70， 9 分设 （ ） n，代入上式得x5x27x20，解此不等式，得，x 1( 舍去)即 （ ） n ，542由此得 n5答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入 12 分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力满分 14 分（）解：因为对 x1，x 20， ，都有 f (x1x 2) = f (x1) f (x2)，所以f ( ) f ( )0，x 0 ，1 f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( )2，)2f ( )
15、f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( )2 3 分14141，0a f ( ) ，f ( ) 6 分2141（）证明：依题设 y = f (x)关于直线 x = 1 对称，故 f (x) = f (11x)，即 f (x) = f (2x)，xR 8 分又由 f (x)是偶函数知 f (x ) = f (x) ，xR ， f (x) = f (2x) ，xR，将上式中x 以 x 代换，得f (x) = f (x2)，xR这表明 f (x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期 10 分（）解：由（）知 f (x)0，x0，1 f ( )= f (n ) = f ( （n1） )21n= f ( ) f (（n1） )2= f ( ) f ( ) f ( )= f ( )n，2f ( ) = ，1a f ( ) = n221 f (x)的一个周期是 2， f (2n ) = f ( )，因此 an = ， 12 分121 ( ) = 0 14 分nnalimlil2
